Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

0,5

^ =(^0 +(^0 +^^о)^ I А

a - a r c t g ( ^ 0 ^ 1 / ( ^ 0 +^^о))-

^(/)=:e-^Mqe"^4c2e-"^^ (6.1.10)

где 0)2—(s^-œ^)^^^, а Q и С2 определяют из начальных условий

q =(l/2cû2)(^o(^2 +е)+^о);

Cj = ( 1 / 2 с о 2 ) ( ^ о ( ^ 2 -^)-%\

В этом случае система не обладает колебатель­ ными свойствами, а движение имеет апериоди­ ческий характер (рис.6.1.4, в).

При "критическом" демпфировании (s=co), решение (6.1.8) с учетом начальных условий имеет вид

Рис. 6.1.4. Графики свободных движений

Решение (6.1.9) описывает затухающие ко­ лебания (рис. 6.1.4, б). Хотя процесс не является периодическим, для его характеристики исполь­ зуют понятия условного периода 7'i=27c/coi, условной частоты сО], условной переменной ам­ плитуды у4е"% которые имеют смысл при г<<со.

Интенсивность убывания амплитуды харак­ теризуют также:

величина 1/6 равна числу колебаний, за которое условная амплит>^да убывает в е«2,7 раза;

добротность системы Д=(а/2г при 8<<со, равная ж/Ъ -количеству колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е^»23 раза, т.е. колебания становятся исчезаюше малыми.

При "большом'^ демпфировании (s>co) реше­ ние (6.1.8) имеет вид

(6.1.11) a движение имеет также апериодический харак­ тер (см. рис.6.1.4, в).

Вынужденными называют колебания, про­ исходящие вследствие наличия действующих на систему внешних возмущений.

Вынужденные колебания при гармоническом возмущающем воздействии. Внешние возмуще­ ния могут бьггь обусловлены действием на сис­ тему заданных сил (рис.6.1.5, а) или моментов (силовое возмущающее воздействие), наличием нестационарных связей (рис.6.1.5, б) (кинемати­ ческое возбуждение); "действием" на систему сил инерции переносного движения (рис.6.1.5, в) или подвижных элементов системы (рис.6.1.5, г) (инерционное возмущение) и т.д.

Рис. 6.1.5. Схемы возбуждения вынужденных колебаний

Обобщенная возмущающая сила при гар­ моническом возбуждении 2 ( 0 = GQ sin/?/. При силовом и кинематическом возмущении ампли­ туды 2о обобщенной возмущающей силы посто­ янна (на рис.6.1.5, а QO=FQ, на рис.6.1.5, б Q=CSQ), а при инерционном возмущении QQ пропорциональна квадрату частоты р возмуще-

Рис. 6.1.6. Зависимость коэффициентов динамичности от коэффициента расстройки у

Ч{^)^4^1 (1-Y ) sin;?/.

Вынужденные колебания при произвольных возмущениях. При произвольной обобщенной силе Q—Q(() и 8<0) метод вариации произволь­ ных постоянных при нулевых начальных услови­ ях приводит к решению уравнения (6.1.7) в виде

Для некоторых часто встречающихся на практике зависимостей Q=Q{t) формула (6ЛЛ8) приводит к следующим результатам:

а) мгновенный импульс S, приложенный в момент времени т,

q{t) = (S / аа)^)е~^^^~^^ smcOi(/ - т ) (/ > т); б) постоянная сила QQ , приложенная при

q(t) = (1 / с)\ FQ + J^Fj^Xf^ siniPf^t + ô^ -f ф^ )

к

Ф^ =-arctg(^(Y^/^)(l-Y^)J; у,, =Piç/(o.

yj

где fi=(8-a)/coi; v=s/)COi.

Вынужденные колебания при действии про­ извольного периодического возбуждения. Приме­ няют два способа получения частного решения уравнения (6Л. 7) при обобщенной силе Q(Ô~QO^^B)^ имеющей период изменения Т^.

