Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

ЧТО в радиальном направлении она мала по сравнению с энергией ее движения вдоль оси цилиндра и' скорость частиц жидкости в направ­ лении оси цилиндра не зависит от радиуса. Форма колебаний жидкости вдоль оси цилиндра и(х) представлена на рис. 6.3.6. Непротекаемый разрыв перемещений Wi и W2 в месте соедине­ ния обечайки бака с дном бака объясняется тем, что указанные перемещения определены без учета краевого эффекта. Функция и(х) состоит из двух частей: W2 - перемещения вместе с дном бака и Wj - перемещения, вызываемого увеличе­ нием диаметра обечайки:

ух\Н-

сечения потока скорость и давление одинаковые, поток жидкости одномерный.

Линеаризованные динамическое уравнение возмущенного движения жидкости в трубе и уравнение неразрывности можно представить в виде

где po, VQ - плотность и скорость жидкости в невозмущенном потоке (считаем их постоянны­ ми по длине трубы); v=v(x,t), p—p{x,t), p==p(x,t) - малые возмущения скорости, дакле-

ния и плотности жидкости.

Уравнения (6.3.42) и (6.3.43) можно пред­ ставить в безразмерном виде и объединить в одно уравнение

1-м

Комплексное число Z (комплексное сопротивление) обычно называют граничным импедансом, причем Мц/ - коэффициент активного сопротив-

^ ^

ления; а - коэффициент реактивного сопротив-

«

Учитывая дополнительно (6.3.46), получим урав­ нения форм колебаний скорости v(4) и давле­

ния р[^):

г'^'^и^'-

(6.3.53)

кл qe^ 1^

На концах трубы

Частота свободных колебаний, вообще говоря,

где V и Q - вещественные числа,

Q учетом (6.3.52), (6.3.56) получим

Запишем (6.3.55) в тригонометрической форме, приравняв нулю отдельно вещественную и мни­ мую его части:

v(0) = q + С2; v{l) = qe^^ + Сзе^^ ;

(6.3.54)

Произвольные постоянные Q и Сг могут быть определены из граничных условий.

Пример: ?(0) = 0,v(l) = 0. Подставляя эти

условия в (6.3.54), получим характеристическое уравнение в виде

^^^(2«-l)7C|-^_^2J („ = 1^2,...).

Размерная частота

«и =î^n-

/

При наличии сопротивлений v>0 колебания будут затухающими. Некоторые результаты для других граничных условий приведены в табл. 6.3.1.

где Е^ - модуль сжатия жидкости. Эквивалентная скорость звука в жидкости в

Формула (6.3.64) носит название формулы Н. Е. Жуковского.

Скорость звука можно значительно умень­ шить впрыском в жидкость пузырьков газа.

С увеличением от110шения радиуса трубы к длине, точнее к дцтине упругой волны, одномер­ ная постановка задачи может оказаться 1ру6ой.

Двумерная задача. Рассматриваются малые осесимметричные колебания жидкости и стенок трубы; труба - тонкостенная безмоментная ци­

здесь р* - плотность материала трубы; ро, UQ - плотность невозмущенного столба жидкости и скорость звука в нем; / - длина трубы; w(x,/) - радиальные осесимметричные перемещения стенки трубы; р{г, X, t) - динамическое давление жидкости в трубе.

Система дифференциальных уравнений: для оболочки трубы

Г„2 <^ ^С^^-с) 2г~/^ ч ~/^ ч|

Давление жидкости

дФ

(6.3.68)

Грани^шые условия: на стенках грубы

р2 dw = дФ приг|=1; (6.3.69)

дх дг]

на концах трубы: открыгом ^ / ^ = 0 , зак­

рытом ^/(5^=0 .

Решение уравнений (6.3.66), (6.3.67) нахо­ дим в виде

где

Q

Из (6.3.73) находим ^^п(л)=«^(ЦлЛ)> из (6.3.69),

Из (6.3.72) и граничных условий на концах тру­ бы получим

ЛГ„(^) = 8ша^^.

