Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

Глава 1.6. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

Вьппеприведенные решения, определяю­ щие напряжения и перемещения при действии одной сосредоточенной силы, могут быть ис­ пользованы на основании принципа суперпози­ ции для получения решения при действии дру­ гих видов нагрузки (распределенной нагрузки, моментов и т. д.).

Пример 1. Определить перемещения точек

^ткЛ.^А. Полувдоспияь, загруякявшш m сжободиЫЕ жромве кжсжтелыюй свкфсяоточениой сялой

Напряжения и перемещения в декартовых координатах:

жr

*

ч V )

\Xl

Рис.1.6.9. Полуплоскость, зягружентая вдоль свободной кромки нормальной распределенной нагрузкой

Р е ш е н и е . Определим вначале переме­ щения точек полуплоскости при действии сосре­ доточенной силы Р, приложенной на расстоянии с от начала координат.

На основании формул (1.6.41) запишем

'•[,'..'.^„Кс^)]

я^*

Суммируя действие элементарных сил dP = q(c)dc с помощью операции интегрирова­ ния, получаем:

где

При действии двух противоположно на­ правленных сил (рис. 1.6.И), приложенных на расстоянии Лс друг от друга, эта функция будет, очевидно,

^1(^ф) =^[^о(^1>^2 + Д с ) - ^ о ( ^ 1 ' ^ 2 ) ] ' (1.6.43)

где Xj = гсо8ф; ^2 = г8Шф.

Пример 2. Определить напряжения в полу­ плоскости, нагруженной на кромке сосредото­ ченным моментом M (рис. 1.6.10).

РНС.1.6Л0. Полушюскость, свободная кромкя которой за1ружена соя1едоточевШ|1м моментом

Р е ш е н и е . Представим функцию на­ пряжения (1.6.39) при действии сосредоточен­ ной силы в виде

рi \ Р

V J

\\Xi

Рисл .6л 1. Полуплоскость, свободная кромкя которой загружена парой сил

Подставляя в равенство (1.6.43)

F = - ^0

Ас

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Абовский Н. П., Андреев И. П. Вариаци­ онные принципы теории упругости и теории оболочек. Красноярск: Изд-во Красноярского пед. ин-та, 1973. 190 с.

2.Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций. М.: Стройиздат, 1968. 241 с.

3.Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 631 с.

4.Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод гра­ ничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 494 с.

5.Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: На­ ука, 1983. 448 с.

6.Бнргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956. 149 с.

7.Бребия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Мето­ ды граничных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 524 с.

8.Васидзу К. Вариационные методы в тео­ рии упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 542 с.

9.Верюжский Ю. В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978. 182 с.

10.Галлахер Р. Метод конечных элементов: Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

11.Демидов С. П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. 432 с.

12.Зенкевич О. Метод конечных элементов

втехнике. М.: Мир, 1975. 542 с.

13.Зенкевич О., Морган К. Конечные эле­ менты и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

14.Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. 287 с.

15.Колтунов М. А., Кравчук А. С, Майборода В. П. Прикладная механика деформируемо­ го твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. 349 с.

16.Купрадзе В. Д. Методы потенхщала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.

17.Лейбензон Л. С. Теория упругости: Собр. трудов. Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1951. 476 с.

18.Лехницкий С. Г. Теория упругости ани­ зотропного тела. М.: ГИТТЛ, 1950. 287 с.

19.Лурье А. И. Теория упругости. М.: На­ ука, 1970. 940 с.

20.Ляв А. Математическая теория упругос­ ти. М.: ОНТИ, 1935. 674 с.

21.Марчук Г. И. Методы вычиcлитeJП>нoй математики. М.: Наука, 1989. 608 с.

22.Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха. Киев: Вища школа, 1982. 479 с.

23.Миндлин Р. Д. Влияние Моментных на­ пряжений на концентрацию напряжений // Ме­ ханика. 1964. N 4 (88). С. 115 - 128.

24.Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1981. 512 с.

25.Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

26.Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. 304 с.

27.Образцов И. Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструк­ ций. М.: Машинос1роение, 1966. 392 с.

