Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин
.pdf
|
СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ |
181 |
|||||||||||||
ее взаимодействии с окружающей средой. Если |
параметров состояния и уравнений, описываю |
||||||||||||||
при постоянных внешних воздействиях парамет |
щих их изменение, необходимо связывать с ре- |
||||||||||||||
ры термодинамического состояния не меняются |
зулыатами исследований в области микромеха |
||||||||||||||
в течение рассматриваемого промежутка време |
ники, физики твердого тела, теории дислокаций |
||||||||||||||
ни, то система находится в состоянии термоди |
и струкгурньБС дефектов, физикохимии высоко |
||||||||||||||
намического равновесия. |
Состояние |
равновесия |
молекулярных соединений и в других смежных |
||||||||||||
называют устойчивым, если при |
прекращении |
областях науки. Основная трудность при этом |
|||||||||||||
любых малых внешних воздействий система воз |
состоит в согласовании результатов исследова |
||||||||||||||
вращается к исходному состоянию. В противном |
ний на микроуровне с системой вводимых фе |
||||||||||||||
случае состояние равновесия называют неустой |
номенологических |
гипотез, удовлетворяющих |
|||||||||||||
чивым. |
|
|
|
|
|
|
общим требованиям термодинамики необраис- |
||||||||
|
При взаимодействии с окружающей средой |
мых процессов, для того, чтобы получить опре |
|||||||||||||
термодинамическая система проходит ряд после |
деляющие соотношения и уравнения эволюции в |
||||||||||||||
довательных состояний, |
совокупность |
которых |
приемлемо упрощенном для применения виде. |
||||||||||||
назьшают термодинамическим процессом. Термо |
Если параметры состояния и уравнения их |
||||||||||||||
динамический |
процесс |
называют равновесным, |
эволюции постулируются феноменологически, то |
||||||||||||
если в любом промежуточном состоянии при |
они должны иметь интерпретацию на микро |
||||||||||||||
фиксированных внешних воздействиях для ко |
уровне и экспериментальное подтверждение. |
|
|||||||||||||
нечного интервала времени параметры термоди |
|
Для кристаллических решеток с pa3JDt4Horo |
|||||||||||||
намического состояния системы не изменяются. |
типа дефекгами (точечньп^и, линейньпии, повер |
||||||||||||||
Неравновесными называют |
процессы, |
состоящие |
хностными), обладающими свойствами передви |
||||||||||||
из |
последовательности |
неравновесных |
состоя |
гаться и порождаться при термомеханических |
|||||||||||
ний. При заданных внешних воздействиях ре |
воздействиях, |
деформирование |
поликристалла |
||||||||||||
альные процессы в термодинамической |
системе |
сопровождается |
|
структурными |
изменениями, |
||||||||||
всеща происходят с конечной скоростью изме |
которые должны описываться внутренними па |
||||||||||||||
нения параметров термодинамического |
состоя |
раметрами состояния. В качестве таких парамет |
|||||||||||||
ния, поэтому они всегда будут неравновесными. |
ров могут выступать статистически усред11еиные |
||||||||||||||
В том случае, если скорости изменения парамет |
плотности структурных дефектов как тензорной, |
||||||||||||||
ров |
термодинамического |
состояния |
достаточно |
так и скалярной природы. На макроуровне эти |
|||||||||||
малы, процесс приближенно можно считать рав |
внутренние параметры позволяют учесть вязко- |
||||||||||||||
новесным. Равновесный процесс, который и в |
пластические деформации поликристаллов. |
|
|||||||||||||
прямом, и в обратном направлениях проходит |
|
В материалах с высокомолекулярной струк |
|||||||||||||
через одну и ту же последовательность состоя |
турой при невысоких уровнях воздействий про |
||||||||||||||
ний, только в обратном порядке, носит название |
исходит раскручивание и переориентация моле |
||||||||||||||
обратимого. В противном случае термодинами |
кулярных цепей, что на макроуровне проявляет |
||||||||||||||
ческий процесс называют |
необратимым. Необ |
ся в виде вязких свойств. При более высоких |
|||||||||||||
ратимые термодинамические процессы |
характе |
уровнях внешней |
термомеханической |
нагрузки |
|||||||||||
ризуются рассеянием энергии. |
|
|
|
тепловое движение атомов может достигнуть |
|||||||||||
|
К числу |
параметров |
термодинамического |
такого энергетического уровня, при котором |
|||||||||||
состояния в зависимости от необходимости учета |
возбуждается химическая реакция распада, вы |
||||||||||||||
различных процессов, протекающих в термоди |
зывающая разрыв связей в молекулярным цепях, |
||||||||||||||
намической системе, относят плотность^ темпе |
образование более низкомолекулярного |
полиме |
