Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

Уравнения теории малых упругопластических деформаций могут быть использованы и при нагружениях, отличных от простого, если напряженное состояние отвечает конической точке поверхности пластичности, а угол откло­ нения вектора напряжения от траектории про­ стого нагружения не превосходит величины

ч (2.2.16)

Щ+ЕР'

где Щ^е) секущий модуль, определяемый из диаграммы ^е = ^тФ[^

2.2.3. ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНОГО УПРОЧНЕНИЯ

Экспериментально установлено, что перво­ начально изотропный материал носле пласти­ ческого деформирования приобретает анизотро­ пию пластических свойств. Проявление анизот­ ропии заключается в том, что деформированный материал имеет различные значения предела текучести в различных направлениях, а также при прямом и обратном нагружениях (эффект Баушингера).

Для описания упрочнения и связанной с ним деформационной пластической анизотро­ пии вводят наряду с действительными напряже­ ниями Gy добавочные напряжения р,у, которые зависят от истории изменения пластических

деформаций г^ и постоянны при фиксирован­ ных Zy. В этом случае функция пластичности Максвелла-Хубера (2.2.8) принимает вид

Добавочные напряжения могуг быть представле­ ны различным образом [37]. В простейшем слу-

'у=^[^еУу' (2.2.18)

Функции F и g характеризуют пластичес­ кие свойства материала и определяются экспе­ риментально в опытах по выявлению деформа­ ционной пластической анизотропии, в частности эффекта Баушингера. В случае определения эф­ фекта Баушингера при одноосном напряженном состоянии

4')=^;4')=^^«-19)

Здесь еР - пластическая деформация предвари­ тельного растяжения;Стр,| QC | - новые значения

пределов текучести при повторном после раз­ грузки растяжении и сжатии.

Согласно ассохдаированному закону тече­ ния приращения пластических деформаций с учетом (2.2.17) выражаются следующим образом:

^^К'^е

где

^^ = J - K -^oôy -Pij)(^ij-^o^ij -Pij)

(2.2.21) - интенсивность активных напряжений; Ej^ - касательный модуль диаграммы деформирова­

ния: а^ -G^FIZ^ 1. В случае идеального эф­

фекта Баушингера, когда Gp-(Jc=2Gj и диаграм­ ма растяжения материала имеет линейное уп­

рочнение с постоянным модулем Ej,

FU > . . ( . ' ) . . 2 ЕЕ^ - с . (2.2.22)

Ъ Е-Е^

Тогда уравнения (2.2.20) с учетом (2.2.4) могут быть представлены в следующей девиаторной форме:

и2CG. {'и -'^fjX'^kl ~С8^/)^^/.(2.2.23)

Вариант теории, отвечающий (2.2.22), (2.2.23),

называют теорией трансляционного упрочнения,

так как поверхность пластичности (2.2.17) при этом испытывает в пространстве напряжений перемещение, не меняя своих размеров. Соглас­ но (2.2.19), (2.2.20) поверхность пластичности смещается и одновременно расширяется. Такой вид упрочнения называют трансляционно-

изотропным.

Изложенные выше теории анизотропного упрочнения более точно описывают реальное поведение материала, чем теории изотропного упрочнения.

2.2.4. ТЕОРИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Изменения напряженно-деформированного состояния в некоторой точке тела при его де­ формировании допускают геометрическую ин­ терпретацию. При этом можно сформулировать теорию пластичности, не используя концепцию предельных поверхностей и разделения процес­ сов на активные и пассивные.

