Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

деленного у поверхности тела), должны удов­ летворять условиям равновесия элементарного объема, выделенного внутри тела (рис. 1.2.5).

В качестве элементарного объема рас­ сматривается бесконечно малый параллелепипед, вырезанный из деформированного тела. Грани параллелепипеда параллельны координатным плоскостям х\Ох2; xiOxy, Х2ОХ2 (см. рис. 1.2.5).

Из условий равенства нулю главного век­ тора и главного момента всех сил (поверхностных и объемных), приложенных к элементарному параллелепипеду, получим сис­ тему шести уравнений равновесия [19, 251:

Последние три уравнения равновесия уже встречались ранее в п. 1.2.2.

В уравнениях (1.2.9) через Х^ ,Xt иХ^

обозначены компоненты интенсивности объем­ ных сил в деформированном состоянии тела.

1.2.5. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК ТЕЛА ДО ДЕФОРМАЦИИ

Полученные ранее уравнения равновесия элементарного тетраэдра (1.2.5) и элементарного параллелепипеда (1.29) записаны в декарто­

вых координатах Çi, ^2» ^з» которые определяют положение точек тела после его деформации. Отсюда и трудности использования этих уравне­ ний, поскольку в задачах теории упругости обыкновенно известны положения точек тела до деформации (хь Х2, хз), а их положения после деформации (Çi, Ç2» ^з) относятся к числу иско­ мых величин.

Используя зависимости (1.1.1), можно по­ лучить из уравнений (1.2.5) и (1.2.9) соответству­ ющие уравнения равновесия, вьшисанные в ко­ ординатах XI, Х2, Хз, которыми определяется по­ ложение тела до его деформации [25].

У р а в н е н и я р а в н о в е с и я э л е ­ м е н т а р н о г о т е т р а э д р а (до деформа­ ции три грани тетраэдра параллельны коорди­ натным плоскостям xiOx2, х\Ох2 и xjOxy, по­ ложение наклонной грани определяется внешней нормалью V (4ь ^vi, Кз)у где /v/=cos(v,^x/)):

[^?i(l+^ll)+^?2(^12 -«з)+<'?з(^31 -^«2)j^l +

+[^2lO + ^11 )+^22(^12 - « з ) + ^2з(^31 +«2)pv2 +

+[^31(1 + ^11)+ ^22(^12 -«>з)+^2з(^31 +«2)}v3 =

В (1.2.12) через К и К *обозначены объем параллелепипеда до и после деформации; Xi - проекция интенсивности объемной силы в недеформированном состоянии тела на направление

оси Ох\.

1.2.6. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТА ТЕЛА ПРИ МАЛЫХ УДЛИНЕНИЯХ И СДВИГАХ (Exi ^ ф|У«1)

Вэтом случае при деформации тела объем

иформа элементарных параллелепипеда и тетра­ эдра, рассмотренных в п. 1.2.4, остаются как бы неизменными, изменяется лишь их положение в пространстве. Сказанное позволяет принять [25]

Два других уравнения равновесия получаем из уравнения (1.2.10) путем круговой перестановки индексов (1->^2—•З—•l).

В уравнении (1.2.10) использованы следую­ щие дополнительные обозначения:

оо

итем самым упростить уравнения равновесия (1.2.10) и (1.2.12).

У р а в н е н и я р а в н о в е с и я э л е ­ м е н т а р н о г о т е т р а э д р а :

составляющие полного напряжения а^ по на­ правлениям Oxi; Si - площадь грани тетраэдра до деформации, нормаль к которой параллельна оси Oxt; S - площадь наклонной грани до де­ формации; S*i (/=1, 2, 3), S*- площадь соответ­ ствующих граней тетраэдра после деформахщи.

Величины Qy допускают перестановку ин-

0 О дексов, т.е. с^- = а у.

У р а в н е н и я р а в н о в е с и я э л е ­ м е н т а р н о г о п а р а л л е л е п и п е д а

(до деформации грани параллелепипеда парал­ лельны координатным плоскостям XiOX2y Х1ОХ2,

хгОхг)'.