|||||||||||||
ратуру, тензор деформаций и другие аргументы, |
ра и множества субмикротрещин в объеме поли |
||||||||||||||
а также параметры, учитывающие внутреннюю |
мерного материала. В Э10М случае микротрещи |
||||||||||||||
структуру рассматриваемого тела. В зависимости |
ны играют роль микродефектов, и в качестве |
||||||||||||||
от внутренней структуры материала тела - крис |
внутренних параметров могут быть выбраны |
||||||||||||||
таллической, аморфной, |
высокомолекулярной и |
тензор плотности микродефектов, связанный с |
|||||||||||||
т.п. - внешние воздействия вызьшают соответ |
числом и средней длиной микротрещин в еди |
||||||||||||||
ствующие структурные изменения. На макро |
нице объема тела, и скалярная величина - ско |
||||||||||||||
уровне эти изменения описываются конечным, |
рость химической реакции распада. |
|
|
||||||||||||
хотя и, в общем случае, достаточно большим |
|
При описании процесса теплопроводности, |
|||||||||||||
количеством скалярных, векторных и тензорных |
например, на основе представлений о движении |
||||||||||||||
величин, называемых внутренними |
параметрами |
фононного газа внутренний параметр состояния |
|||||||||||||
состояния системы. Характер этих параметров, |
может быть ассоциирован с векторной функцией |
||||||||||||||
как и их изменение, вследствие протекающих в |
готогности распределения фононов. |
|
|
||||||||||||
теле термомеханических процессов, определяется |
|
Так |
как |
параметры термодинамического |
|||||||||||
макроструктурным анализом их микромеханизма |
состояния |
и соответствующие |
эволюционные |
||||||||||||
[47]. |
Изменение внутренних параметров состоя |
уравнения отражают физическую структуру ма |
|||||||||||||
|
териала, то вид связей в этих уравнениях может |
||||||||||||||
ния задается при помощи уравнений для скорос |
быть достаточно разнообразен. Однако, несмотря |
||||||||||||||
тей их изменения, называемых уравнениями |
на это, они не могут быть произвольными. Кон |
||||||||||||||
эволюции параметров. Определение |
внутренних |
кретный вид каждого из уравнений долже1г под- |
182 |
|
Глава 4.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОМЕХАНИКИ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
чиняться основным принципам: взаимной связи, |
любая изолированная термодинамическая |
систе |
||||||||||||||||||||
причинности, равноприсутствия, |
объективности, |
ма имеет по крайней мере одно основное состо |
||||||||||||||||||||
локальности, затухающей памяти, |
допустимости |
яние, в котором будет находиться неограниченно |
||||||||||||||||||||
и нулевому закону термодинамики. Наряду с |
долго. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
этим должны выполняться законы сохранения и |
|
Для |
получения уравнений, |
описывающих |
||||||||||||||||||
второй закон термодинамики [47, 74]. |
|
|
температурные поля и напряжения в деформи |
|||||||||||||||||||
Суть указанных выше принципов заключа |
руемом теле, в дальнейшем рассматриваются |
|||||||||||||||||||||
ется в следующем. В соответствии с принципом |
малые перемещения и градиенты перемещений. |
|||||||||||||||||||||
взаимной связи деформируемое тело имеет раз |
В этом случае вектор перемещения |
и с компо |
||||||||||||||||||||
ные состояния, |
которые могут быть |
описаны с |
нентами |
И/ рассматривается |
как некоторое |
век |
||||||||||||||||
помощью известного числа величин, причем все |
||||||||||||||||||||||
торное поле, тензор деформахщй с |
компонента |
|||||||||||||||||||||
остальные величины |
получаются |
из |
них |
при |
||||||||||||||||||
ми |
гу |
- |
как |
тензорное поле, определенные в |
||||||||||||||||||
помощи некоторых |
определяющих |
зависимос |
||||||||||||||||||||
действительном |
векторном |
пространстве |
|
[75]. |
||||||||||||||||||
тей. Очевидно, |
что |
выбор |
базисных величин, |
|
||||||||||||||||||
Компоненты |
тензора деформаций |
выражаются |
||||||||||||||||||||
определяющих |
состояние |
термодинамической |
||||||||||||||||||||
через |
компоненты |
вектора |
|
перемещений |
соот |
|||||||||||||||||
системы, не является однозначным. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ношениями Коши Sij=(du/dXj-^dUj/dXi)/l |
(здесь |
|||||||||||||||||||
Если ввести понятия реактивных и актив |
||||||||||||||||||||||
ных переменных, причем первые |
характеризуют |
и далее /, у = |
1, 2, |
3, а также везде в формулах |
||||||||||||||||||
реакцию материала на внешние термомеханичес |
подразумевается |
суммирование |
по |
повторяю |
||||||||||||||||||
кие воздействия, а вторые - внутренние силы, |