Поскольку связь между шаровыми частями тензоров деформаций ъфу и напряжений ао5,у считают известной и подчиняющейся закону Тука, то отыскивают связь между девиаторами ^{Г^у-^Фу и •У;у~ст/-сгооу. При этом принимают, что материал первоначально изотропный и вли­ яние третьего инварианта девиаторов несуще-

ственно. Так как компоненты девиаторов линей­ но зависимы ^/г=0, 5'//=0, вместо шести компо­ нент каждого девиатора вводят по пять линейно независимых между собой компонент:

1

^1 =i|-^ll> ^2 =>^1

(2.2.24)

Компоненты Эу^ (ÀF=1,...,5) МОЖНО рас­

сматривать как проекции вектора деформации э~ на ортогональные оси пятимерного эвклидова пространства деформаций. Аналогично компо­ ненты S]ç (AF=1,...,5) - проекции вектора напря­ жения J на ортогональные оси пятимерного эвклидова пространства напряжений. Оба про­ странства эквивалентны, и рассмотрение векто­ ров э" и 7 удобно вести в одном-пространстве, за которое принимают пространство деформа­ ций.

Процессу изменения деформированного состояния в точке тела соответствует в простран­ стве деформахщй некоторая траектория, которую описывает конец вектора э". В качестве незави­ симого параметра прослеживания процесса при­ нимают длину дуги траектории деформации /:

\Щ^^аэ^аэ^ =dl', э=э[1). (2.2.26)

где 5 = Ï2 ДО модуль вектора напряжения;

^к(0 - углы между вектором J и осями естест­ венной системы координат. Функционал | J \ описывает скалярные, а пять функционалов Pj^ (из которых только четыре являются независи­ мыми) - векторные свойства материалов. Пост­ роение этих функционалов и их аппроксимация на основе экспериментов в случае произвольных траекторий деформации представляют собой весьма трудную и еще не завершенную пробле­ му.

В случае траекторий малого кручения (когда ее можно считать плоской) и произволь­ ной кривизны соотношение (2.2.27) приводится к виду

Траекторию деформации с построенными в каждой ее точке векторами напряжения J и заданными значениями QQ называют образом процесса нагружения. А. А. Ильюшиным сформу­ лирован подтвержденный экспериментально постулат изотропии [25]: образ процесса нагру­ жения в пятимерном пространстве деформаций полностью определяется только внутренней гео­ метрией траектории деформаций.

Внутренняя геометрия траектории дефор­ маций описывается движением по ней пятигран­ ника Френе, представляющего собой естест­ венную систему координат. Пять взаимно орто­ гональных единичных векторов Pj^ этой системы

координат выражаются через пять производных

метра кривизны и кручения ae^t траектории («5=0).

В соответствии с постулатом изотропии векюр напряжений в каждой точке траектории деформации можно представить в виде

ки для всех конструкционных металлов и спла­ вов

где G - модуль сдвига; F{z^ - уравнение единой кривой деформирования материала.

Еds^

уравнение (2.2.28) переходит в уравнение (2.2.11) теории течения с изотропным упрочнением. При прямолинейной траектории деформирования (простое нагружение) уравнения (2.2.28) совпа­ дают с уравнением (2.2.14) теории малых упругопластических деформаций.

2.2.5. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ ОРТОТРОПНОГО ТЕЛА

Ряд материалов имеет ярко выраженную анизотропию пластических свойств в исходном состоянии. Как показывают эксперименты [10, 50], при деформировании характер анизотропии практически сохраняется, а пределы текучести в различных направлениях вследствие упрочнения материала увеличиваются в равной степени.

Для ортотропного несжимаемого тела, ког­ да в каждой точке существуют три взаимно ор­ тогональные плоскости симметрии механических свойств, функция пластичности, записанная в осях координат, совпадающих с главными осями анизотропии материала х, у, z, имеет вид

cki

Щ^О +^оЩ +^0^0

X — ( Я о + / Ь + ^ о ) Яп1 Fode4-Oode'y)'

где Ло, /о> ^0? ^0» ^0> ^ 0 - параметры анизот­ ропии материала, которые выражаются через значения пределов текучести в исходном состоя­ нии при растяжении вдоль главных осей анизот­ ропии ^jx^^jyy^Tz ^ "Р** сдвиге между этими осями '^Txyy'^Tyz^'^Tzx ^^^ формулам (2.1.1!^).

