Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

где Qj, Qg - предел текучести и прочности при стандартных испытаниях со скоростями é ;

а^ , а ^ - характеристики материала, зависящие

восновном от величины Qj.

Врасчетах прочности деталей из конструк­

ционных сталей можно принять а ^ = 1,5 а^^.

При увеличении предела текучести GJ конструк­ ционных низкоуглеродистых и низколегирован­ ных сталей от 250 до 1000 МПа значение а ^ монотонно снижается от 0,09 до 0,01.

Сопротивление упругим деформациям, ха­ рактеризуем^-; модулем продольной упругости Е^, при повышении скоростей деформирования é практически не изменяется, а показатель уп­ рочнения /Wg снижается, что находится в соот­ ветствии с ростом значения а^^. Предельные пластические деформации vj/j,^ с увеличением

é монотонно снюкаются примерно в такой же степени, как и при снижении температуры ис­ пытаний. Это снижение в основном определяет­ ся приращениями пределов текучести при за­ данной температуре / (т.е. величиной Oj, -0^) или при заданной скорости деформации é (т.е. величиной a^g -Cj). Этим объясняют повышение склонности к хрупкому разрушению - при уве­ личении скоростей деформирования и снижении температур эксплуатации характеристики плас­ тичности возрастают. Для è >10"^1/с повьппение пластичности при динамическом нагружении и снижение сопротивления деформациям широко используют в технологических операциях плас­ тического формообразования, особенно хрупких материалов. При повьппении скоростей дефор­ мирования до lO'^-lO^l/c эффекты локального тепловыделения становятся достаточными для высокотемпературных процессов взрывной свар­ ки, в том числе и хрупких металлических мате­ риалов. Если скорости деформирования превы­ шают 10^1/с, то развитие макро- и микропласти­ ческих деформаций затрудняется. Это объясняет­ ся тем, что скорости распространения упругих деформаций больше, чем скорости распростра­ нения пластических деформаций, и микрораз­ рушения при сверхскоростном нагружении на­ чинаются в условиях упругих деформаций. Ука­ занные факторы способствуют образованию хрупких, в том числе откольных, разрушений при импульсных лазерных и электромагнитных нагружениях.

Эффекты скоростного деформирования конструкционных материалов на неметалличес­ кой основе в диапазоне скоростей от 10"^ до

lO^l/c проявляются в том же направлении, что и для металлов (см. рис. 3.2.4). При этом относи­ тельное изменение значений а^^ и Е^ у неме­ таллических материалов оказывается больше, чем у металлических.

При определении характеристик цикличес­ кого разрушения, как и при получении диаг­ рамм циклического деформирования, использу­ ют два основных режима нагружения - с задан­ ной амплитудой напряжений (aa=const) и с

заданной амплитудой деформаций (^cy=const). С инженерной точки зрения важным оказывает­ ся достаточно широкий диапазон числа циклов до разрушения - от 10^ до 10^^ g этом диапазоне для конструкционных металлов выделяют харак­ терные интервалы чисел хщклов: 10^-^5•10'^ - ма­ лоцикловая усталость, когда разрушение вызыва­ ется преимущественно циклическими упругопластическими деформациями; 10^-10^ - пластичес­ кая многоцикловая усталость, когда разрушение происходит при упругих деформациях в макрообъемах в сочетании с микропластическими де­ формациями в объемах микроструктурных эле­ ментов; 10^-10^2 _ усталость на сверхбольших базах при напряжениях ниже предела упругости, обусловленная дислокационными механизмами в субзеренных элементах. По экспериментальным данным, при жестком нагружении циклически стабильных металлов разрушающее число циклов N связано степенной зависимостью с амплиту­ дой пластической вар и упругой вае деформаций (закон Мэнсона - Коффина - Лангера):

где /Wp, /Wg, Ср, Cg - характеристики материала. В расчетах про^шости для конструкцион­