щимся латинским индексам). Тогда из уравнения |
|||||||||||||||||||||
порожденные этими воздействиями, то каждая |
неразрывности (закона сохранения массы) [19] |
|||||||||||||||||||||
активная переменная связана с реактивными |
p = PoJl+2/i+2(/f-/2)-4/i/2+-/?+-/з, |
|||||||||||||||||||||
переменными с помощью определяющего урав |
||||||||||||||||||||||
нения. При этом также существует и обратная |
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|||||||||
связь, т.е. каждая реактивная переменная зави |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2.1) |
||||||||||
сит от активных переменных. В соответствии с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
принципом причинности любая реактивная |
пере |
где ро, р - начальное и текущее значения плот |
||||||||||||||||||||
менная может зависеть от настоящих и прошлых |
ности; II, |
/2, /3 - инварианты тензора деформа |
||||||||||||||||||||
значений активных переменных, но не от их |
ций, следует, что для малых деформаций |
|
|
|||||||||||||||||||
значений в будущем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р«Р0 - |
|
|
|
|
(4-2.2) |
||||
Принцип равноприсутствия гласит, что если |
|
|
|
|
|
|
|
V в |
||||||||||||||
На |
объем |
сплошной |
среды |
процессе |
||||||||||||||||||
какая-либо величина присутствует в определяю |
|
|||||||||||||||||||||
деформирования |
действуют |
массовые |
силы |
ин |
||||||||||||||||||
щем уравнении в качестве независимой пере |
||||||||||||||||||||||
тенсивностью Ь, а на каждом элементе dS |
по |
|||||||||||||||||||||
менной, то она может присутствовать и в ос |
||||||||||||||||||||||
тальных определяющих зависимостях. |
|
|
верхности, ограничивающей |
V, приложен вектор |
||||||||||||||||||
Принцип объективности гласит, что опреде |
напряжения с |
компонентами а^ |
. Материаль |
|||||||||||||||||||
ляющие уравнения сохраняют свою форму при |
ные |
частицы |
в |
объеме V имеют |
скорости |
v с |
||||||||||||||||
произвольном вращении и трансляции в про |
||||||||||||||||||||||
странстве и времени исследуемого тела как абсо |
компонентами |
|
v^^du/dt. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
лютно твердого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
любого |
объема |
|
V сплошной |
среды |
||||||||
Смысл принципа локальности заключается в |
можно написать уравнение закона сохранения ко |
|||||||||||||||||||||
том, что значения активных переменных и эво |
личества движения, в соответствии |
с |
которым |
|||||||||||||||||||
люционные уравнения для внутренних парамет |
скорость изменения количества движения равна |
|||||||||||||||||||||
ров состояния в окрестности рассматриваемой |
сумме всех действующих на тело внешних по |
|||||||||||||||||||||
точки определяются только значениями реактив |
верхностных и объемных сил, т.е. [36, 47, 74, 87] |
|||||||||||||||||||||
ных переменных в окрестности этой точки. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
отказаться от принципа локальности, то в этом |
|
1 |
i^^dV |
= \pb,dV + ïc^'^^dS. |
|
(4.2.3) |
||||||||||||||||
случае возможно построение более сложных, |
|
dt^ |
dt |
|
|
^ |
|
^ |
|
|
|
|
|
|||||||||
нелокальных моделей сплошной среды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В соответствии с принципом затухающей |
|
V |
|
|
|
V |
|
S |
|
|
|
|
|
|||||||||
памяти более отдаленные в прошедшем времени |
|
Равенство (4.2.3) является основньш[ посту- |
||||||||||||||||||||
состояния термодинамической |
системы слабее |
лируемьпкС динамическим |
соотношением |
меха |
||||||||||||||||||
влияют на значения активных и реактивных |
ники сплошной среды [87]. Как второй закон |
|||||||||||||||||||||
переменных в данный момент по сравнению с |
Ньютона является исходным в механике точки, |
|||||||||||||||||||||
более близкими. |
|
|
|
|
|
|
|
так и уравнение (4.2.3) лежит в основе механики |
||||||||||||||
Согласно принципу допустимости все пред |
сплошной среды и является исходным для ис |
|||||||||||||||||||||
ложения, связанные с определяющими уравне |
следования любых движений сплошной среды. |
|||||||||||||||||||||
ниями эволюции внутренних параметров состо |
Подробно вопросы, связанные с законом сохра |
|||||||||||||||||||||
яния, должны находиться в соответствии с зако |
нения количества движения, рассмотрены в [87]. |
|||||||||||||||||||||
нами сохранения и ограничениями, следующими |
|
После преобразования второго слагаемого в |
||||||||||||||||||||
из второго закона термодинамики. |
|
гласит, что |
правой части (4,2.3) согласно принципу локаль |
|||||||||||||||||||
Нулевой закон термодинамики |