В отличие от изотропного тела использова­ ние в качестве параметра упрочнения q работы пластической деформации АР или параметра

Одквиста I dè§ приводит для ортотропного тела

к разным формулировкам теории и к разным результатам расчетов. Лучшее соответствие экс­ периментам дает теория энергетического упроч­ нения, предложенная Р. Хиллом, в которой

q - Л^ - Xaijdzfj. В этом случае множитель dX,

входящий в ассоциированный закон течения, равен приращению работы пластической дефор­ мации

и эквивалентное приращение пластической де­ формации, выражаемые формулами:

IHQIG - а ) +

лентное напряжение аэкв совпадает с интенсив­ ностью напряжений а^ , а эквивалентное при­

ращение пластической деформации deэкв - с интенсивностью приращений пластической де­

формации dë^ .

Функцию пластичности (2.2.32) можно представить в виде

а de^ \(2.2.36)

что равносильно функциональнол й зависимости

Функция Ф определяется экспериментально, в частности по диаграмме растяжения в одном из направлений симметрии и трем пределам теку­ чести в эт-их направлениях. График этой функ­ ции называют диаграммой деформирования ма­ териала.

При одноосном растяжении в направлении

оси X

Аналогичные результаты будут при растяжении в направлении оси у

где

^M^x+i)

Р = .

и в направлении оси Z

где

JRx + Ry)

У = . 2(R, + R,Ry + R^y

причем a 2 + P2 +y 2 = 3 .

Зависимости приращений пластических дефор­ маций от напряжений в соответствии с ассоции­ рованным законом течения имеют вид

dcj..

(к

ний деформаций при растяжении вдоль осей х и

V

2.2.6.0ПРЕДЕЛЯЮ1ЦИЕ СООТНОШЕНИЯ УПЛОТНЯЕМЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

Уплотняемые тела (пористые, порошковые, порошки) относят к структурно-неоднородным. В пористых и порошковых телах элементом струкгуры является пора, в порошковых - части­ ца порошка. При применении методов механики сплошной среды к таким телам принимают, что рассматриваемое тело можно разбить на элемен­ тарные микрообъемы, характерные размеры ко­ торых, с одной стороны, много меньше харак­ терных размеров тела, а с другой, - много боль­ ше характерных размеров структурных элемен­ тов. Тогда структурно-неоднородное тело при­ ближенно можно рассматривать как сплошное, т.е. считать, что материальные объекты, из кото­ рых оно состоит, непрерывно распределены в занимаемом ими объеме.

В теории пластичности предполагается, что рассматриваемое уплотняемое тело можно счи­ тать сплошным. При разгрузке частица тела со­ храняет все деформации, которые она имела в момент начала разгрузки.

Свойства уплотняемых материалов опреде­ ляются некоторым набором параметров, важ­ нейшим из которых является плотность р. Здесь и в дальнейшем под плотностью понимают от­ носительную плотность - отношение размерной макроплотности к плотности твердой фазы, сле­ довательно, р<1. Относительная плотность вы­ ражается через пористость 0 , равную отноше­ нию объема пор в микроэлементе к объему этого элемента: р=1 - 0 .

Упрочнение твердой фазы учитывается па­ раметром упрочнения X, за который в уплотняе­ мых телах принимают работу, совершенную над единицей массы. Соответствующее кинетическое уравнение имеет вид

деформирования (2.2.37). Эти уравнения явля­ ются основными при расчетах пластического деформирования ортотропных тел.

Если тело имеет форму тонкого листа, то для определения предела текучести по толщине (ось Z) удобно использовать результаты измере­

ющие влияние формы и положения пор на ме­ ханические свойства материала.

Пластическое течение в некоторой точке тела возможно, если напряжение в этой точке

зг

где GQ = стиôи. / 3 - среднее нормальное напряжение; д^- - символ Кронекера: 0^-. = 1 при / = /

напряжении.

Величины а, Ь, с являются параметрами материала. Если с=0, тогда величины а, b вы­ ражаются через предел текучести при чистом сдвиге Ту и предел текучести при всестороннем

равномерном сжатии pji ci=pj; ZF=XJ.

