Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

НОЙ надежностью. Сплавы с памятью формы используют также для изготовления разного рода зажимов, переключателей, терморегуляторов, спусковых механизмов, преобразователей энер­ гии, в биомедицинских приложениях.

Первоначально эффект памяти формы был открыт для сплава NiTi (нитинол). Установлено более 20 металлов, образующих сплавы с памя­ тью формы, с температурой мартенситных пере­ ходов в диапазоне от -190 до +100 ^С. Широкий спектр сплавов с памятью формы и возможность варьирования их химического состава позволяют целенаправленно подбирать материалы по за­ данным диапазонам переходных температур для конкретных приложений.

Глава 4.6

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОНАПРЯЖЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ЭВМ

Для анализа работоспособности и долго­ вечности теплонапряженньпс конструкций, мате­ риал которых (в общем случае) проявляет неуп­ ругие свойства в условиях переменных темпера­ тур, необходима информация об изменении температурного и напряженно-деформирован­ ного состояния элементов конструкций в про­ цессе их эксплуатации. Такая информация дает возможность определить изменение размеров и формы конструкции и сравнить его с допустимьп^, позволяет оценить степень поврежденности конструкционного материала на различных этапах его работы и может быть получена рас­ четным путем как результат решения задачи неупругого неизотермического деформирования конструкции при заданном режиме теплового и силового воздействий.

4.6.1. МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОНАПРЯЖЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Применительно к анализу работоспособно­ сти и долговечности теплонапряженных конст­ рукций можно выделить ряд этапов, характерных для методики математического моделирования. Как и при решении любой инженерной задачи, на первом этапе осуществляют переход от реаль­ но существующей или проектируемой конструк­ ции к ее расчетной схеме, отражающей наиболее важные свойства и особенности рассматриваемо­ го объекта и, наоборот, не учитывающей второ­ степенные моменты, которыми можно пренеб­ речь благодаря их слабому влиянию на конеч­ ный результат. На втором этапе проводят мате­ матическую обработку расчетной схемы и фор­ мируют математическую модель рассматривае­ мой конструкции, включающую уравнения и дополнительные соотношения, описывающие

поведение конструкции при заданных тепловых и силовых воздействиях. Третий этап заключает­ ся в выборе рационального метода анализа мате­ матической модели и в разработке соответству­ ющего ему алгоритма вьгшслительного экспери­ мента на ЭВМ. Четвертый этап состоит в напи­ сании, отладке и тестировании ЭВМ-программы, которую затем используют для получения ре­ зультатов математического моделирования рас­ сматриваемой теплонапряженнои конструкции путем вьргислительного эксперимента.

Достоверность результатов математического моделирования оценивают их сравнением с дан­ ными экспериментов или испытаний реальной или аналогичной проектируемой конструкции, а также сопоставлением с известными результата­ ми решения подобных задач. При недостаточном уровне достоверности необходимо уточнить рас­ четную схему конструкции и ее математическую модель, проанализировать возможные погреш­ ности, вносимые выбранным методом анализа математической модели и алгоритмом вьиислительного эксперимента. Достаточно достоверные результаты ма,тематического моделирования мо­ гут быть далее использованы для оценки рабо­ тоспособности и долговечности рассматриваемой теплонапряженнои конструкции и для выработ­ ки практических рекомендаций по совершен­ ствованию этой конструкции.

Рассмотрим некоторые подходы к анализу математической мод^и теплонапряженнои кон­ струкции, температурное состояние которой не зависит от ее напряженно-деформированного состояния и может быть найдено предваритель­ но.

Если материал конструкции не проявляет свойств ползучести, т.е. его неупругое поведение связано лишь с возниюювением мгновенных пластических деформаций, то при сравнительно медленно меняющихся тепловых и силовых воз­ действиях на конструкцию, исключающих появ­ ление динамических эффектов, изменение ее напряженно-деформированного состояния долж­ но практически .без запаздывания отслеживать изменения в распределении температуры и дей­ ствующих нагрузок. В фиксированный MOMCirr времени в каждой точке Л^е V объема V тела, соответствующего рассматриваемой конструк­ ции, компоненты полной деформации можно представить в виде суммы

компонентов упругой, мгновенной пластической и температурной деформации, помеченных верх­