Например, для трубы, открьггой с одного конца,

Р

Получим

(6.3.77) Каждому a,j соответствует одно ц„. Зная ц^ , по (6.3.76) находим Q„ и размерную частоту

Сравнение эквивалентных скоростей звука жидкости в одномерной и двумерной задачах. Частоту свободных колебаний (6.3.78) с учетом (6.3.76) представим в виде

аа

2

1 +

I

Назовем эквивалентной скоростью звука, соответствующую п-му тону колебаний, величи­ ну

(6.3.64) а/2=1,11; а'э=0,69а?о.

В двумерной постановке для трубы, закры­ той с одного конца, длина волны первого тона

к

Оара/лная

СОЯЗЬ

Рис. 6.4.1 Принципиальная схема автоколебательной системы

Простейшая автоколебательная система (рис. 6.4.2) - маятник на вращающемся валу с падающей характеристикой момента сил трения. Здесь колебательная система - маятник, источ­ ник энергии - вращающийся с постоянной ско­ ростью вал, обратная связь - характеристика трения, которая обусловливает отбор энергии от вала за каждый период колебаний.

С нарастанием амплитуд на некоторой час­ ти периода колебаний (см. рис. 6.4.2, б) может быть dM^ /dCl > О, нарастание амплитуд замед­ лится и при некотором значении Q*, соответ-

цесс развития колебаний во времени можно трактовать так: вначале неустойчивость, затем вследствие нелинейности ограничение амплитуд и устаноаление автоколебаний.

Амплитуда и частота автоколебаний могут быть найдены только из решения нелинейного уравнения. Для систем, у которых небольшие нелинейности упругой характеристики, малый приток энергии и малое ее рассеяние за период колебаний, форма колебаний близка к гармони­ ческой, частота автоколебаний близка к частоте свободных колебаний. Такие колебательные сис­ темы называют системами осцилляторного типа, в физике их называют томпсоновскими автоко­ лебательными системами.

Рис. 6.4.3. Энергетические соотношения при автоколебаниях: {+)Е - энергия, поступающая

в систему за период колебаний; (-)Е - энергия, теряемая системой

Установление стационарных режимов, их устойчивость удобно прошшюстрировать с по­ мощью энергетических соотношений (рис. 6.4.3). Для стационарных автоколебаний справедлив

Т

энергетический баланс системы I E(t)dt = 0 (1-

0 период колебаний), при этом в течение одной

части периода происходит пополнение колеба­ тельной энергии, в течение другой его части - уменьшение энергии. На рис. 6.4.3, а колебания с амплитудой VJ/Q - устойчивые, стационарные; такие колебательные системы способны к само­ возбуждению, поскольку положение vj/=0 неус­ тойчиво. На рис. 6.4.3, б положение v|/=0 устой­ чиво, колебания с амплитудами V|/<v|/i - затуха­ ющие, 4^i<v|/<v|/o - -нарастающие, колебания с амплитудой ц/о - устойчивые стационарные (автоколебания); ддя возбуждения автоколебаний здесь нужен "толчок" vf/>vf/], такая система ус­

тойчива "в магюм", но неустойчива "в боль­ шом", ее называют системой с жестким возбуж­ дением.

В сложных автоколебательных системах от­ дельные части системы совершают автоколеба­ ния с разными амплитудами, но с одной часто­ той.

Начальная фаза автоколебаний произволь­ на, поскольку произволен момент самовозбуж­ дения и установление стационарного режима колебаний.

Дифференциальное уравнение автоколеба­ ний системы с одной степенью свободы с нели­ нейной упругой характеристикой и нелинейной характеристикой поступления и рассеяния энергии имеет вид

X + {п +рх +ух Ьс • COQ ч-оа: ]х = 0. (6.4.2)

Для оценки устойчивости линеаризованной системы важное значение имеет коэффициент п, называемый коэффициентом регенерации. Он показывает соотношение между вложением и потерями энергии в колебательной системе. Ес­ ли удовлетворяется требование а<<1, п«1, р « 1 , у<<1» то к решению (6.4.2) для определе­ ния режимов автоколебаний применим метод медленно меняющихся амплитуд [2, 4, 1, 5].