ности следует формулировка закона сохранения |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
количества движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ |
183 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
О и^ |
(Ь, |
|
(4.2.4) |
|
|
|
|
ди |
|
|
de^j |
dq. |
+ рг. |
|
(4.2.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
•P^i- |
|
|
|
|
p— |
= aji—^ |
|
дх^ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dXi |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||
|
В соответствии с теоремой об изменении мо |
|
Для формулировки |
второго закона термо |
||||||||||||||||||||||
|
динамики постулируется существование двух раз |
|||||||||||||||||||||||||
мента количества движения производная по вре |
|
|||||||||||||||||||||||||
мени |
от |
момента |
количества |
движения |
личных параметров состояния - абсолютной |
|||||||||||||||||||||
N = 1 (х X y)pdV |
равна |
сумме моментов |
вне |
температуры Т и энтропии Н. Абсолютная тем |
||||||||||||||||||||||
|
пература |
является |
|
положительной |
вели^шной |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7>0). Предполагается, |
что энтропия |
обладает |
||||||||||||
шних |
массовых и поверхностных |
сил, а также |
свойством |
аддитивности, |
т.е. полная |
энтропия |
||||||||||||||||||||
термодинамической системы равна сумме энтро |
||||||||||||||||||||||||||
моментов действующих на этот объем распреде |
||||||||||||||||||||||||||
пии |
ее частей. Полная |
|
энтропия определяется |
|||||||||||||||||||||||
ленных массовых и поверхностных пар сил, выз |
|
|||||||||||||||||||||||||
интегралом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ванных внешними по отношению к объему V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
материальными |
объектами. В рассматриваемом |
|
|
|
|
|
Я |
= \phdV, |
|
|
|
(4.2.9) |
||||||||||||||
случае распределенные массовые и поверхност |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ные пары сил не учитываются (это делают при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
построении более сложных по сравнению с рас |
где h - массовая плотность энтропии. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
сматриваемыми |
моделей |
деформируемых сред, |
|
|
Изменение энтропии |
термодинамической |
||||||||||||||||||||
называемых микрополярными). Тогда [36, 47, |
системы на величину dh может осуществляться |
|||||||||||||||||||||||||
74, 87] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как вследствие процессов, происходящих внутри |
||||||||||||||||
— f(X X y)pdV = f(х X b)pdV + f(X X a^''^ )dS |
(4.25)системы (dh^, |
так и вследствие взаимодействия |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
окружающей |
|
средой |
(dh(^^), |
т.е. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dh=dh(0+dh(^). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или после преобразования |
второго |
слагаемого в |
|
|
Приращение ^Л(') неотрицательно для всех |
|||||||||||||||||||||
термодинамических процессов: |
dh(^^>0 для нео |
|||||||||||||||||||||||||
правой части (4.2.5) и использования принципа |
||||||||||||||||||||||||||
братимых |
процессов и |
dh^^^O для обратимых |
||||||||||||||||||||||||
локальности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
aij=Gji. |
|
(4.2,6) |
процессов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если при обратимом процессе приток теп |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Соотношение (4.2.6) носит название условия |
ла, приходящийся на единицу массы системы, |
|||||||||||||||||||||||||
парности касательных напряжений. |
|
|
составляет bQ, то приращение |
энтропии |
вслед |
|||||||||||||||||||||
|
Закон сохранения энергии^ |
который |
такжествие |
взаимодействия |
с |
окружающей |
|
средой |
||||||||||||||||||
называют первым законом термодинамики, гла |
£Й(^) =Ь Q/T является полным дифференциалом, |
|||||||||||||||||||||||||
сит, |
что скорость |
изменения |
полной энергии |
и абсолютная температура выступает здесь в ка |
||||||||||||||||||||||
деформируемого |
тела |
определяется |
мощностью |
честве интегрирующего множителя. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
внешних сил и количеством тепла, |
получаемым |
|
|
Второй закон |
термодинамики |
гласит, что |
||||||||||||||||||||
телом в единицу времени [36, 47, 74, 87]: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
скорость изменения энтропии H термодинами |
|||||||||||||||||||||||||
д - |
{pv^v^dV + — {pudV |
= ÏG^'^K^dS + |
|
ческой системы, занимающей объем |
V, при лю |
|||||||||||||||||||||
dtl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бых |