дх. |^а|^,(1+е„)+а?2(^12-«з)+^?з(^31+«2)] +

-[а2,(1+е1,)+С22(^12-"з) + ^2з(^31+«2)Ь 2 ^-

Два других уравнения равновесия получаем из уравнения (1.2.12) путем круговой перестановки индексов (1->2->3->1).

K l ( l + ^11) + ^ п Ы - ^з) + ^1з(^31 + «2)pvi +

•+{^21(1 +^11) +^22(^12 - « 3 ) +^23{^31 +«2)pv2 +

4^3l(l+^11)+^32(^12 -«3)+^33(^31 +«2)Pv3 =

Остальные два уравнения равновесия получаем круговой перестановкой индексов (1->2-^3-^1).

Здесь cr^i - проекция полного напряжения ст^, приложенного к наклонной грани тетраэдра,

Остальные два уравнения равновесия получаем круговой перестановкой индексов (1->2->3->1).

Здесь Xi - проекция и1ггенсивности объем­ ной силы на ось Oxi.

+(а21 -СТ22«3 + ^ 2 3 ^ 2 ) +

дх

-I- 1а^^ ~ ^32^3 "^^33^2) "^^1 ~ ^* (1-2-16)

дх

Два других уравнения получаем круговой перестановкой индексов (1-^2->3->1).

1.2.8. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА ТЕЛА (£х^ ^V ~ ® i « l )

Дальнейшее упрощение уравнений равно­ весия п. 1.2.7 возможно, если дополнительно предположить, что углы поворота со/ настолько маты, что в уравнениях (1.2.15) и (1.2.16) можно отбросить члены, которые их содержат.

м е н т а р н о г о п а р а л л е л е п и п е д а :

В рассматриваемом случае грани^шые усло­ вия должны связать внутренние напряжения в точках поверхности тела с заданными поверх­ ностными напряжениями. Для получения этих соотношений необходимо в соответствующих уравнениях равновесия элементарного те'фаэдра (его наклонная грань совпадает с элеме^ггом по­ верхности, ограничивающей тело) вместо компо­ нент Ovi, av2 и av3 внести проекции поверх­ ностной нагрузки заданной интенсивности на направления ортов е^^е^Л}^-

1.2.10. ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [14, 19, 32]

Главные напряжения. TQH3opHbm характер напряженного состояния в точке деформи­ рованного тела позволяет утверждать, что в об­ щем случае можно найти три главных направ­ ления, обладающих тем свойством, что в пло­ щадках, перпендикулярных к ним {главные пло­ щадки), действуют только нормальные напряже­ ния а/ (/=1, 2, 3), имеющие экстремальные зна­ чения - главные напряжения (главные значения тензора напряжения).

Главные напряжения а, являются корнями кубического уравнения

Коэффициенты этого уравнения:

Л ( ^ а ) = ^11 +^22 +^33 = ^ 1 -^^2 + ^ 3 ^

^2(7'„) = ^11^22 +^11^33 +^22^33

(1.2.20) не зависят от направлений выбранной системы координат и назьгааются соответственно первым (линейным), вторым (квадратичным) и третьим

(кубическим) инвариантами тензора напряжения.

л

Направляющие косинусы /,y=cos(a^ , хj)

каждого из главных направлений (/=1, 2, 3) оп­ ределяются по формулам:

2 _ ^ \ 2 _çf . ,2 _ ^

где

^/ =Kl-^/)(^22-^/)-^n^

Экстремальные касательные напряжения.

Среди бесчисленного множества площадок, ко­ торые можно провести через заданную точку, имеются такие площадки, касательные напряже­ ния в которых будут иметь экстремальные зна­ чения:

В площадках, где действуют экстремальные касательные напряжения, нормальные напряже­ ния равны полусумме соответствующих главных

напряжений. Например, в площадке, где дейст­ вует касательное напряжение ть нормальное на­ пряжение

1.2.11. ДЕВИАТОР НАПРЯЖЕНИЯ. ИНТЕНСИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ

Подобно тому, как было сделано в п. 1.1.4, тензор напряжения Го можно представить в виде суммы шарового тензора и девиатора

- девиатор напряжения, характеризующий каса­ тельные напряжения в точке;

Стц +СГ22 + ^

'33

- гидростатическое давление.