ных сталей с временным сопротивлением Qg в пределах 500-700 МПа можно принять /Wp»0,5, а /Wg»0,l; с увеличением временного сопротивле­ ния до 1200 МПа увеличиваются гпржо 0,6 и т^ до 0,12 [1, 4, 5, 7, 8]. Если однократное стати­ ческое разрушение считать хщклическим при

7V=l/4, 2еар=еу^ и 2eae—S^E^ то

(3.2.10) Так как амплитуда упругопластической дефор­ мации ва^^вра-^еаву ТО на основс (3.2.9) и (3.2.10) обобщенное уравнение кривой усталости

in--L_

е. = ^ + ^—-. (3.2.11)

2{'\N) 2E{AN)

бенно идя крупногабаритных конструкций слож­ ного очертания, когда в процессе изготовления конструкции возникают трещины на том или ином технологическом этапе. Кроме того, тре­ щины могут возникнуть в процессе эксплуата­ ции, особенно в зонах повышенных напряжений и деформаций, из-за периодической во времени переменности нагрузки, агрессивного характера окружающей среды и других не заложенных в расчет факторов, повышающих склонность кон­ струкции к хрупкому состоянию.

Во всех этих случаях возникает необходи­ мость провести расчет на прочность с учетом трещины с целью ответа на вопросы, на которые традиционный расчет не в состоянии дать отве­ ты. Такими вопросами могут быть: каковы кри­ тические (т.е. разрушающие) размеры трещины (при данной нагрузке) и какие размеры можно допустить, на какой срок, каковы при этом ока­ жутся коэффициенты запасов по прочности и долговечности.

Такие вопросы, безусловно, возникают при фактическом обнаружении трещин, но их можно поставить и авансом, гипотетически вводя в

опасном месте конструкции трещину (особенно в недоступном для визуального или иного конт­ роля), и заранее, с помощью расчета, установить механические свойства трещиностойкости мате­ риала и условия, не приводящие к распростра­ нению этой гипотетической трещины.

Расчеты на прочность с учетом трещин ве­ дут на основе критериев механики разрушения [2, 4, 9, 10, 13].

Линейная механика разрушения. Трещина представляет собой самый острый концентратор напряжений. С уменьшением радиуса кривизны в вершине надреза концентрация напряжений возрастает. Одновременно предполагаем, что материал пока не проявляет свои пластические свойства. Поскольку радиус кривизны вершины трещины неопределенен и весьма мал, то и на­ пряжения в малой области в непосредственной близости к вершине трещины могут быть боль­ шими и неопределенными количественно.

Вместе с тем, если рассматривать напря­ женную зону вне малой окрестности вершины трещины (диаметром более 10 диаметров зерна), то на основании решений задач теории упругос­ ти оказывается, что компоненты напряжений ау представлены так называемььми асимптотичес­ кими формулами в виде

В этих формулах г, 0 - полярные коорди­ наты точки с полюсом в вершине трещины; fy(Q) - известные функции, принимающие значение единицы или нуля при 9=0; К - коэффициент интенсивности напряжений, не зависящий от координат г и 0, его размерность сила/длина^^.

Из формулы (3.3.1) следует, что при г->0 напряжения Ojj-^oo^ т.е. напряжения в вершине

трещины имеют особенность вида If-Jr . Коэф­ фициент при этой особенности - коэффициент интенсивности напряжений К - характеризует величину напряжений в целом во всей области, в которой справедливы формулы (3.3.1). Характер же распределения напряжений в этой области в зависимости от А* и 0 один и тот же для тел любой формы и любой схемы нагружения. По­ этому для характеристики напряженнодеформированного состояния в области справед­ ливости асимптотических формул (3.3.1) вполне достаточно знания коэффициента К; этот коэф­ фициент прямо пропорционален параметру приложенных к телу нагрузок и зависит от раз­ меров тела, в частности, от размеров трещины. Рост нагрузки приводит к пропорциональному росту К, что в свою очередь означает рост на­ пряжений (рис. 3.3.1). Основываясь на этом, Ирвин в 1957 г. предложил силовой критерий разрушения в виде

К<Кс. (3.3.2) Неравенство означает безопасное состояние - отсутствие роста трещины; равенство означает наступление предельного (критического) состоя­ ния равновесия, при котором трещина получает возможность распространения.