Примем, что в момент времени / ^ _ j , соот­ ветствующий началу к-то этапа нагружения, известны из расчета на предыдущем этапе тем­ пературное и напряженно-деформированное состояния конструкции и все параметры, кото­ рые характеризуют состояние материала в рамках используемого варианта его модели. Для момен­ та времени tj^ в конце к-то этапа нагружения будем считать заданными приращения темпера­ тур во всех точках конструкции и приращения действующих на конструкцию нагрузок или пе­ ремещений точек на ее поверхности. Тогда вмес­ то формул (4.6.1) и (4.6.2) можно написать

всестороннего сжатия и сдвига приняты при

(t-1)

К'т> Н" /С-т» (4")-(""')-("«

И Ь'и

<{Тк-П-х)

а затем из соотношений (4.5.78) определить пер­ вое приближение для

^?п

^ ' 1 =(3/2)[АвГ] 4"/«и^

и использовать его при повторном решении линейной задачи (4.6.5)-(4.6.7) и т.д.

В процессе последовательных приближений

на к-и этапе нагружения Ае^-у^ в каждой итера­ ции находят независимо от предьщущей итера­ ции, используя одну и ту же информацию о состоянии материала в начале этого этапа. Лишь после завершения процесса последовательных приближений на к-м этапе эта информация из­ меняется и затем используется ддя расчета на к+\-и этапе нагружения. Контроль сходимости последовательных приближений в пределах каж­ дого этапа целесообразно вести по изменению значений компонентов вектора перемещений от итерации к итерации.

Более быструю сходимость последователь­ ных приближений по сравнению с методом до­ полнительных деформаций обычно обеспечивает метод переменных параметров упругости [100] (см.п.4.5.3). Кроме того, этот метод позволяет естественным образом учесть возможную ани­ зотропию материала конструкции в упругом состоянии. В пределах малого этапа нагружения материал представляется как неоднородный упругоанизотропный, причем характеристики

материала зависят от того, выполняются ли в данной точке условия пластического деформиро­ вания (см.п.4.5.5). Эти характеристики могут быть найдены по формулам (4.5.86) и использо­ ваны на данном этапе нагружения при решении линейной задачи ддя упругоанизотропного мате­ риала, причем температурные деформации дол­ жны быть заменены дополнительными деформа-

ния проверяют локальное вьшолнение условий пластического деформирования (4.5.75) и (4.5.77), уточняют характеристики материала

S^J^^ (или S ) и снова проводягг решение той

же задачи, пока не будет достигнуто приемлемое совпадение следующих друг за другом итераций, после чего можно переходить к рассмотрению очередного этапа на1ружения. В некоторьгс слу­ чаях при монотонном изменении параметров нагружения может оказаттхя достаточным вы­ полнение на данном этапе всего лишь одного приближения.

При сложных программах изменения теп­ лового и сигювого воздействий на конструкцию число расчетных этапов оказывается значитель­ ным и накапливаемые от этапа к этапу вьгшслительные погрешности могут превысить допусти­ мый уровень, что приведет либо к неустойчивос­ ти процесса прибипсжений, либо к тому, что результаты расчета потеряют практическую цен­ ность. В этом случае необходима коррекция возникающих на каждом этапе погрешностей [80] (см.пп. 4.5.3. и 4.6.2). Кроме того, следует учитывать, что для материалов, имеющих срав­ нительно малое деформационное упрочнение в неупругом состоянии, что характерно для работы в условиях повышенных температур, коэффици-

етпы S^j^^ или S соответственно в формулах

(4.5.85) или (4.5.88) существенно возрастают, так что вклад упругой сжимаемости в матрицу ко­ эффициентов упругоплас7Тсческой податливости оказывается незначительньп^. Это приводит к плохой обусхювленности соотношений (4.5.85) или (4.5.88), если их рассматривать как системы линейных уравнений относительно компонентов à^l или à . В результате численная реализация обратных преобразований вида

Указанные трудности удается преодолеть, если компоненты полной деформации в конце к-то этапа нагружения представить в виде суммы (281

[Б^.(Л/)]^ = ^\j{M)^z]j(M), MGV, iJ = 1,2,3,

(4.6.8)

где

8;-^Р^ЦГ^^,-[^\^^[г^'\ь,,

Причем компоненты 8^- известны перед началом расчета на /:-м этапе, а г\: являются искомыми

величинами. Тогда с учетом Ае^у ô •• = О вместо формул (4.6.2) получим

ИЛИ в рамках метода переменных параметров упругости [100] с учетом формулы (4.6.8)

ау = ^^ -^^*К-</)S//- ^2^*Ь-4)'

(4.6.9)

где G^(M) - определяемый на каждой итерации в пределах каждого этапа нагружения приведен­ ный модуль сдвига материала в рассматриваемой точке M eV.