28.Образцов И. Ф., Савельев Л. М., Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. 392 с.

29.Оден Дж. Конечные элементы в нели­ нейной механике сплошных сред: Пер. с англ. М.: Мир, 1976.

30.Пальмов В. А. Основные уравнения не­ симметричной теории упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. N 3. С. 401407.

31.Пановко Я. Г. Механика деформируе­ мого твердого тела. М.: Наука, 1985. 287 с.

32.Папкович П. Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

33.Партон В. 3., Перлин П. И. Интеграль­ ные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 311 с.

34.Пикуль В. В. Прикладная механика де­ формируемого твердого тела. М.: Наука, 1989. 218 с.

35.Победря Б. Е. Численные методы в те­ ории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. 434 с.

36.Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элеме}ггов в расчетах судовых конст­ рукций. Л.: Судостроение, 1974. 342 с.

37.Постнов В. А. Численные методы рас­ чета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977. 280 с.

38.Прочность, устойчивость, колебания: Справочник / Под ред. И. А. Биргера, Я. Г. Па­ новко. Т.1 - 3. М.: Машиностроение, 1968.

39.Работнов Ю. И. Механика деформиру­ емого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

40.Расчеты машиностроительных конст­ рукций методом конечных элементов: Справоч­ ник / Под общ. ред. В. И. Мяченкова. М.: Ма­ шиностроение, 1989. 520 с.

41.Рейсснер Э. О некоторых вариационных теоремах теории упругости // Проблемы меха­ ники сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР,

1961.Л. (К 70-летию акад. Н. И. Мусхелишвили).

42.Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. 233 с.

43.Розин Л. А. Метод конечных элементов

вприменении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 128 с.

44.Сегерлицц Л. Применение метода ко­ нечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

45.Седов Л. И. Механика сплошной сре­ ды. М.: Наука, 1970. Т. 1. 536 с.;Т. 2. 584 с.

46.Справочник по строите}п>ной механике корабля / Г. В. Бойцов, О. М. Палий, В. А. По­ стов, В. С. Чувиковский. Л.: Судостроение, 1982. Т.1. 376 с; Т.2. 460 с; Т.З. 320 с.

47.Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода ко­ нечных элементов. М.: Мир, 1977. 350 с.

48.Тимошенко С. П., ГУдьер Д. Теория уп­ ругости. М.: Наука, 1975. 576 с.

49.Угодчиков А. Г., Хуторянскии Н, М. Метод граничных элементов в механике дефор­ мируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казан­ ского ун-та, 1986. 294 с.

50.Филин А. П. Приближенные методы математического анализа, используемые в меха­ нике твердых деформируемых тел. Л.: Стройиздат, 1971. 160 с.

51.Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1975,

т.I, 832 с; 1978, т. П, 616 с; 1981, т. П1, 480 с.

52.Черных К. Ф., Литвиненкова 3. И. Тео­ рия больших упругих деформаций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. 254 с.

Глава 2.1

КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 2.1.1. ОБЩИЙ ВИД КРИТЕРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Под пластичностью понимают свойство твердого тела, при котором в случае снятия вне­ шних воздействий, деформирующих тело, его конфигурация оказывается несовпадающей с первоначальной.

При ОД1ГООСНОМ напряженном состоянии пластические (остаточные) деформации возника­ ют, когда абсолютная величина главного напря­ жения превзойдет некоторое предельное значе­ ние, которое называют пределом текучести мате­ риала. В этом случае законы нагружения и раз­ грузки не совпадают,. т.е. отсутствует взаимно однозначное соответствие между напряжениями и деформациями (рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1. Диаграмма растяжения

Для неодноосного напряженного состояния общий вид условия возникновения гшасгических деформаций (1фитерий пластичности)

где Оу - предельные значения компонентов тен­ зора напряжений, при которых возникают плас­ тические деформации.

В шестимерном пространстве компонентов напряжений Оу (а;^, а^,, а^^, Т;^, х-^^, х^) уравне­ ние (2.1.1) является уравнением гиперповерхнос­ ти начала пластичности (рис. 2.1.2). Если точка.