/f=/(c

П"'>К''

к">к'

Рис. 3.3.1. Эпюры шшряжений К5у перед вершиной трещины типа I для разных значений К

Слева в выражении (3.3.2) стоит коэффи1щент интенсивности напряжений К^ который следует знать в виде функции нагрузки, размеров детали и трещины, а справа он же, но опреде­ ленный из опыта и играющий роль механичес­ кой характеристики материала, оценивающей его трещиностойкость, т.е. сопротивление материала росту в нем трещины^. Величина Кс - критичес­ кий коэффициент интенсивности напряжений для плоского образца данной толщины t (более кратко - "вязкость разрушения", или просто трещиностойкость) - определяется из экспери­ мента. (Подробнее о методах экспериментально­ го получения статических характеристик трещиностойкости см. п. 3.3.3.)

Пример. Имеется деталь в виде полосы ши­

риной ZF=200 ММ И ТОЛЩИНОЙ /=2 мм. В средней

Поинтересуемся теперь критической дли­ ной трещины в случае, когда полоса растянута расчетным напряжением а=0,5ао^2~110 МПа (т.е. сг=ао,2/^о,2 при коэффихщенте запаса по пределу текучести Ло,2~2). Условие разрушения (3.3.2) позволяет записать

0,5ао 2 7 Ч " = К^шт ИОд/тс^ = 30 МПам1/2.

Отсюда искомое критическое напряжение ока­

зывается равным ас=1б9 МПа.

Видим, что разрушающее напряжение по­ лосы с такой трещиной меньше предела текучес­ ти. Итак, на поставленный вопрос получен от­ вет.

^Понятие трещиностойкости стоит в одном ряду

стакими понятиями механики материалов, как плас­ тичность, прочность, ползучесть и т.п. Эти понятия отражают явления, происходящие с материалом, и реак­ цию материала на внешнее воздействие. Мера количе­ ственной оценки этой реакции может быть измерена разными величинами. Например, для тела с трещиной характеристики трещиностойкости можно оценивать критическим коэффициентом интенсивности напряже­ ний, критическим раскрытием вершины трещины, удельной работой разрушения, критическим значением "джей"-интеграла, процентом волокна в изломе, крити­ ческой температурой хрупкости, ударной вязкостью образца с трещиной и др.

Рис. 3.3.2. Три типа смещений берегов трепдины

Классификация трещин на эти три типа полезна не только по соображениям удобства аналитического (или численного) решения, но

также и потому, что материал по-разному сопро­ тивляется развитию трещин этих трех типов. Поэтому тип трещин обычно указан нижним индексом у коэффициентов интенсивности на­ пряжений, а именно: Ki, Ки, Km- И их пре­ дельные (критические) значения, найденные экспериментально на соответствующих образцах, обозначены: Ajc, Кцс и Anic-

Рис. 3.3.3. Представление решения задачи для тела с трещиной в виде суммы решений для тела без трещины и тела с нагрузкой на поверхности трещины:

Во многих случаях для решения задач о трещинах удобно воспользоваться принципом суперпозиции линейной теории упругости, по­ зволяющим сложную систему нагрузок предста­ вить в виде суммы более простых. Задачи о тре­ щинах целесообразно приводить к задачам, в которых нагрузка действует только на поверх­ ность трещины. На рис. 3.3.3 показан пример такого приведения. Элементы упругого решения исходной задачи 1 равны сумме элементов ре­ шения задач 2 и 3. Задача 2 не имеет особеннос­ тей решения в точках, соответствующих концам разреза. Поэтому на закономерности поведения трещины будут оказывать влияние только эле­ менты упругого решения, соответствующие зада­ че 3, в которой нагрузка приложена к поверхно­ сти разреза. При этом нагрузка статически само­ уравновешена.