При использовании деформационной тео­ рии термопластичности G* находят через секу­ щий модуль по диаграмме растяжения, пере­ строенной для заданной температуры в коорди­ натах 8j^, G^. В теории пластического течения однозначная связь между е^ и а^ не может быть установлена заранее. Поэтому при исполь­ зовании для описания поведения конструкцион­ ного материала теории неизотермического плас­ тического течения значение G* находят после­ довательными приближениями.

В качестве нулевого приближения примем 6^* (М) = Gj^ (M) и решим для условий нагру­ жения на к-м этапе линейную задачу, вычислив

4.6.2. ШАГОВЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ

ИПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОНАПРЯЖЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Задачи термопрочности по своей сложнос­ ти не позволяют получить решение в замкнутой аналитической форме. Поэтому для их решения наиболее перспекгивньв1и являются методы, основанные на дискретизации расчетной области и сведении нелинейной задачи к последователь­ ности линейных задач, решаемых при помощи алгоритмов линейной алгебры [80]. Наибольшее распространение получили методы дискретиза­ ции с использованием конечных разностей [75], конечных элементов [33, 72] и граничных элеMeirroB [50, 89, 101].

Рассмотренные в п. 4.5.3 методы линеари­ зации уравнений пластичности дают возмож­ ность построить эффективные алгоритмы и ком­ плексы программ математического моделирова­ ния теплонапряженных конструкций методом конечных элементов (МКЭ). Если перейти к векторным обозначениям, то аналогами тензоров напряжений, деформаций и переменных пара­ метров упругости будут векторы соответственно

{GY ={cJn,a22,a33,cTi2,CT23>^3l}' jej = (е^р 622,233,28^2,2823,2831!,

тами C^j^^ (см.п. 4.5.3) и для объемного на­ пряженного состояния имеет вид

( 1 + V ) ( l - 2 v )

2(1 - 2v*)

где матрица [^1 - аналог тензора Су^^у | 8 Q | -

вектор начальных деформаций [33],компоненты которого включают и температурные деформа­ ции материала конструкции.

Нелинейное соотношение (4.6.11) линеари­ зуется способами, рассмотренными в п. 4.5.3. В зависимости от способа линеаризации матрица

[D] переходит в матрицы [Z)^ 1, [Z)j. 1, [/)д 1, со­ держащие соответственно секущие и касательные модули и параметры, связывающие приращения напряжений и деформаций. Переменные пара­ метры упругости имеют вид

3E

E =

2(l+v)\|/-f l - 2 v

*(1 4-v)v|/-l+2v

матрицы [D], а при \\f ^1 следуют переменные

параметры Е и v для вычисления матрицы [Z>^,], которая эквивалентна тензору с компонен-

В случае осесимметричного напряженного состояния

^13 = ^23 = ^31 = ^32 = ^' и поэтому вектор деформации 1г\ имеет четыре

отличных от нуля компонента, а соответствую­ щая ему матрица \D^ 1 определяется в виде

( l + v ) ( l - 2 v )

2Г1-у*

Для плоского деформированного состояния при условии езз = О

Матрица [i^j.1 эквивалентна тензору с компо-

вследствие того, что зависимости Коши по двум перемещениям «j и и^ позволяют получить

только деформации ^\\',^21'>^\1' ® упругопластической области необходимо сделать предполо­ жение о деформации 833,чтобы определить ве­ личину 8j^.

Для плоского деформированного состояния 833 = О, а при плоском напряженном состоянии для определения 833 применим итерационную процедуру метода переменных параметров упру­ гости. Задаваясь первоначальным вектором

{^4 ~ {^11'^22'^3з}' ^ каждой расчетной точке

ближению 8jj и так далее до тех пор, пока в

каждой расчетной точке не будет выполнено условие сходимости

^ А ,

"^к

1 -2 4 - 2 О

6 - 2 - 2 4 О

0 0 0 3

где А - заданная точность расчета.