термодинамических |
процессах |
не |
может |
|||||||||||
V |
|
|
V |
|
|
s |
|
|
|
быть меньше, чем сумма притока энтропии че |
||||||||||||||||
+ (pbiV^dV - |
ïq^n^dS + ïprdV, |
(4.2.7) |
рез границу тела S и энтропии, производимой |
|||||||||||||||||||||||
внутри объема внешними источниками, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
V |
|
S |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
-\phdV>{—dV- A^^dS. |
|
|
(4.2.10) |
||||||||||
|
в |
этом соотношении слагаемые в левой ча |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
сти представляют собой скорости изменения |
|
|
|
V |
|
V |
|
|
s |
^ T |
|
|
|
|
||||||||||||
соответственно |
кинетической |
и |
внутренней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
энергии тела {и - массовая плотность внутренней |
|
|
Неравенство (4.2.10) носит название нера |
|||||||||||||||||||||||
энергии). Правая часть (4.2.7) состоит из следу |
венства |
Клаузиуса-Дюгема |
и является |
наиболее |
||||||||||||||||||||||
широко |
используемой |
математической |
|
форму |
||||||||||||||||||||||
ющих слагаемых: работы, |
совершаемой поверх |
|
||||||||||||||||||||||||
лировкой второго закона термодинамики. |
|
|||||||||||||||||||||||||
ностными и массовыми силами в единицу вре |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Локальная формулировка неравенства Кла |
||||||||||||||||||||||||
мени, тепла, потерянного при взаимодействии с |
|
|
||||||||||||||||||||||||
узиуса-Дюгема может быть получена в результате |
||||||||||||||||||||||||||
окружающей средой через поверхность S, и теп |
||||||||||||||||||||||||||
уже неоднократно проделанных преобразований: |
||||||||||||||||||||||||||
ла, полученного вследствие объемного взаимо |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
дИ |
д |
|
|
|
|
рг |
>0, |
|
|
(4.2.11) |
||||||||||||
действия с окружающей средой (^/ - компоненты |
|
|
|
|
р — + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
вектора плотности теплового потока; г - массо |
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
дх, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
вая |
плотность мощности тепловых |
источников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Второе |
слагаемое |
|
в |
левой |
|
части |
||||||||||||||||||
или стоков). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2.11) |
|
можно |
|
представить |
в |
|
виде |
|||||||||||
|
Локальная |
формулировка |
закона сохране |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
—1 |
|
|
—2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ния энергии имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Т dq^ / дх^ -Т |
|
q^dT / дх^. Тогда изменение |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184 |
|
|
|
|
Глава 4.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМ0МЕХАНИ1СИ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
энтропии |
термодинамической |
системы |
вслед |
Постулируется, |
|
что |
|
скорость |
изменения |
||||||||||||||||||||
ствие |
взаимодействия |
с |
окружающей |
средой |
внутренних |
переменных |
|
определяется |
только |
||||||||||||||||||||
рдИ |
/dt |
= -Т |
dq^ / |
дх^. |
Если |
производство |
состоянием термодинамической системы [47, 74, |
||||||||||||||||||||||
87]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
энтропии внутри деформируемого тела обус |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ловлено только |
процессом |
|
теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и |
объемным |
энерговыделением, |
|
то |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
pdh^'^ /dt |
= Т'^д^дТ/ дх^ |
-ргТ~\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
При описании поведения конкретных ма |
— |
-аэ. |
^8^;,i,^^,x |
|
|
,XA: ^Xkl )^ |
|
|||||||||||||||||||||
териалов могут быть использованы различные |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
математические модели. В зависимости от усло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
вий нагружения и эксплуатахщи исследуемых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
конструюдай эти модели должны учитывать эф |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
фекты вязкоупругости, пластичности и ползучес- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2.13) |
||||||||||||||||
ти^ накопления повреждений, конечность скоро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
сти распространения теплоты и др. Для получе |
Компоненты тензора напряжений и энтро |
||||||||||||||||||||||||||||
ния определяющих уравнений используют три |
пия определяются соотношениями: |