Такое представление тензора напряжений является целесообразным, поскольку тела поразному сопротикляются равномерному всесто­ роннему давлению и касательным напряжениям (сдвиговым усилиям).

Главные направления девиатора напряже­ ния и тензора напряжения совпадают.

Инварианты девиатора напряжения:

6•-

+(^22 -^Зз)^ +б(^?2 +^?3 +^2з]1 =

^з(^<т) = (^11 - ^)(^22 - ^Х^ЗЗ - ^) +

+ 2aj2CT23^13 -(^11 - ^ ) ^ 2 3 "(^22 " ^)^13 "

- (^33 - «^)^21 = (^1 - ^)(^2 - ^)(^3 - ^)- (1.2.26)

^/=l(-V(/' (1.2.29)

где Sy^ Су - аду - компоненты девиатора напря­ жения.

Все основные зависимости, приведенные в п. п. 1.2.10 и 1.2.11, можно использовать для слу­ чая деформирования тела, при котором удлине­ ния, сдвиги и углы поворота нельзя считать мальп^и величинами. При этом возникают лишь некоторые трудности, связанные с определением главных направлений, поскольку в общем случае

орты ?| , ^2 ^ ^3 "^ ортогональны.

1.2.12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ОБЪЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [19, 20. 25]

Для тел, ограниченных кривыми поверх­ ностями, при решении задач целесообразно ис­ пользовать уравнения равновесия элементарного объема в криволинейных координатах «ь а2, азВыбор этих координат зависит от формы повер­ хности, ограничивающей рассматриваемое тело.

У р а в н е н и я р а в н о в е с и я п р и

м а л ы х у д л и н е н и я х и с д в и г а х

Кгп-4

Остальные два уравнения получаем из (1.2.23) путем круговой перестановки индексов (1->2->3-^1).

В уравнении (1.2.30) Я/ (/=1, 2, 3) - пара­ метры Ламе;

Рц = ^/i(l + ^11 )+^/2(^12 -«з)+сг^з(е1з -ьсоз);

Если принять Я1=Я2=Яз=1, «1=^1, а2=Х2, «з^'^з» то из уравнений (1.2.30) получим уравне­

(1.2.31) где Хг^ Хр, Xz - проекции на соответствующие оси интенсивности объемной силы;

сферические координаты (ai=r; а2=<р; аз=в;

Hi = 1; Я2 =г5тв;Яз=г):

+-(2^вфCtgв + З a ^ ) + Лr^ =0 ;

г

(1.2.32)

V

где dV=dxidx2dx2 - объем бесконечно малого элемента до деформации.

1.3.2. ЛИНЕЙНО-УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА

Для линейно-упругого материала связь между компонентами напряжения и компонен­ тами деформации линейна и описывается обоб­ щенным законом Гука [32, 51]:

^11 =^11^11 +^12^22 "^^13^33 +^14^12 ^^ISYB "*"

+ ^16^23 >

^22=^2l4l +^22^22 +^23^33 +^24^12 "^ ^25^13 +

+ ^2бГ23'

^23 = ^ б Л 1 +^62^22 +^63^33 +^64')'12 +^65^13

ненты деформации, будет однородной положи­ тельно определенной квадратичной формой ком­ понентов напряжения. Если же в (1.3.16) исклю­ чить с помощью зависимостей (1.3.14) компо­ ненты деформации, то упругий потенциал будет однородной квадратичной формой компонентов деформации.

1.3.3. ЧАСТНЫЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНО-УПРУГОГО ТЕЛА

Число упругих постоянных в (1.3.15) сок­ ращается, если механические свойства материала "симметричны" относительно одной или не­ скольких (двух, трех) взаимно ортогональных плоскостей.

Ортотропное тело. Через каждую точку та­ кого тела проходят три ортогональные плоскости упругой симметрии. Число упругих постоянных уменьшается до 9. Имеются три главных направ­ ления упругости. Пусть координатные плоскости являются плоскостями упругой симметрии. Тог­ да обобщенный закон Гука примет такой вид [18]:

(1.3.15)

Упругий потенциал для линейно-упругого те­ ла. Его определяют по формуле Клапейрона

JV=-GySy. (1.3.16)

2

Трансверсально-изотропное (монотропное) тело. Для такого материала одна из плоскостей упругой симметрии является плоскостью изо­ тропии (все направления в такой плоскости яв­ ляются эквивалентными в отношении упругих свойств).