у»

m

Рис. 3.3.4. Представление нагрузки на поверхности трещины согласно задаче 3 рис. 3.3.3

в виде суммы нагрузок

Если теперь нагрузку, действующую на по­ верхность трещины, разбить на сумму симмет­ ричных (тип I) и обратно симметричных (тип П), то будем иметь для них элементарные виды деформации Kpaci. трещины по одному из ука­ занных вьппе типов (рис. 3.3.4).

Напряженное состояние в окрестности конца разреза. В упругонаг^ряженном теле с трещиной напряженно-деформированное состояние опре­ деляют обычным для теории упругости образом (аналитически или численно). При этом верши­ на трещины (или ее кромка-фронт в простран­ ственной постановке) оказывается особой точкой - напряжения при приближении к вершине неограниченно растут. На малых, сравнительно с длиной трещины, расстояниях в окрестности вершины трещины напряженно-деформиро­ ванное состояние описывается асимптотически­ ми формулами, которые здесь приведены без вывода для всех трех типов трещин порознь. Область справедливости этих формул при -7С<Э<л; 10р<г<0,1/ (р - радиус кривизны закруг­ ленной из-за деформации вершины трещины; / - полудлина трещины) (рис. 3.3.5). Пластическое деформирование во внимание не принято.

Рис. 3.3.5. Компоненты напряжений и система координат в вершине трещины

Вьшишем асимптотические форЛ1улы для компонент напряженного состояния около вер­ шины трещины типа I.

В декартовых координатах

^ c o s —(1 + sm —sui —0); yjlnr

(3.3.5)

В полярных координатах

1-V 1

и.

эффициент Kl, зависящий от формы и размеров тела, схемы нагружения и не зависящий от ко­ ординат г и 0. Этот коэффициент оценивает значения компонент напряжений и линейно связан с внешней нагрузкой. По определению, коэффициент интенсивности напряжений около вершины 1рещины вычисляют по формуле

A'j = limv27cra (г,0) при 0 - 0 ,

(3.3.8)

Асимптотические форм>'лы в окрестности конца трещины типа П: в декартовых координатах

N^

энергии оказьгеается при 0=±arccos(l/3)=7O,5^ и вьппе значения энергии при 0=0^ на одну

треть.

Асимптотические формулы для напряже­ ний и перемещений трещины типа П1 имеют вид

Рис. 3.3.7. Линии равных главных напряжений ai для трещины типа I

Г,27(Уо

ЦвОо b3(Jo

Рис. 3.3.9. Траектории главных напряжений в малой окрестности вершины трещины типа I

Рис. 3.3.10. Линии равных Стэкв=^г^2

по третьей теории прочности для трещины типа I

ag,m/aip(0)

О20

Рис. 3.3л2. Зависимость удельной энергии формоизменения а^ от угла 6 на фиксированном расстоянии от вершины трещины AQ- (ТИП I)

-1

На продолжении трещины впереди ее кон­ ца (при у = 9 = 0 ) напряжения а-^ и ^^ равны межд>' собой и являются главными. Это позволя­ ет полагать, что при плоском* напряженном со­ стоянии пластическое скольжение будет проис­ ходить под углом 45^ к плоскости трещины и лицевой поверхности пластинки (так как Tjnax"^^^ будет именно в этой площадке). При плоской деформации a^=v(ajç+a^)=2va^ и воз­ никающее объемное растяжение имеет меньшее по величине x^ax» ^^^ "Р** плоском напряжен­ ном состоянии. Поэтому пластическое скольже­ ние затруднено, а размер пластической зоны (при прочих равных условиях) меньше, чем при плоском напряженном состоянии. При этом иногда говорят, что стеснение поперечной де­ формации препятствует развитию пластического течения.