^ |
|
||||||||||||||||||||||||||
основных |
варианта, базирующихся |
на |
рассмот |
Gy=p |
дЛ |
; |
, |
|
дЛ |
; |
дЛ |
|
(4.2.14) |
||||||||||||||||
рении сред скоростного типа, сред с памятью и |
дгу |
h = |
|
дТ |
д^^ |
= 0, |
|||||||||||||||||||||||
сред с внутренними параметрами состояния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Основными |
особенностями |
сред |
скоростного |
т.е. свободная энергия не зависит от градиента |
|||||||||||||||||||||||||
типа являются присутствие в качестве аргументов |
температуры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
активных переменных скоростей изменения ре |
Уравнения (4.2.13) не могут быть произ |
||||||||||||||||||||||||||||
активных и невозможность использования таких |
вольными, конкретную их форму выбирают с |
||||||||||||||||||||||||||||
моделей для описания релаксационных свойств |
учетом второго закона термодинамики, который |
||||||||||||||||||||||||||||
активных переменных. Среды с памятью харак |
может быть записан в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
теризуются тем, что связь между акшвными и |
дЛ |
|
,(«) |
|
|
дЛ д^' |
|
|
дЛ ^ - |
дТд, ^ |
|||||||||||||||||||
реактивными переменными имеет вид функцио |
д)1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
налов, зависящих от истории изменения реак |
|
|
•+р |
|
|
.т |
|
|
Jy) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
à^' |
àt |
|
|
dt |
dx,T |
||||||||||||||||||||||
тивных переменных. Этот подход является наи |
|
|
|
|
|
|
à)^j' |
||||||||||||||||||||||
более общим, предоставляет широкие возможно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2.15) |
|||||||||||||||
сти для учета разнообразных эффектов, но за |
Закон сохранения энергии в форме урав |
||||||||||||||||||||||||||||
математическим формализмом при этом не все |
нения теплопроводности будет |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
гда видна физическая природа изучаемого явле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dT |
|
^ |
|
d^A |
|
de^j |
|
|
,(а) ах!(а) |
|
||||
Предполагается [47, 74], что состояние рас |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
сматриваемого деформируемого тела в окрестно |
рс— |
dt |
= рТ |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
de^dT |
dt |
|
|
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||
сти любой материальной точки определяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
четырьмя |
термодинамическими |
функциями |
- |
|
|
-Q](P) |
(P) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
активными |
переменными: |
свободной |
|
энергией |
|
|
àx) |
|
l^/'^-^^pr, |
dXi |
|
||||||||||||||||||
A=u-Th, |
энтропией Л, тензором напряжений с |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|||||||||||||||
компонентами Gу и вектором плотности тепло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2.16) |
|||||||||||||||
вого потока с компонентами ^/. Аргументами |
где с |
^-Td'^AIdT'^ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
удельная теплоемкость |
|||||||||||||||||||||||||||||
этих функций принимают следующие реактив |
|||||||||||||||||||||||||||||
ные переменные: тензор малых деформаций с |
при постоянной деформации; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
компонентами е;^/» температуру |
Т, |
градиент тем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
пературы, компоненты которого |
^ k=dT/dxjçy и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
внутренние параметры состояния |
(а) |
|
(Р) |
(у) |
qf^ = р(7ЭА / ^ f |
^дА/ |
|
|
àft!\ |
\ - парамефы |
|||||||||||||||||||
% |
|
,х^ |
,Х^^ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
(а=1,...,а^; |
p=l,...,pji/; |
у=1,...,улг), т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
связанности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В уравнении теплопроводности (4.2.16) ле |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вая часть определяет связь свободной энергии с |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
температурой. Первые четыре слагаемых в пра |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вой части этого уравнения определяют измене |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние свободной энергии тела, обусловленное де |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формациями и внутренними параметрами состо |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2.12) |
яния. Их необходимо учитывать при рассмотре |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нии связанных задач термомеханики. |
|
|