Для металлических порошков зависимость этих величин от плотности можно представить в виде [52]

Здесь x^Q - предел текучести при чистом сдвиге материала твердой фазы. Зависимость этой вели­ чины от параметра упрочнения и температуры определяется так же, как и ддя неуплотняемых материалов.

Соотношения (2.2.44), (2.2.45) не учитыва­ ют приобретенную анизотропию, вызванную изменением формы и ориентацией пор при де­ формации.

Обзор других зависимостей пределов теку­ чести от плотности можно найти в [53].

Закон течения, ассоциированный с услови­ ем пластичности (2.2.2), выражается соотноше­ нием

также при Ф= 1 и Ф < О, где Ф = йЙ> / û^/; ^^y -

компоненты скоростей деформаций.

Условие Х=0 при Ф<1 указывает на отсут­ ствие деформации в случае, когда напряжения не достигли уровня, определяемого условием пластичности. Деформация отсутствует также в момент начала разгрузки: ^у = О при Ф=1 и

Ф = 0 , где точка наверху означает полную про­ изводную по времени:

Ф = - 2с^0^0 ^ 2 ^ А

аЗЬ"

Кроме того, Х=0 при нейтральном нагружении.

Величина X равна половине удельной ско­ рости диссипации энергии (пластической мощ­ ности):

где ^Q = ^ij^ij - скорость объемной деформации;

4g = д/2г1//Л» / ^ - эквивалентная скорость де­ формации или интенсивность скоростей дефор­ маций; Цу = ^у - ô^y^Q - компоненты девиатора

скоростей деформаций; ô^y = 1 при j — i и Ьу = 0 при 7 Ф].

В случае нейтрального нагружения а2 ^ 2 ^

Этому равенству на поверхности текучести соответствует некоторая кривая, при нагружении вдоль которой материал ведет себя как идеально пластический. При этом Х>0, т.е. при нейтраль­ ном нагружении вдоль этой кривой Ъ^у = 0.

Если условие текучести зависит только от плот­ ности, предельная кривая представляет собой окружность, лежащую в девиаторнои плоскости, т.е. является экватором поверхности текучести. При нагружении вдоль нее материал испытывает чистый сдвиг.

Из уравнения закона течения (2.2.2) выте­ кают соотношения для шаровой и девиаторнои частей:

Эти соотношения показьшают, что чисто объемная деформация возможна только в точках пересечения эллипсоида текучести с гидростати­ ческой осью. Напротив, чисто сдвиговая дефор­ мация имеет место только на экваторе эллипсо­ ида.

В других точках эллипсоида текучести мгновенные характеристики сдвиговой и объем­ ной деформации связаны соотношением, кото­ рое называют дилатансационным:

:)0 3Z>^a,О а 2 а .

Поэтому уравнение закона течения при нагружении можно записать в виде

Условие текучести (2.2.44) является след­ ствием этих уравнений.

Величина X может быть выражена также через х Д =0,5рх.

Пластическое течение может происходить только при нагружении. Геометрически это оз­ начает, что вектор приращений напряжений должен быть направлен за поверхность текучес­ ти. Ддя условия пластичности (2.2.44) условие нагружения может быть выражено неравенством

^Ф

Это неравенство выражает также условие устойчивости материала, подчиняющегося эл­ липтическому условию текучести. Материал счи­ тают устойчивым, если при нагружении его со­ противление возрастает.

В процессе деформации пористые материа­ лы могут как упрочняться, так и разупрочняться. Упрочнение всегда имеет место при уплотнении. Напротив, при разуплотнении с ростом пор мо­ жет происходить разупрочнение. Если твердая фаза - неупрочняющаяся, то при разуплотнении всегда происходит разупрочнение. Если же мате­ риалы твердой фазы упрочняются вследствие деформации, то разупрочнение при разуплотне­ нии может отсутствовать.