изображающая напряженное состояние в коор­ динатах (Зф лежит внутри этой гиперповерхности (точка А на рис. 2.1.2), пластические деформа­ ции не возникают. Если же точка лежит на этх)й поверхности (точка В на рис. 2.1.2), начинают образовываться пластические (остаточные) де­ формации.

Рис. 2.1.2. Поверхность пластичности

2.1.2. КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ) ТЕЛА, ОДИНАКОВО СОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ РАСТЯЖЕНИЮ И СЖАТИЮ

третий инварианты тензора напряжений; Oj - предел теку^1ести материала при растяжении и

сжатии.

Для материалов, у которых при всесторон­ нем равном растяжении и сжатии пластические деформащ1И не возникают, условие (2.1.2) при­ нимает вид

где /гСДу) и I^iDa) - второй и третий инвариан­ ты девиатора напряжений.

В пространстве главных напряжений aj, ^2> ^3 уравнение (2.1.3) описывает цилиндр, образующие которого равнонаклонены к осям главных напряжений (направляющие косинусы

их 1 / л/3, 1 / v 3 , 1 / v3 ). Следом этого ци­ линдра на плоскости, перпендикулярной обра­ зующей (девиаторной плоскости), является вы­ пуклая кривая, состоящая из 12 одинаковых

дужек (рис. 2.1.3). На осях а1,а2,аз, являю­ щихся проекциями осей aj, а2 и аз на девиа-

торнуюшрнук плоскость, эта кривая отсекает отрезки if"-(рис. 2.1.3).

Рис. 2.1.3. Проекция поверхности пластичности в координатах сг], <Т2, аз на девиаторную плоскость

Кривая может быть аппроксимирована ок-

[2"

ружностью радиуса Г—сг^ (рис.2.1.4). Тогда по­

верхностью пластичности является круговой ци­ линдр и критерий пластичности имеет вид

К -^2^ +К -^з)^ +(^3 -^if =2^?'

(2.1.4) где Qj, G2, сгз - предельные значения главных напряжений.

Рис. 2.1.4. Примеры критериев пластичности

Этот критерий называют критерием Макс- велла-Хубера. Ему может быть дана энергети­ ческая интерпретация: пластические деформации

в общем случае неодноосного напряженного состояния возникают тогда, когда потенциальная энергия изменения формы достигает соответ­ ствующей величины при одноосном напря­ женном состоянии.

Если вьшуклую кривую на рис.2.1.3 заме­ нить вписанным в окружность на рис.2.1.4 прави]п»ным шестиугольником, то поверхностью пластичности является шестигранная призма и критерий пластичности при условии, что ai>a2>cJ3, принимает вид

Gi-G^—Oj, (2.1.5) Этот критерий называют критерием Треска-Сен- Венана (или критерием максимального касатель­ ного напряжения).

Если вьшуклую кривую на рис. 2.1.3 заме­ нить описанным вокруг 01фужности на рис. 2.1.4 правильным шестиугольником, то поверхностью пластичности является также шестигранная при­ зма и соответствующий критерий называют кри­ терием Ииишнского-Хилла (или критерием наи­ большего приведенного напряжения).

Для плоского напряженного состояния (аз=0, 02^, ^1^0) следом рассмотренных вы­ ше поверхностей пластичности на плоскости а2, ai является эллипс и два шестиугольника (рис. 2.1.5).

Рис. 2.1.5. Критерии пластичности для плоского напряженного состояния

Интенсивность напряженного состояния при оценке возникновения пластических дефор­ маций определяется значением эквивалентного напряжения а^. Эквивалентным напряжением назьшают наибольшее главное напряжение в одноосном растяжении, равнопрочном заданно­ му напряженному состоянию. Пластические деформахщи возникают, когда эквивалентное напряжение достигает значения предела текучес­ ти: ag==aT.

По критерию Максвелла-Хубера

ИЛИ через главные напряжения

(2.1.6а) По критерию Треска-Сен-Венана при ус­

ловии, что ai>a2>CT3>

ае=а1-аз. (2.1.7) Эквивалентные напряжения, подсчитанные на основе критериев Максвелла-Хубера и Трес­

ка-Сен-Венана, различаются незначительно. Наибольшее отличие составляет 15,6 %. Экспе­ риментальные исследования лучше согласуются с критерием Максвелла-Хубера.