Сп о с о б г а р м о н и ч е с к о г о

ан а л и з а . Обобщенную силу Q(t) представ­ ляют как сумму гармонических сил

0

(6Л.20) Решение представляет движение в проме­ жутке времени [О, Т^], и в него нельзя подстав­ лять t>Tj^. Однако, имея график g(t) для 0</<7'в, можно вследствие периодичности смещать его в соседние промежутки \Т^, 2Т^], [2Т^,ЗТ^] и т.д. В частном случае действия мгновенньгх пе­ риодических импульсов *S решение (6.1.20) име­

ет вид [67]

a,^=(2/T^)JQ(t)cosp,^tdt;

о

т.

b,^=(2/TjJQ(t)^mp^tdt,

Тогда частное решение (6.1.7) будет суперпози­ цией гармонических колебаний

аоА1-2е со8С01Г^-ье

6.1.3.КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

СКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ БЕЗ УЧЕТА СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Свободные (собственные) колебания. Урав­ нения колебаний в матричной форме согласно (6.1.4) при В=0 и Q(t)=0 имеют вид

Частное решение (6.1.21) вида

q(/)=vsin(co/4-a) (6.1.22) описывает главное колебание всей системы с час­ тотой со и начальной фазой а. Вектор-столбец v характеризует форму главного колебания, т.е. распределение ампли1уд колебаний по точкам системы.

Л^СЛА ^к^^к

п1^Цк Ч^^к

которое называют формулой Рэлея.

С точностью до 1/2 числитель формулы Рэлея равен максимальному во времени значе­ нию потенциальной энергии системы при ее главном колебании по А:-му тону, а знаменатель

-соответственно кинетической энергаи.

Сформулой Рэлея связаны вариационные принципы для собственных частот и форм коле­ баний, такие, как вариационный принцип Рэлея, расширенный вариационный принцип Рэлея, минимальный вариационный принцип Куранта [20], позволяющие построить алгоритм прибли­ женного вычисления собственных частот и форм колебаний при больших значениях п - числа степеней свободы.

Кроме того, они позволяют также оценить влияние некоторых изменений условий задачи (изменение инерционных и квазиупругих пара­ метров, наложение дополнительньгх связей) на собственные частоты системы.

Однако развитие вычислительной техники несколько снизило актуальность применения вариационных принципов для систем с конеч­ ным числом степеней свободы.

При нарушении симметричности матриц А и С систему также можно привести к не связан­ ным между собой уравнениям с использованием условий биортогональности [87].

Пример 4. Определить собственные частоты и формы колебаний системы, рассмогренной в

приходим к характеристической системе одно­ родных линейных уравнений относительно Vy

Приравняв к нулю определитель системы, получим квадраты собственных частот (О/^^

{S){^^cllm\ (ù2^=2c/m\ (Оз^=Зс/т. Подставив поочередно найденные значения

iùj^ в характеристическую систему, найдем соот­

ношения между компонентами собственных векторов

Л21=^21 A l 1=3/2; Л22=^22М2=0;

Л23=^2з/У1з=-1;

Лз1=^з1/Уп=1; Лз2=vз2/vl2=-l; лзз=^ззА1з=1,

а с учетом нормирования и векторы r\i^ форм

Уравнения вынужденных колебаний в соответ­ ствии с (6.1.4) имеют вид

сводится к решению неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

(C-/;2A)D=Qo. (6.1.31) Единственное решение (6.1.31) существует при условии

d e t ( C - / > 4 ) 7^0,

тогда вектор формы вынужденных колебаний можно определить по формуле

D = ( C - / A ) - ' Q O .

Если частота возбуждения р будет стремиться к

означает, что система может иметь резонанс на каждой из собственных частот СО/^.

Пример 5. Исследовать вынужденные коле­ бания трехмассовой системы, рассмотренной в примере 2, без учета демпфирования, полагая

F{t) = FQ^mpt.

Дифференциальные уравнения колебаний при |я=0 имеют вид

-f 2cxj - СХ2 = /f) sin pt;

(4m / 3)ic2 - CX| + 2cx2 - CJC3 = 0;

WX3 - ex2 + 2cx^ = 0. Задав Xj(t) в виде

Амплитудно-частотные характеристики си­ стемы при Р=0,1; 5=1 представлены на рис. 6.1.10. Наряду с гашением колебаний основной массы на частоте гасителя имеются два резонанса на собственных частотах двухмассовой системы cùl=0,854coo и (02^1,17(00, что ограничивает использование подобньгх гасителей только сис­ темами с офаниченным спектральным составом.

Устранить резонансные колебания с боль­ шими амплитудами на частотах coi и (02 оказы­ вается возможным, если ввести в конструкцию динамического гасителя трение. Динамический гаситель с трением представляет собой дополни­ тельную массу т2, соеди}1енную с основной системой пружиной жесткости С2 и демп({)ером с коэффициентом вязкого сопротивления ц (см.

рис.6.1.9, б).