Для простейших уравнений вида

X - I - \ | / Q ( X , X ) +CÛQJC = О

заменой т = COQ/,X = у получаем уравнение фа­ зовой траектории

dy _ [х-\-ц/{х,у)]

dx у

которая в с/гучае автоколебаний должна быть замкнутой и устойчивой, т.е. к ней должны схо­ диться все фазовые траектории в близкой ее окрестности.

Автоколебательные системы имеют боль­ шое распространение: двигатели внутреннего сгорания и поршневые паровые машины, анкер­ ные часовые механизмы, радиоприемные и ра­ диопередающие устройства, смычковые и духо­ вые музыкальные инструменты - все они нужда­ ются в совершенствовании автоколебаний.

Существуют потенциально автоколебатель­ ные системы, для которых рабочий режим не автоколебательный, но в них Moiyr возникать автоколебания, например, самолеты и управляе­ мые ракеты (флаттер), автомобигги (шимми), регу^ляторы, ламповые усилители и др. Для них автоколебания вредны, опасны; здесь задача конструкторов - не допускать их возникновения, т.е. не допускать неустойчивости рабочего режи­ ма. Поэтому для потенциально автоколебатель­ ных систем требуется по линеаризованным урав­ нениям решать задачу об устойчивости движе­ ния, для чего в зависимости от степени диффе­ ренциальных уравнений применяют различные

Критерии, например, алгебраический РаусаГурвица, частотный и др.

Флаттер модели крыла можно представить схематически как колебания в системе с двумя степенями свободы, причем каждая парциальная система не может возбудиться; только наличие связи между системами делает ее автоколеба­ тельной. Флаттер крыла самолета недопустим. Поэтому практически очень важно определить только условия самовозбуждения, из которых найти изменения параметров, исключающих возможность самовозбуждения.

На рис. 6.4.4, а показана схема поперечно­ го сечения жесткого профиля крыла, закреплен­ ного на двух iip>OKHHax с разными жесткостями К\ и К2 и подверженного действию набегающего потока возд>:ха со скоростью V. При поперечном перемещении крыла пружины с разной жесткос­ тью обеспечивают в общем случае изгиб крыла совместно с его кру^юнием.

здесь у - перемещение цетра масс крыла (точки Q;

\x,-x,)qs[cf' "rC^

(6.4.4) m - масса крыла; / - момент инерции крыла относительно оси, проходящей через его центр масс; Ь - длина хорды крьша; XQ - координата центра масс крыла, отсчитываемая от ее пере­ дней кромки; X/' - координата аэродинамическо­ го фокуса.

Нетривиальное решение уравнений (6.4.3)

будет существовать, если определитель системы (6.4.3) равен нулю:

характер, но одно из слагаемых решения (6.4.5) безгранично возрастает. Это состояние называют флаггером. Скорость потока, при которой нера­ венство (6.4.9) становится равенством, называют критической скоростью флатгера. При малейшем увеличении этой скорости наступает флатгер.

3. Выполняется условие (6.4.8) при всех скоростях полета. Именно этому условию отве­ чают параметры крьша любого летающего само­ лета. При равенстве слева возникает диверген­ ция, при равенстве справа - флаттер.

Если неравенство справа (6.4.8) преобразо­

соидальной, а период колебаний зависит от вре­ мени релаксации. При разрыве обратной связи колебания в таких системах затухают апериоди­ чески.

Примерами механических релаксационных автоколебательных систем являются механизмы ударного действия: пневматические молотки, паровые или воздушные молоты. В них нет об­ мена энергией между массой и пружиной, как в системах осцилляторного типа, здесь нет пружи­ ны, энергию запасает только масса и полностью ее отдает при ударе. Период колебаний склады­ вается из времени подъема молота и времени его рабочего хода с ударом.

Следовательно, для обеспечения противофлаттерной устойчивости надо центр масс прибли­ жать к передней кромке крьша и увеличивать жесткость К2 по сравнению с К\. Другими сло­ вами, центр масс должен бьггь впереди центра жесткости (центром жесткости называют точку, обладающую тем свойством, что приложенная в ней вертикальная сила не вызывает поворотов поперечного сечения). Практически важно ис­ следовать зависимость v^ или q^ от парциальных

частот cOj^gr ~ V^n ^ ^кр= v^22 ' ^^ положения оси жесткости х^ и от положения центра масс хс- Эти исследования показывают, какими пу­ тями можно поднять критическую скорость флаттера.

6.4.2. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [851

В отличие от осцилляторных систем, в ко­ торых колебания почти гармонические, в релак­ сационных системах автоколебания настолько сильно отличаются от гармонических, что имеют вид почти "разрывных" колебаний. Поэтому релаксационными (noirrn "разрывными") назы­ вают такие автоколебания, при которых имеет место скачкообразное изменение во времени некоторых колеблющихся величин. Примером может служить контур из RC элементов с источ­ ником энергии. Если в такой системе выполне­ ны условия самовозбуждения, то форма генери­ руемых колебаний, как правило, далека от сину­

Рис. 6.4.5. Схема паровоздушного молота

Схема паровоздушного молота показана на рис. 6.4.5. Задвижки У, 2, перекрывающие впус­ кные и выпускные каналы, работают в противофазе, их движения связаны с движением поршня 3. При движении поршня вверх задвижка 1 за­ нимает верхнее положение, 2 - нижнее; при движении поршня вниз - наоборот.

6.4.3. ПОВЕДЕНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ ВНЕШНЕМ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

В зависимости от вида нелинейной харак­ теристики автоколебательной системы, уровня внешнего гармонического воздействия, соотно-

шения частоты внешнего воздействия и частоты колебаний автоколебательной системы будут наблюдаться различные эффекты. Запишем ли­ неаризованное уравнение [более простое, чем (6.4.2)] для вЬшвления принципиальной стороны вопроса в виде

2

X + (28 - Ц)IJC+©0^ = ^sin/?/. (6.4.10)

При 28 > ц система недовозбуждена, но затухание частично скомпенсировано положите;п>ной обратной связью (коэффициент ц). Са­ мовозбуждения автоколебаний нет, вследствие регенерации происходит усиление внешнего воздействия на частоте />, резонансные кривые имеют такую же форму, кг к и в системе с нели­ нейной харакгеристикой.

Если регенерация переходит в самовозбуж­ дение (.\х > 28), то наряду с вынужденными ко­ лебаниями на частоте р в системе появляются автоколебания на частоте со « со Q . При малых значениях X и малых коэффициентах расстройки

г I 7 возникает синхронный режим, когда система совершает колебания с одной час­ тотой - частотой внешнего воздействия р. Вслед­ ствие нелинейного взаимодействия в такой сис­ теме могут возникать как биения, т.е. колебания с частотой Q = /> - CÛQL так и комбинационные

составляющие с частотами виДа U^±/WCOQ , где

к, m - целые числа. На рис. 6.4.6 схематически показаны области биений и синхронизма для системы с мягким возбуждением; Л- амплитуда, штриховые линии - амплитуда вынчжденных колебаний, штрихпунктир - амплитуда автоколе­ баний.

скорости передачи информации пояшгяется с запозданием на время Л/=т. Математически y^icT подобного идеального запаздывания выражается тем, что время / в выражении для силы заменя­ ется временем (/-т). Большую роль играет запаз­ дывание в акустических системах из-за относи­ тельно небольшой скорости распространения звука в газообразных, жидких и твердых средах. Всякое запаздывание х для гармонических коле­ баний может бьггь записано в виде некоторого фазового сдвига со(^ - т) = со/ - сот = (со/ - 0), тригонометрическая форма представления коле­ баний X - y4sin(cû^ - 0) - в комплексном виде

Принципиальная возможность возникно­ вения неустойчивости движения, а затем в силу нелинейности и автоколебаний, в колебательной системе с одной степенью свободы при наличии запаздывания может бьггь сравнительно просто обнаружена применением частотного критерия устойчивости [71]: если разомкнутая цепь устой­ чива или нейтральна, то тя устойчивости соот­ ветствующей замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (-1, /0).

^^

биения \ /

/\ 1

CUHXpOHHbfÙ

режим

N

Рис. 6.4.6. Схематическое изображение изменения амплитуд автоколебаний при синхронизации

Более подробно о гармоническом воздей­ ствии см. в [56].