2.1.3. КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА, РАЗЛИЧНО

СОПРОТИВЛЯЮПХЕГОСЯ РАСТЯЖЕНИЮ И СЖАТИЮ

Если наибольшее ai и наименьшее аз (а1>а2>аз) главные напряжения разных знаков или одно из них равно нулю, то тогда 1фитерий пластичности имеет вид

ai-va3=aTp, (2.1.8)

где v=axp/aTc или v=aTp/xT-l; а^р, а^с, '^ - пределы текучести при растяжении, сжатии и чистом сдвиге. Этот критерий называют крите­ рием Мора.

Эквивалентное напряжение по этому кри­ терию

о"е=сг1-уаз. (2.1.9) По критерию Г.С.Писаренко - А.А.Лебедева

Эквивалентное напряжение по этому критерию

Ортотропным телом называют такое тело, у которого имеются три взаимно перпендикуляр­ ные плоскости симметрии по отношению к ме­ ханическим свойствам. Если при всестороннем равном растяжении или сжатии пластические деформации в таком теле не возникают, то кри­ терий пластичности в предположении, что оси х, у и Z являются пересечениями плоскостей сим­ метрии (главные оси анизотропии), имеет вид

6=0 («^г - <^х) + 2ЛГотJy + 2ZotJz + 2 М о т | , = 1,

(2.1.12)

ще

Яо=(1/а^+1/сг5,-1/ау/2;

G b = ( l / a ^ ^ + l / a ^ - l / a ^ ) / 2; l (2.1.13)

Mо Y(24);

Как следует из (2.1.13), для определения параметров анизотропии HQ, FQ, GQ, NQ, LQ И MQ необходимо провести шесть испытаний: три одноосных растяжения или сжатия и три чистых сдвига в направлениях главных осей анизотро­ пии X, у и Zii вычислить на их основе пределы текучести GJX, Ojy, aj^, Xj^y, ijyz и Тг^.

Эквивалентное напряжение

( o i - o j ) + ( 0 2 - 0 3 ) + ( 0 3 - 0 1 )

В критерии Писаренко-Лебедева в отличие от критерия Мора учитывается влияние среднего главного напряжения на возникновение пласти­ ческих деформаций и не предполагается, что наибольшее aj, и наименьшее аз главные на­

+Rvci^/[^Rx +RxRy +^)')î ' (2114)

где

^x=^o/^0» ^У=Щ/^ОУ ^Л;У=^О/^0'

R^^^LQ/GQ; R^=MQ^/GQ. (2.1.15)

2.1.5. КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ УПЛОТНЯЕМЫХ ТЕЛ

К уплотняемым телам относят пористые и порошковые тела, а также порошки. Пористые тела содержат только трехмерные дефекты - по­ ры. В порошковых телах, помимо того, имеются и двухмерные дефекты - трещины. Такие тела могут быть получены, например, из порошков путем неполного спекания. Пористые и порош­ ковые тела являются связными. В отличие от них порошки представляют собой несвязные тела. Подобно газам они принимают форлсу со­ суда, в который они помещены.

На макроскопическом уровне уплотняемые тела рассматриваются как сплошные. Их механи­ ческое поведение будет пластическим, если твер­ дая фаза обладает пластическими свойствами. Однако в отличие от твердой фазы, обычно не­ сжимаемой, макротело может приобретать необ­ ратимые деформации объема, что объясняется затеканием или расширением пор.

Порошковые тела в отличие от пористых могуг сопротивляться лишь незначительным рас­ тягивающим напряжениям, а порошки им вооб­ ще не сопротивляются. Однако на макроуровне при сжимающих нормальных напряжениях все три вида уплотняемых тел ведут себя примерно одинаково. Ниже рассмотрены критерии плас­ тичности пористых металлов. Они могут быть пригодны также и для описания пластических свойств порошковых тел и порошков, но только при сжимающих нормальных напряжениях.