При наличии демпфера полное гашение колебаний основной системы становится невоз­ можным, поскольку в случае останова основной массы гаситель оказался бы предоставлен самому себе, его движение стало бы затухающим и он не смог бы компенсировать воздействие возмушающей силы на основную систему. Однако нали­ чие демпфера позволяет при рационально подо­ бранном гасителе получить ограниченную амп­ литуду колебаний основной системы во всем диапазоне частот.

Используя введенные выше безразмерные параметры р, 5, у и добавив к ним безразмерный коэффициент вязкого сопротивления г|=}дУ2/г120)о» запишем выражения для U\ и «2 |9, 83]:

Эффективность работы гасителя зависит от рационального выбора параметров р, Ô, г|. Наи­ больший интерес представляет зависимость U\ от г|. На рис. 6.1.11 представлены амплитудночастотные характеристики И\{у) при Р=0,1, 5=1, построенные д;1Я различньгх значений г|.

При г)=0 характеристика имеет два резо­ нансных пика и тождественна представленной на рис. 6.1.10.

При г|-^оо относительное движение гасите­ ля становится невозможным, система как бы трансформируется в одностепенную с резонан­ сом на частоте (Орез—(1 + Р)"^'^соо~09953(Оо - рассеяния энергии в демпфере не происходит.

При любом значении г| амплитудночастотные кривые проходят через точки -5' и 7^.

Параметры гасителя считают оптимальны­ ми, ес.1и точки S и /'лежат на одной высоте, а коэффициент демпфирования выбраьг так, чтобы в одной из этих точек амплигудно-частотная кривая имела максимум (при этом и второй максимум весьма незначительно превышает ор­ динаты точек S \i Т).

Чтобы выполнить первое условие, необхо­ димо параметры 1712 ^ ^2 гасителя подобрать так, чтобы Ô=(l+P)~^ . При этом ординаты точек S и Г будут равны Wi=(2/pH-l)^'^.

U,Ur TJ

60 0,3

Ьг г

Рис. 6.1.13. Амплитудно-частотная характеристика при оптимальном коэффициенте вязкого сопротивления

Рис, 6.1.14. Схема маятникового гасителя крутильных колебаний

Частота собственньос колебаний гасителя а=(о(Л//-1)0^5^

где R - расстояние центра тяжести гасителя от

оси вала; со - угловая скорость вращения вала. Для того чтобы гаситель бьш настроен на

к-ю гармонику, необходимо так подобрать его размеры, чтобы

Массу противовеса подбирают из условия, чтобы при допустимых амплитудах качания со­ здаваемый им момент равнялся k-\i гармонике возмущающего момента.

На рис. 6.1.13 представлена амплитудночастотная кривая для основной массы при опти­ мально подобранном гасителе jij\si случая Р=0,1. Значения параметров 5=0,9091, ri=0,168; мак­ симальная амплитуда «1=4,59.

В двигателях внутреннего сгорания исполь­ зуют динамические гасители, частота настройки которьгх меняется автоматически при изменении частоты возмущения. Устройство таких гасителей основано на том, что в поле нентробежных сил собственная частота маятника пропорциональна угловой скорости вращения.

Подобрав соответственно радиус качания маятника, подвешенного к коленчатому валу, можно добиться, чтобы собственная частота ко­ лебаний маятника бьша в 2, 3,..., п раз больше скорости вращения. В этом случае гаситель будет устранять крутильные колебания, вызываемые 2, 3,.,., я-й гармониками возмущающих моментов.

Одна из конструкций маятникового гасите­ ля изображена на рис. 6.1.14. В качестве маятни­ ка используют противовес 7, укрегшенный с помощью роликов 2 на щеке 3 коленчатого вала. Диаметр роликов d меньше, чем диаметр D сверлений в щеке и противовесе. Благодаря это­ му все точки противовеса могут^ перемещаться относительно коленчатого вала по дугам равных радиусов l=D~d.

Глава 6.2

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

6.2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Предварительные замечания. Под упругими системами с распределенными параметрами по­ нимают упругие механические системы с непре­ рывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свобо­ ды, их динамическое поведение выражают диф­ ференциальными уравнениями в частных произ­ водных. При решении задач динамики для рас­ пределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется задавать краевые (фаничные) условия.

Часто задача динамики сводится к задаче определения дополнительных динамических на1рузок на конструкции машин в установив­ шихся режимах. В таких случаях рассматривают­ ся только частные решения дифференциальньгх уравнений, для которых начальные условия не имеют значения. Начальные условия не имеют значения также при определении форм и частот свободных колебаний. Граничные же условия всегда существенны.