По известному вектору {s}.» матрице \DA для осесимметричного состояния и зависимости (4.6.14) найдем матрицу [^к]4*

Здесь и далее dy li = 1;4,у = l;4j - компоненты

матрицы [^к]4* Ок:он^1^тельно получаем

где Г^к]^ лля плоского напряженного состояния

имеет вид

Матрица Г^д]» эквивалентная тензору с компо­ нентами àCy^^ [см.(4.5.42)], для всех рассмот­

ренных случаев имеет вид

Рд]=[^х]-[^с]- (4-6.16)

Представим векторы перемещений iu\ и деформаций 1г\ в конечном виде [33]

где iu\ - вектор узловых перемещений элемен­ та; [Л^] - матрица положения; \В] - матрица

связи узловых перемещений и деформаций.

С учетом введенных обозначений из (4.5.39) получим уравнение МКЭ для метода переменных параметров упругости

^N]l{Fl)dÇ2^j[N]l{F,ldS;

Se

(4.6.20)

здесь | F J - вектор объемных сил, действующих в элементе; iF^\ - вектор поверхностных сил,

действующих на элемент, граничащий с поверх­ ностью Sp\ ll\ - вектор, имеющий отличные

от нуля компоненты, соответствующие линей­ ным деформациям. Для всех видов напряженнодеформированного состояния кроме плоского деформированного состояния, эти отличные от нуля компоненты вектора | / } равны единице. При плоском деформированном состоянии век­ тор (/} имеет вид

{/f ={l+v\ 1+v', о}.

Из (4.6.19) следуют также соотношения модифицированного метода Ньютона-Канторо­ вича (метода дополнительных деформаций)

Из (4.6.20) следует, что необходимо много­ кратно решать системы линейных алгебраичес­ ких уравнений (4.6.18), (4.6.19), (4.6.21). В мето­ дах переменных параметров упругости и Ньюто-

на-Канторовича необходимо пересчитывать на каждой итерации матрищ»! жесткости системы уравнений и векторы правых частей, а метод дополнительных деформаций и его модифика­ ции позволяют сохранить при итерациях матри­ цу жесткости системы уравнений неизменной и пересчитывать только векторы правых частей.

Процесс последовательных приближений в каждом итерационном методе прекращают при вьшолнении условия

где А - заданная точность расчета.

ш>

Wïï

Рис. 4.6.1. Изменение относительной погрешности при расчете осесимметричного напряженного состояния образца с кольцевым надрезом: 1 - метод переменных параметров упругости; 2 - метод Ныотона-Канторовича

В п. 4.5.3 приведены оценки асимптоти­ ческой скорости сходимости этих итерационных методов. Представляет интерес их сравнение в численном эксперименте [94]. На рис. 4.6.1 при­ веден характер изменения относительной по­ грешности Л в зависимости от числа итераций к при расчете осесимметричного образца раз­ личными итерационными методами. Диаграмма деформирования образца представлена на рис. 4.6.2, а его расчетная схема - на рис. 4.6.3. Сетка конечных элементов содержала 685 узлов. Ре­ зультаты показывают высокую эффективность метода Ньютона-Канторовича и подтверждают приведенные в п.4.5.3 оценки ассимтотической погрешности.

Рис. 4.6.3. Расчетная схема образца

скольцевым надрезом (c^=l,75 а-г)

Взадачах теории пластического течения вектор приращений деформахщй /Де} выражает­ ся через векторы приращений напряжений {Аа}, упругопластических деформаций

деформаций ползучести {AS^J. При этом, вводя

параметр у » рассмотренный в п.4.5.3, заменим (4.5.33) соотношением

'^i

ет

x{Aa}-h[A8^j+{A8'j, (4.6.22)

где С - матрица связи напряжений и дефор­ маций в упругой области, являющаяся аналогом тензора Ау^^яз соотношения (4.5.14); [/]- еди-

ничная матрица; \0г J - вектор активных на­ пряжений.

ванные изменением физического поля. Они определяются также как компоненты

тензора, который для задач термопластичности в работах И.А. Биргера получил название тензора температурной податливости.

Компонентыс 1-1определяют так же, как

компоненты Asу. = vj/^. Лт тензора приращений деформаций ползучести.

Учитьгаая, что обратная матрица для мат­

рицы [Л+~{^}{^}^) где {а} и {Z?} - векгоры-

Ф

столбцы, имеет вид

Компоненты матриц и векторов в каждом конечном элементе:

КГ = /Н'Гкм.'^;

где, как и следует из (4.6.23),

Компоненты корректирующего вектора