Критерии пластичности пористых металлов в отличие от критериев пластичности несжимае­ мых тел зависят от среднего нормального напря­ жения и поверхности пластичности замкнуты. Протяженность поверхности пластичности вдоль линии, равнонаклоненной к осям главных на­ пряжений, определяется пределами текучести при всестороннем равномерном растяжении ^j и сжатии р^. Под />т понимают минимальное по модулю среднее нормальное сжимающее напря­ жение, вызывающее пластическое течение. Ана­ логично под Qj понимают минимальное среднее растягиваюпдее напряжение, вызывающее теку­ честь.

Из критериев пластичности, не зависящих от вида напряженного состояния, т.е. от третьего инварианта тензора напряжений, наиболее ши­ роко применяют условие, которому в простран­ стве главных напряжений соответствует эллипсо­ ид вращения с осью симметрии, совпадающей с гидростатической осью (рис. 2.1.6). Оно выра­ жается равенством

пряжение по критерию Максвелла-Хубера (2.1.6).

d^=6f^^j

Рис. 2.1.6. Ре17лярш1я поверхность пластичности для уплотняемого тела

Величина с определяет сдвиг эллипсоида

по его гидростатической оси; а, -^ЪЬ- его по­ луоси. Эти величины могут быть выражены через

текучести при сдвиге. (Эту величину надо отли­ чать от пределов текучести при сдвиге в случае ао^-с, которые в уплотняемых телах зависят от среднего нормального напряжения и потому не являются параметрами материала.)

При с>0 эллипсоид сдвинут по гидроста­ тической оси в сторону отрицательных QQ. В этом случае при ао>"С согласно ассоциирован­ ному закону течения имеет место разрыхление. При сто~"^ ^^ экваторе эллипсоида скорость объемной деформации равна нулю. Следователь­ но, случай с>0 реализуется в телах, разрыхляю­ щихся при чисто сдвиговых напряжениях. В уплотняемых телах, имеющих одинаковые пре­ делы текучести при всестороннем равномерном растяжении и сжатии, с=0. Поскольку величина с равна тому минимальному среднему давлению, при котором начинается уплотнение, то ее назы­ вают пределом уплотнения.

Пределы текучести при одноосном растя­ жении и сжатии

Экспериментальное определение величин Çj и с затруднительно. Однако они могут быть выражены через экспериментально определимые пределы текучести на всестороннее равномерное сжатие, чистый сдвиг, одноосное растяжение и сжатие при помощи (2.1.16).

Критерий пластичности (2.1.16) является непосредственным обобщением критерия теку­ чести Максвелла-Хубера на случай пористых металлов.

Рис. 2.1.7. Сишулярная поверхность пластичности для уплотняемого теля

Критерий пластичности, которому в про­ странстве главных напряжений соответствуют две правильные пирамиды (рис. 2.1.7) с общим ос­ нованием, лежащим в девиаторной плоскости, и с осью, совпадающей с гидростатической осью, можно рассматривать как обобщение условия Треска-Сен-Венана. Вершины пирамид лежат по разные стороны от девиаторной плоскости и имеют координаты (yi=a2~oy=—pj (вершина Oi) и а1=а2=аз=^ (вершина Pz). Общее основание пирамид представляет собой правильный шести­ угольник, совпадающий с шестиугольником Треска-Сен-Венана. Все ребра лежат в биссекторных плоскостях.

Рассматриваемый 1фитерий пластичности может быть выражен равенством

Глава 2.2 ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

2.2.1. ПЛАСТИЧЕСКИЙ ПОТБНЩШ! И АССОЦИИРОВАННЫЙ ЗАКОН ТЕЧЕНИЯ

Теории пластичности устанавливают связь между пластическими деформациями и напряже­ ниями. Так же, как и в теории упругости, эта связь не зависит от времени, т.е. при неизмен­ ном напряженном состоянии деформированное состояние не меняется и наоборот. Однако в отличие от упругости конечное упругопластическое деформированное состояние тела зависит от предшествующей истории изменения напряженного состояния (истории нагружения). Задача построения общей теории пластичности не решена вследствие сложности процесса плас­ тического деформирования реального материала. Предложен ряд различных теорий, основанных на физических, структурных и модельных пред­ ставлениях [8, 18, 22, 28, 37].