Если плоскость х\Ох2 принять за плоскость изотропии, то

Разрешая равенства (1.3.20) относительно компонентов напряжения, получаем

(1.3.19) Изотропное тело. У изотропных материалов все направления являются эквивалентными в от­

ношении упругих свойств (любая плоскость, проходящая через точку, является плоскостью упругой симметрии, и связь между деформация­ ми и напряжениями не зависит от направления координатных осей). При этом число упругих постоянных в обобщенном законе Гука сокраща­ ется до двух:

(1.3.20) Упругие постоянные: модуль Юнга E, мо­ дуль сдвига G и коэффициент Пуассона v связа­

ны зависимостью

2 ( 1 + v )

Равенства (1.3.20) можно представить в форме

3v

'"-'iJc1-bV-aô (1.3.21)

1

где ст =—{^\\ +^22 "''^Зз) " СРВД"^^ давление;

Ц - символ Кронекера.

Из равенств (1.3.20) следует, что относи­ тельное изменение объема элемента в вблизи

,l - 2 v

к = - коэффициент объемного расши-

Е

рения (сжатия).

i^j = 2Œy +ЗХгду, (ij = 1,2,3),

где X = 2GV упругая постоянная Ламе.

l - 2 v

Упругий потенциал Ж для изотропного ма­ териала может быть определен по одной из при­ веденных ниже формул:

+^22^33 +^33^11)+2(1+v)(^Gri2 +^23 + ^ u j

(1.3.25) В последней формуле первое слагаемое есть yiipyian энергия изменения объема, второе

слагаемое - упругая энергия изменения формы. При неравномерном нагреве в теле возни­

кают дополнительные деформации и напряже­ ния. Ecjm нагрев таков, что упругие свойства материала не изменяются, то связь между на­ пряжениями и деформациями ддя изотропного материала может быть представлена в виде

где а - коэффициент линейного теплового рас­ ширения; Т - температура нагрева.

Ортотропный материал с цилиндрической анизотропией [18]. Для рассмотренных вьпие анизотропных материалов направления, эквива­ лентные в смысле упругих свойств, в разных точках бьши параллельны (прямолинейная ани­ зотропия).

Существуют материалы, у которых эквива­ лентные направления не параллельны, а подчи-

1.3.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Задачи теории упругости относят к крае­ вым задачам, их обычно классифицируют по типу краевых (граничных) условий. Рассмотрим три основные задачи:

1)определение упругого равновесия тела при заданных внешних силах, приложенных к его границам;

2)определение упругого равновесия тела при заданных перемещениях точек его границ;

3)определение упругого равновесия тела, когда на некоторой части границы заданы пере­ мещения, а на остальной - силы.

Решение указанных задач связано в общем случае с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях.

Неизвестньп^и в этой системе могут быть перемещения или напряжения.

В первом случае разрешающая система уравнений получается, если уравнения равнове­ сия элементарного объема с помощью соотно­ шений между компонентами напряжений, ком-

В уравнениях (1.3.32) дополнительно учи­ тывается влияние температуры Т.

У р а в н е н и я р а в н о в е с и я в ц и ­ л и н д р и ч е с к и х к о о р д и н а т а х д л я

тр а н с в е р с а л ь н о - и з о т р о п н о г о

(1.3.29) при значениях упругих постоянных Су, определяемых по формулам:

ô \ f + ^ r = 0 ;

дг

ô \

-p- dt2--^^<P=0^

(1.3.33)

где Ur, Щу Uz - проекции вектора перемещения на оси г, ф, z;

- оператор Лапласа в цилиндрических коорди­ натах.

1.3.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Используя зависимости (1.3.2), уравнения совместности деформации (1.1.33) и дифферен­ циальные уравнения равновесия (1.2.18), можно получить шесть дифференциальных уравнений (уравнения Бельтрами - Митчела) [19, 25, 32, 51]: