Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин
.pdf530 |
|
|
|
Глава 7.9. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
удовлетворяющих |
|
условию |
X(/Q) < Ô, |
будет |
|
|
|
|
sup |
||m^(/)||<8. |
|
(7.9.29) |
|||||||||||
иметь место неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L^t<oo |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если положение равновесия x(/)sO устой |
||||||||||
|
р | |
sup |
||x(0||<s |
> 1 - р . |
(7.9.26) |
чиво в указанном выше смысле и, кроме того, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вьптолняется условие |
|
|
|
|
|
|
|||||
Иногда это определение называют устойчивос |
|
|
|
|
limfm Д0|| = О, |
|
(7.9.30) |
||||||||||||||||
тью с вероятностью единица в том смысле, что |
то положение равновесия |
называют |
асимптоти |
||||||||||||||||||||
вероятность превышения отклонениями уровня 8 |
|||||||||||||||||||||||
чески устойчивым по совокупности моментных |
|||||||||||||||||||||||
при />/о не превысит любого наперед заданного |
|||||||||||||||||||||||
функций г-го порядка. Для тех задач, в которых |
|||||||||||||||||||||||
значения р. |
|
равновесия |
х(/)^0 |
называют |
моментные функции различных порядков ока |
||||||||||||||||||
|
Положение |
зываются связанными, вводят понятие устойчи |
|||||||||||||||||||||
асимптотически |
устойчивым |
по |
вероятности, |
вости по совокупности моментных функций до |
|||||||||||||||||||
если оно устойчиво по вероятности, и, кроме |
порядка г включительно [8]. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
того, для всех решений системы (7.9.20), удов |
|
7.9.7. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ |
|||||||||||||||||||||
летворяющих условию |
x(^Q ) |
< Ô, |
выполняется |
|
|||||||||||||||||||
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim Р{||х(/)|| < s} = 1. |
(7.9.27) |
|
Типичная задача об устойчивости механи |
||||||||||||||||||
|
|
/->оО |
|
|
|
|
|
|
|
|
ческих |
систем, |
параметрически |
возмущаемых |
|||||||||
|
Говорят, что положение равновесия x(/)sO |
переменными по времени случайными силами, |
|||||||||||||||||||||
системы (7.9.20) устойчиво по математическому |
приводит к уравнению |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
g + 2e^+(ùl[l+\i(p(t)]q |
= О, |
(7.9.31) |
||||||||||||||||||
ожиданию нормы, если для любого 8>0 можно |
|
|
|
||||||||||||||||||||
указать такое 5(8) >О, что из |
|
X(/Q) < ô |
сле |
где ф(/) - случайная функция времени с матема |
|||||||||||||||||||
дует неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тическим ожиданием, равным нулю. Уравнение |
|||||||||||||
|
|
sup (||х(/)||)<8. |
|
(7.9.28) |
(7.9.31) |
является |
аналогом |
уравнения |
Матье- |
||||||||||||||
|
|
|
Хилла применительно к случайному параметри- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ческоАсу |
возбуждению. |
Приближенный |
анализ |
||||||||
Здесь |
/ . J означает операцию |
взятия |
математи |
стохастической устойчивости |
решения |
ç(f)^ |
|||||||||||||||||
ческого ожидания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
обычно основан на методе Крылова - Боголюбо |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ва |
- Митропольского. |
Решение |
уравнений |
||||||||||||
|
Если положение равновесия x(/)sO устой |
||||||||||||||||||||||
|
(7.9.31) ищут в форме q(t) |
= A(t) sm[(ùQt-\-\\f(t)\ |
|||||||||||||||||||||
чиво по математическому ожиданию нормы и, |
|||||||||||||||||||||||
кроме того, выполняется условие |
|
|
|
|
и приходят к системе двух уравнений относи |
||||||||||||||||||
|
|
lim(||x(0||)=0, |
|
|
|
|
тельно медленно изменяющейся амплитуды A(t) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и фазы \|/(/). Эти переменные далее трактуют как |
|||||||||||||||||
|
|
/ - • о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составляющие марковского процесса, совместная |
|||||||||||||
ТО положение равновесия |
называют |
асимптоти |
|||||||||||||||||||||
чески |
устойчивым |
по |
математическому ожида |
плотность |
вероятности |
которых |
удовлетворяет |
||||||||||||||||
некоторому уравнению типа Колмогорова. При |
|||||||||||||||||||||||
нию |
нормы. В случае |
евклидовой |
нормы |
||х|| |
|||||||||||||||||||
ближенное условие асимптотической |
устойчиво |
||||||||||||||||||||||
будем |
иметь |
асимптотическую |
устойчивость в |
||||||||||||||||||||
сти по вероятности имеет вид [49] |
|
|
|
||||||||||||||||||||
среднем квадратическок, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В прикладных расчетах широко использу |
|
|
|
ц \ ( 2 о ) о ) < 2 8 / я а ) ^ , |
|
(7.9.32) |
|||||||||||||||||
ется |
понятие |
устойчивости |
по |
совокупности |
где |
S^((û) |
- спектральная |
плотность процесса |
|||||||||||||||
моментных функций [65, 8, 36]. Обозначим че |
|||||||||||||||||||||||
ф(/). Эта спектральная плотность входит в фор |
|||||||||||||||||||||||
рез nîjijfj(t) |
моменты г-го порядка |
компонент |
|||||||||||||||||||||
вектора отклонений |
х(/). |
Совокупность |
всех |
мулу (7.9.32) при |
частоте 2соо> т.е. при |
удвоен |
моментов г-го порядка ШfJ(f) образует векторное ной собственной частоте. Если процесс ф(/) -
пространство ВЛ |
, размерность которого можно |
узкополосный с несущей частотой 0, то условие |
|||
сб1фатить с учетом симметрии моментов. |
(7.9.32) включает описание параметрического |
||||
резонанса в окрестности частотного соотноше |
|||||
Положение |
равновесия |
x(/)sO системы |
|||
ния Q=2(ùQ. |
|||||
(7.9.20) называют |
устойчивым |
по совокупности |
|||
Если в основу анализа положить критерий |
|||||
моментных функций г-го порядка, если для лю |
|||||
устойчивости по совокупности моментных фун |
|||||
бого 8>0 существует 5(8) >0 такое, что для всех |
|||||
кций, то в ряде задач можно получить точное |
|||||
решений |
системы (7.9.20), |
удовлетворяющих |
решение вопроса устойчивости. |
||
условию |
т ^ (/Q ) |
< ô, будет иметь место нера |
Пример 4. Пусть функция ф(/) в уравнении |
||
венство |
|
|
|
(7.9.31) - стационарный нормальный белый шум |
|
|
|
|
|
|
|
с п и с о к ЛИТЕРАТУРЫ |
531 |
|||||
с интенсивностью s = (ÙQ . Представив это урав |
|
|
|
||||||||||
нение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx^ = X2(h; |
dX2 = -(2yX2 |
+x^)dT-^dw, |
|
|
|
|||||||
где |
x^ =q; |
X2 =q;'c |
= t(ÛQ; y = S/(ÙQ;W('I:) |
- |
|
|
|
||||||
винеровский |
процесс, |
придем |
к уравнению |
|
|
|
|||||||
Колмогорова относительно плотности вероятно |
|
|
|
||||||||||
сти/7(XI,X2;T): |
|
|
|
|
2 2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
àp |
^ |
|
dp |
^^ |
|
dp |
\х X. д р |
j . |
|
|
|
||
— = 2Y/?-X2-^+(2YX2+XI)-^+^-—i |
|
|
|
||||||||||
ât |
|
дх^ |
|
дх2 |
2 дх2 |
|
|
|
|
||||
Моменты от фазовых |
|
|
(7.9.33) |
|
|
|
|||||||
переменных Xi, Х2, их |
|
|
|
||||||||||
произведений и степеней найдем, умножая ле |
|
|
|
||||||||||
вую часть уравнения (7.9.33) на комбинацию |
|
|
|
||||||||||
этих переменных и интегрируя результат по всей |
|
|
|
||||||||||
области их изменения. В результате для сово |
|
|
|
||||||||||
купности моментов г-го порядка получим систе |
|
|
|
||||||||||
му дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
Г = е/шо |
|||||||
|
doï^ |
= Н. |
|
(г = 1,2,...). |
(7.9.34) |
|
|
||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.9.4. Границы области устойчивости |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на плоскости параметров |
||||
Здесь размерность вектора Ш;- (совокупность |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
моментных функций порядка /) с учетом сим |
Если параметрическое возбуждение отлич |
||||||||||||
метрии составляет гЫ. Матрица Н;. размернос |
но от белого шума, анализ устойчивости суще |
||||||||||||
тью (г +1) X (г +1) имеет постоянные коэффи |
ственно |
усложняется. Стационарный нормаль |
|||||||||||
циенты. Существенно, что моменты неодинако |
ный процесс с дробно-рациональной спектраль |
||||||||||||
вого порядка разделяются. Это позволяет делать |
ной плотностью можно получить, пропуская |
||||||||||||