Наибольшее практическое применение в инженерных расчетах имеют теории, базирую­ щиеся на концепции предельных поверхностей (поверхность пластичности или нагружения) и принципе максимума рассеяния механической энергии при пластическом деформировании [22, 28]. В этом случае деформация складывается из

упругой (обратимой) гу и пластической (необ­

ратимой) sfj частей:

Различают деформационные теории пластично­ сти, связывающие текущие значения деформа­ ций с напряжениями, и теории пластического течения, связывающие приращения или скорос­ ти деформаций с напряжениями. Приращения пластической деформации определяются ассохщированным законом течения

(к„ =dk-дОу (2.2.2)

где / - пластический потенциал или* функция пластичности;

f\^Gy,Bfj,g^yO; (2.2.3)

Çn - параметры упрочнения, зависящие от истории изменения 8^, постоянные при фиксиро­ ванных Zyi dk - скалярный множитель, опреде­ ляемый из условия непрерывного изменения функции пластичности при нагружении cif=0;

Здесь и в дальнейшем по повторяющимся ин­ дексам проводят суммирование.

Соотношения (2.2.2), (2.2.3) и (2.2.4) при­ менимы в случае активного процесса нагружения, когда

асуV

В случае пассивного процесса, сопровожда­ ющегося упругой разгрузкой,

1

Зде*:ь GQ = —а^ - среднее нормальное напряже-

3

ние; Ô^-.- = - единичный тензор или

Оi^J

материала;

Если поверхность пластичности имеет уг­ ловые точки или ребра, образованные пересече­ нием нескольких гладких поверхностей, то для этих особенностей пласгическое деформирова­ ние определяется соотношениями:

где

^O^ij) (2.2.12)

- эквивалентноеioe напряжение или интенсивность напряжений.

Здесь отличны от нуля те dkjçy для которых вы­ полняются условия активного процесса нагружения. Если условие нагружения (2.2.5) выпол­ няется для всех поверхностей, образующих осо­ бенность, то нагружение называют полным.

2.2.2. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ИЗОТРОПНОГО УПРОЧНЕНИЯ

Рассматривается первоначально изотропное тело, которое в результате пластического дефор­ мирования упрочняется, оставаясь изотропным. Используя функцию пластичности МаксвеллаХубера с одним параметром упрочнения,

(2.2.8) где в качестве параметра упрочнения q прини­ мают либо накопленную пластическую дефор­ мацию (параметр Одквиста)

либо затраченную на пластическое деформиро­ вание работу

q = ju^jCk^- = ju^dke = А^ , (2.2.10)

соотношения (2.2.2), (2.2.4) с учетом прираще­ ний упругих деформаций приводят к виду

Щ^е

раммы растяжения в соответствии с (2.2.9), (2.2.12) с учетом неизменности объема при плас­ тическом деформировании:

Уравнения (2.2.11) являются основными уравне­ ниями теории пластического течения ПрандтляРейсса.

В случае, когда компоненты девиатора на­ пряжений Sy = Gу - (yçpij изменяются пропор­ ционально одному и тому же параметру (простое нагружение), уравнения (2.2.11) могут быть про­ интегрированы и представлены в виде

где Ее (Gg) - секущий модуль, равный отноше­ нию Qg к Eg на диахрамме деформирования ма­ териала;

ае=ОтДе^),

где

-l^bj-^o^j)(^ •4^ij) (2.2.15)

- эквивалентная деформация или интенсивность деформаций. Зависимость G^=GjF(eg) принима­ ют единой для любых напряженных состояний (гипотеза единой кривой) и определяют экспе­ риментально путем простейших испытаний, в частности по диаграмме растяжения.

Уравнения (2.2.14) - основные уравнения теории малых упругопластических деформаций Генки-Ильюшина. Они справедливы при усло­ вии активного нагружения, которое в данной теории выражается неравенством dae>0. При нейтральном нагружении и при разгрузке dc^O возникают только.упругие деформации.