Глава 2.3

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

2.3.1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ МАЛЫХ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Интегрирование системы дифференциаль­ ных уравнений теории пласшчности связано со значительными математическими трудностями. Поэтому большое значение имеют вариационные принципы, открывающие путь построения эффекгавных прямых приближенных методов, минуя интегрирование дифференциальных урав­ нений.

Пусть тело, находящееся в равновесии, за­ нимает объем, ограниченный поверхностью S, на одной части поверхности заданы поверхност­ ные силы Х^^^ а на другой части поверхности -

перемещения W/.

Согласно принципу возможных перемеще­ ний для деформируемого тела необходимьп^! и достаточным условием равновесия является ра­ венство работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях

деформации, связанные между собой зависимос­ тями Коши; Xi - внешние массовые силы; а^-- -

напряжения.

Уравнение (2.3.1) является основой для разработки различных вариационных методов, в том числе метода конечных элементов, примени­ тельно к решению упруго-пластических задач по теории малых упруго-пластических деформаций. Если расчет ведется по теории течения, то в этом случае следует ЛГ^, Х^^-, а^-.-, 8^., w^ заменить на их

приращения и расчет вести шагами по нагрузке, использовав в пределах каждого шага методы последовательных приближений, изложенные ниже.

Второй интеграл в левой части (2.3.1) бе­ рется только по той части поверхности, на кото­ рой заданы поверхностные силы.

Компоненты тензора напряжений опреде­ ляются формулой [31]

ап

О

потенциал деформаций; здесь К - объемный модуль упругости; ео - средняя линейная дефор­ мация; а^ и Se - эквивалентные соответственно напряжение и деформация.

Первое слагаемое в правой части (2.3.3) представляет собой удельную потенциальную энергию изменения объема, а второе - удельную работу изменения формы. Второе слагаемое можно интерпретировать площадью, ограничен­ ной диаграммой деформирования материала. На рис. 2.3.1 эта площадь заштрихована вертикаль­ ными линиями.

бе

Рис. 2.3.1. Диаграмма деформирования материала

Для функционала Э [26] Ъ^Э>^, т.е. дей­ ствительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что для нее полная энергия принимает минимальное значение. Эта формулировка определяет принцип минимума

полной энергии.

Пусть действительные напряженные состо­ яния в различных точках тела характеризуются компоне}ггами аг;у, а близкие напряженные со­ стояния характеризуются компонентами G^l +ôay., удовлетворяющими дифференциа]п»- ным уравнениям равновесия и храничным усло­ виям на поверхности. Поскольку а^- и внешние

силы Xj и Xvi также удовлетворяют указанным условиям, то вариации напряжений ба^.- и вари­ ации внешних сил ЬХ^ и àX^^ образуют урав­ новешенную систему. Принимая за возможные перемещения действительные, имеем в соответ­ ствии с принципом возможных перемещений равенство

Компоненты тензора деформаций опреде­ ляются формулой [31]

дЯ

(2.3.6)

да,,

где

(2.3.7)

дополнительная работа; GQ - среднее нормальное напряжение.

Формула (2.3.6) аналотчна широко ис­ пользуемой в теории ynpyixjcTH формуле Кастиjuiano.

Первое слагаемое в правой части (2.3.7) представляет собой удельную потенциальную энергию изменения объема, а второе - определя ется площадью, заштрихованной горизонталь­ ными линиями на рис. 2.3.1.

Интетрал

V

называют дополнительной работой для всего тела.

Уравнение (2.3.5) с учетом (2.3.6) и (2.3.8) преобразуется к виду

jbX^u^dV + iàX^-u^dS = ЬЯ. (2.3.9)

^. S

Уравнение (2.3.9) является математической формулировкой принципа возможных измене­ ний напряженного состояния тела, согласно которому сумма работ приращений всех вне­ шних сил на перемещениях точек приложения этих сил равна приращению дополнительной работы всего тела.

В частном С1[учае, когда Xf=0, на части по­ верхности заданы поверхностные силы и , следовате;п>но, дХ^^ -О, а на другой части поверхно­

причем ô2jR>0, поэтому из всех статически воз­ можных напряженных состояний только для истинного напряженного состояния дополни­ тельная работа для всего тела принимает мини­ мальное значение. В этом состоит принцип мини­ мума дополнительной работы.