6.4.4.АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

СЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Термин "запаздывание" предполагает, что в системе причина возникает в момент /, а выз­ ванное ею действие сил вследствие конечной

N(cvj)

Рис. 6.4.7. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы с запаздыванием

Дифференциальному уравнению разомкну­ той цепи при наличии запаздывания

}V{i(ù) ^ ^2 H _ Ве

Xj(/(J0) f COQ - с о J + / 2 8 C 0

где 2(0^^ иод знаком синуса потому, что за один оборот вала его жесткость дважды достигает наибольщего и дважды наименьщего значения.

Работа упрушх сил, совершаемая за цикл,

отличающаяся от АФЧХ обьршой линейной цепи IVQU(Û) наличием запаздывания на угол

на рис. 6.4.7. При наличии запаздывания для построения W^(/co) каждую точку характеристи­ ки ^FQ(/CO) надо сдвинуть по окружности по часовой стрелке на угол 0 = тсо, где со - значение частоты в данной точке характеристики. Напри­ мер, для W^Q(/CO) при частоте колебаний coi амп­

составляет уже ф+TCOi. Характеристика H^Q(/CO) не охватывает точку С (-1, /0), характеристика W(m) эту точку охватывает, что свидетельствует о неустойчивости замкнутой системы с запазды­ ванием. Если величина запаздывания т такая, что при резонансной частоте тсо « 7с/2, то сис­ тема при 8>0 будет всегда неустойчивой.

6.4.5. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ [92]

JFdy = -jcydy,

где У = Ус) sin cOjj/; с = CQ + Acsin 2с0р/, являет­ ся положительной. Для системы (6.4.12) всякие могущие бьггь малые колебания с собственыой частотой соо при достаточном коэффициенте b глубины модуляции возрастают до больших амп­ литуд, если вал вращается как с полной крити­ ческой скоростью (С0в=2соо), так и со скоростью, равной ее половине.

Приведем еще два примера параметричес­ кого возбуждения колебаний.

Упругая нить (струна), несущая массу m на середине своей длины, имеет переменное натя­ жение Т = TQ + AT siii pt, изменяющееся с

частотой р от ТО+АТ'ДО TQ - AT (рис. 6.4.8, а).

Если мы будем усиливать натяжение, когда мас­ са движется к центру, и ослаблять при движении от центра, то дости1нем нарастания колебаний.

Ж

\

те Y

Параметрическим называют такое возбуж­ дение колебательной системы, при котором сила непосредственно не вызывает колебания, но она изменяет один или несколько параметров систе­ мы во времени, поэтому коэффициенты диффе­ ренциального уравнения системы зависят от времени. Ко.лебания, имеющие место в системе при этих условиях, называют параметрическими, они могут бьггъ затухающими и нарастающими во времени. Особый интерес представляют нара­ стающие колебания. Характерным примером является вращение тяжелого диска, насаженного на вал прямоугольного поперечного сечения, у которого жесткость на изгиб в двух взаимно перпендикулярных направлениях имеет макси­ мальное и минимальное значения. Обозначив со^ - угловую скорость вращения вала, h = Ас / CQ - коэффициент глубины модуляции параметра, дифференциальное уравнение колебаний диска в одной плоскости представим в виде

у +2гу -\-(x)l(l + bsm2(ù^t^y =0, (6.4.12)

SJ

Рис. 6.4.8. Схема параметрического возбуждения колебаний

Схема раскачивания качелей может бьггь представлена математическим маятником, длина которого может принудительно изменяться (рис. 6.4.8, б). Для того чтобы колебания могли возра­ сти до большой величины при изменении длины

с частотой /> = O)Q = ^g 11, необходимо тянуть ншъ вверх в середине размаха и опускать вниз при крайних положениях, вследствие чего грузик будет описывать фигуру наподобие восьмерки. Так как натяжение нити больше при малых углах Ф и меньше в крайних положениях, то указан­ ными изменениями длины нити мы закачиваем в систему энергию, которая идет на раскачку маятника.