выводы об устойчивости решения q{t)^ |
уравне |
белый шум через линейный фильтр с постоян |
|||||||||||
ния (7.9.31) по совокупности моментов второго |
ными параметрами. В статье [65] было предло |
||||||||||||
порядка (в среднем квадратическом), третьего и |
жено расширять фазовое пространство с помо |
||||||||||||
т.д. порядков. В частности, относительно момен |
щью переменных, описывающих процесс в сис |
||||||||||||
тов второго порядка уравнение (7.9.34) прини |
теме фильтра, и исследовать устойчивость по |
||||||||||||
мает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
отношению к моментным функциям в расши |
||||
/Wjj =2/Wj2> ^^^22 ~^ 2^\\ ~^^\2 ~^Т'^22> |
ренном фазовом пространстве. Таким путем |
||||||||||||
были построены области устойчивости для слу |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чайных процессов со скрытой периодичностью и |
|||
Щг ="^11 -'^УЩг +'"22- |
|
|
|
обнаружены аналоги побочных параметрических |
|||||||||
|
Согласно |
определениям |
|
(7.9.35) |
резонансов. Ряд примеров приведен в работе [8], |
||||||||
|
устойчивости |
где также дано |
сопоставление теоретических |
||||||||||
(7.9.29) и (7.9.30) для асимптотической устойчи |
результатов с данными вычислительного экспе |
||||||||||||
вости решения q{t) = О в среднем квадратичес |
римента. |
|
|||||||||||
ком необходимо и достаточно, чтобы было |
|
|
|
||||||||||
асимптотически |
|
устойчиво |
|
решение |
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
|||||||
Щх "^ Щг "= ^"22 ~ ^ уравнений (7.9.35). При |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
менение 1фитерия Рауса - Гурвица дает условие |
1. Алфутов Н. А. Основы расчета на устой |
||||||||||||
устойчивости |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
чивость |
упругих |
систем. М.: Машиностроение, |
||||
|
|
|
|
\х^ < 4у. |
(1ЭМ) |
1991. 336 с. |
|
||||||
|
На рис.7.9.4 показаны границы области ус |
2. |
Баничук Н. В., Миронов А. А. Схема |
||||||||||
тойчивости |
на плоскости параметров у=€/(Оо,Ц. |
струйного обтекания для исследования равно |
|||||||||||
весных форм упругих пластин в потоке жидко |
|||||||||||||
Здесь г - порядок моментов, по отношению к |
|||||||||||||
сти и задачи оптимизации // Прикладная меха |
|||||||||||||
которым исследуется устойчивость [8, 36]. Как |
|||||||||||||
ника и математика. 1979. Т.43. Вьш.1. С. 83-90. |
|||||||||||||
следует из графика, с ростом порядка г требова |
3. |
Болотин |
В. В. Динамическая устой |
||||||||||
ния к параметрам системы, обеспечивающим ее |
|||||||||||||
чивость упругих |
систем. М,: Гостехиздат, 1956. |
||||||||||||
устойчивость, возрастаю^. При больших г пере |
|||||||||||||
600 с. |
|
|
|||||||||||
мещение границы, впрочем, становится незначи |
4. Болотин В. В. Неконсервативные задачи |
||||||||||||
тельным (ср. кривые на рис. 7.9.4 при г=17 и |
теории упругой |
устойчивости. М.: Физматгиз, |
|||||||||||
г=20). |
|
|
|
|
|
|
|
|
1961. 339 с. |
|
СПРАВОЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Колесников Константин Сергеевич, Александров Дмитрий Александрович, Асташев Владимир Константинович и др.
МАШИНОСТРОЕНИЕ. ЭНЦИКЛОПЕДИЯ
Том 1-3
Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин
Книга 1
ИБ № 7338
Лицензия ЛР № 080003 от 15.08.91.
Редактор Т.С. Грачева
Художественный редактор Т.Н. Галицына Корректоры А.П. Сизова, Л.Е. Сонюшкина, Л.А. Ягупьева Оформление художника Т.Н. Погореловой
Сдано в набор 11.05.94. |
Подписано в печать 11.11.94. |
Формат 70x100/16. |
||
Бумага офсетная. |
Гарнитура Times ET. |
Печать офсетная. |
Уел.печ.л. 43,55. |
|
Уч.-изд.л. 59,11. |
Тираж |
3000 экз. |
З а к а з 7 4 0 . |
Цена договорная. |
Издательство "Машиностроение", 107076, Москва, Б-76, Стромынский пер., 4
Оригинал-макет изготовлен в издательско-полиграфическом центре Тамбовского государственного технического университета 392032, г. Тамбов, Мичуринская, 112, корп. Б
Отпечатано в типографии № 4 Комитета Российской Федерации по печати 129041, Москва, Б.Переяславская ул., 46