Принцип минимума полной энергии (2.3.4) является основой для разработки метода перемещений, в котором варьируются переме­ щения, а принцип минимума дополнительной работы (2.3.10) является основой метода сил, в котором варьируются усилия. Решение задачи этими методами дает возможность установить верхнюю и нижнюю границы решения, т.е. по­ лучить дополнительную информацию о свой­ ствах получаемых решений.

2.3.2. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Существует несколько вариантов метода последовательных приближений решения упру-

упругости [31J лежит представление зависимос­ тей деформахшй от напряжений по теории ма­ лых упругопластических деформаций в форме обобщенного закона Гука, в котором параметры упругости зависят от напряженного состояния i поэтому различны для различных точек тела.

Зависимость вектора-столбца напряжени {G} ОТ вектора-столбца деформаций {s} имее вид

Н=№](НЧ^«})Ч^н}. (2.3.11)

где {G^} - вектор-столбец начальных напряже­

электрических и других полей, усадкой, крис­ таллизацией и т.д.); [/^(е)] матрица податливо­ сти;

№]= ( l . v - ) ( . - 2 v - )

< - • )

где £" и V - так называемые переменные параметры упругости [31];

^'-K/e.)/[l + (l-2v)a,/(3&,)];

l+ ( l - 2 v ) a , / ( 3 & , )

а£' и V - соответственно модуль упругости и коэффициент поперечной деформации.

Для несжимаемого материала, у которого

v=0,5, имеем Е = ^е/^е ^ ^ = ^»5? т.е. переменный модуль упругости совпадает с секу­ щим модулем диаграммы деформирования, а переменный коэффициент поперечной деформа­ ции равен половине. .

С целью решения упругопластической за дачи по методу переменных параметров упругос­ ти используют процесс последовательных при­ ближений, заключающийся в следующем.

^"з

/У

У;

^

мы деформирования, соответствующей получен­ ной величине е^^ (ордината точки /' на рис. 2.3.2). Последующие приближения (точки 2 м 3 на рис. 2.3.2) определяют аналогично. Расчеты продолжают до тех пор, пока результаты вычис­ лений в некотором приближении не будут близ­ ки к соответствующим результатам в предьщущем. Обычно это имеет место уже }1Л^ второго приближения, т.е. процесс сходится достаточно быстро. При этом точка, соответствующая рас­ четным величинам а^ и е^, приближается к

диаграмме деформирования.

Недостатком метода переменных парамет­ ров упругости является необходимосаъ изменять матрицу [Z) (Е)] в тех точках, для которых эквивале1ггное напряжение больше предела теку^хести материала при каждом приближении, что увели­ чивает объем вьршслений. К методам, свобод­ ным от указанного недостатка, относят методы начальных напряжений (упругих решений [24]) и начальных деформаций [4].

Согласно методу начальных напряжений на каждой итерации определяют разность между напряжениями в упруго-пластическом теле и напряжениями, найденными из упругого реше­ ния при соответствующих деформациях. Эту разность учитывают в (2.3.11) в виде слагаемого

|а^^|, что позволяет постепенно в процессе пос­ ледовательных приближений привести упругие решения в соответствие с искомым упругопластическим решением.

Рис. 2.3.2. Схема расчета по методу переменных параметров упругости

Считают, что до приложения нагрузок из­ вестна матрица \D (s)], совпадающая с матрицей

процесса получают путем решения упругой зада­ чи. Этому решению в каждой точке деформиру­ емого тела соответствует точка / (рис. 2.3.2), не принадлежащая диахрамме деформирования материала и расположенная на продолжении начального линейного участка. Для получения

следующего приближения коэффициенты Е и

V корректируют по формулам (2.3.12), в кото­ рых эквивалентную деформацию считают равной Egj (абсцисса точки 1 на рис. 2.3.2), а эквивален­ тное напряжение - равным а^^ в то^псе диаграм­