Для трещин типа I максимальное напряже­ ние ае при 6=0, т.е. на продолжении трещины, максимальное а-^ будет при 0=60^ и на 30 % превышает значение ае при 0=0 . Однако тре­ щина, начиная распространяться, движется в направлении 0=0 . Это можно объяснить тем, что хотя направление (максимального) напряже­ ния а^; и перпендикулярно к плоскости трещи­ ны, точки с таким а-^ лежат не на продолжении трещины, а смещены в стороны. Если от а^^ах ^ возникают надрывы материала, то они распола­ гаются так, как указано на рис. 3.3.15.

О го 60 100 по"" о

Рис. 3.3.14. Зависимость удельной энергии формоизменения а^ от углового аргумента для трещины типа II

Рис. 3.3.15. Схема образования вторичных трепщн от максимальных напряжений а^

Из приведенных асимптотических формул следует, что при уменьшении расстояния от конца трещины напряжения неограниченно рас­ тут и при г=0 напряжения равны "беско­ нечности". Однако ясно, что задолго до "бесконечности" перестает быть справедливым

закон Гука и вступают в силу нелинейные зави­ симости между напряжениями и деформациями, развивается интенсивная пластическая деформа­ ция, а сами напряжения в конечном итоге ока­ зываются ограниченными. Но не только в этом причина ограниченности напряжений. Даже в идеально упругом теле, когда линейный закон Гука справедлив для малых объемов непосред­ ственно у поверхности разреза, при точном ре­ шении задачи теории упругости напряжения также будут ограниченными по велз1чине.

В математическом решении, из которого затем получены асимптотические формулы для напряжений, граничные условия относились не к деформированной поверхности разреза, а сно­ сились на ось X. Кроме того, у конца трещины в результате деформахщи возникают значитель­ ные изменения углов наклона свободных повер­ хностей, т.е. деформации соизмеримы с едини­ цей. Для точной постановки задачи теории упру­ гости требуется учет больших деформахщи и соблюдение граничных условий на текущей по­ верхности разреза, т.е. на той, которая получает­ ся при деформации тела внешними нагрузками. При этом задача становится нелинейной и до­ вольно сложной. Образующийся в конце разреза малый, но конечный, радиус кривизны возраста­ ет с ростом величины внешних нагрузок и обес­ печивает ограниченные (хотя и большие) напря­ жения.

При наличии в конце разреза малого ради­ уса кривизны р напряжения имеют следующий вид:

Для трещин типа П1 начальный радиус кривизны в вершине трещины не отражается на напряженном состоянии.

В приведенных формулах начало полярных координат расположено так, что г >р/2 (р>0). Для трещин типа I на самом конце разреза при 0=0 и г=р/2 будет одноосное растяжение конеч­ ным напряжением оу.

Для больших г(г»р) из приведенных фор­ мул следуют формулы (3.3.5) и (3.3.9).

Таким образом, в рассматриваемом идеаль­ но упругом теле с трещиной можно выделить три oéiacTH (рис. 3.3.16).

Рис. 3.3.16. Три области идеально упругого тела с трепаной: 1- обычное решение теории упругости;

2 - асимптотическое решение; 3 - точное (детальное) решение

Вобласти 1 напряженное состояние опре­ деляется из решения обычной задачи теории упругости в целом для тела с трещиной.

Вобласти 2 напряженное состояние можно получить из напряженного состояния области 1 при малых (для области I) расстояниях от конца разреза. Поскольку при этом область изменения независимых переменных (в данном случае г - радиус от конца разреза) сосредоточена в не­ большом интервале, появляется возможность выделить преобладающие члены из общего вы­ ражения для напряженного состояния. По этой причине полученное решение называют асимп­ тотическим.

Вобласти 3 напряженное состояние нельзя получить из асимптотического решения, но, как уже указывалось, задачу следует решать в точной математической постановке. Из полученного рсшения находят напряженное состояние в обла­ сти 2 в качестве асимптотического на больших