"è

il

^\ г V

»4 \

Рис. 2.3.3. Схема расчета по методу начальных напряжений

Итерационный процесс строят следующим образом. В начальном приближении принимают

|а^^| = 0. Тогда,, считая, что Е = Е и v = v,

ДИМ к методу начальных напряжений. Очевидно, чю для диаграмм деформирования, близких к линейным, различие двух методов невелико. Однако в случае существенной физической не-

.чинейности выбирать метод следует в зависимос­ ти от вида кривой а^ =GJe\ Метод началь­ ных деформаций в изложенной постановке наи­ более эффективен при исследовании материалов типа резины (штриховая линия на рис. 2.3.5). Для металлов, однако, характерна зависимость, представленная сплошной линией. В этом случае эффективнее использовать метод начальных на­ пряжений. К тому же изложенный метод начшшных деформаций совершенно не применим при рассмотрении металлов, диаграмма дефор­ мирования которых имеет горизонтальный учас­ ток, так как в этом случае начальные деформа­ ции нельзя определить однозначно.

По отмеченным причинам целесообразно использовать метод начальных деформаций в другой постановке. Согласно этому методу при­ ращение эквивалентной начальной деформации на первом расчете считают равной не аг^^, а

равной Ae^j^j (см. рис. 2.3.4). Решения, полу­ ченные аналогично изложенному выше методу начальных деформаций, изображены на рис.2.3.4 цифрами со штрихами.

2.3.3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на представлении деформируемого тела в виде системы конечных элементов. Например, в об­ щем случае трехмерной задачи таким элементом может быть тетраэдр. Перемещение любой точки внутри конечного элемента определяется тремя компонентами и^,и ,и^ в направлениях осей

координат соответственно х, у и Z- Так, для пе­ ремещения в направлении оси х имеем

где a j , а 2 , а з , а^ - постоянные коэффицие1ггы, определяемые четырьмя условиями в узлах;

и^ = aj +а2Х^ +OLjyi + a^Z/, (2.3.16) где W . - перемещения в направлении оси х

С помощью коэффициентов а^,.. а^ мож­ но получить зависимость Ux от координат точки внутри каждого конечного элемента [19]. Анало­ гично получают и зависимости перемещений Uy и и^ от этих координат. Деформации определя­ ют с помощью соотношений Коши:

2 ôx, ôx,-

Следовательно, вектор деформаций {8}=[i?]{?}, (2.3.18)

где [В] - матрица, определяемая аппроксимаци­ ей перемещений по объему выбранного конеч­ ного элемента [19]; |^} - векгор-столбец узло­ вых перемещений, имеющий вид

M;c4,W^4,«^4| ,

где T - значок транспонирования.

Если принять, что соотношения (2.3.18) выполняются на всем пути деформирования тела, т.е. задача является геометрически линей­ ной, то соотношения (2.3.11) и (2.3.18) позволя­ ют установить матрицу жесткости конечного элемента. С этой целью принцип возможных перемещений (2.3.1) применяют к конечному элементу, находящемуся в равновесии, т.е.

jb{zY{c}dV=b{qY[R], (2.3.19)

К

где д(г\ - вектор-столбец возможных деформа­ ций; ^{я} - вектор-столбец возможных узловых

перемещений; 1Я} - вектор-столбец узловых усилий конечного элемента, откуда следует:

где

Ш = 1М[ЩР¥^ - (2.3.21)

У.

матрица жесткости конечного элемента;

ft =\тЩ]Ы^^- (2-3-22)

В результате применения принципа воз­ можных перемещений (2.3.1) к системе конеч­ ных элементов получается уравнение, аналогич­ ное (2.3.20), но для всего тела

№ ] M = W + We„ +W<,„' (2-3.24)

где {q} - векгор-столбец узловых перемещений сетки конечных алементов; |i?},|jRj ,|7?J

векторы-столбцы соответственно внешних узло­ вых усилий сетки конечных элементов, усилий, обусловленных начальными деформациями, и