Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

jЦхЩх - Xf^)dx = Цх,^).

Подстановка базисных функций (1.4.45) при учете их свойств (1.4.46) приводит к требо­ ванию, чтобы уравнения (1.4.29) вьшолнялись в ряде заданных точек Xj^ области К(х):

дх

и на его поверхности 5, где заданы поверхност­ ные силы,

Принцип возможных напряжений форму­ лируется так: если деформация системы согласу­

ется со всеми внутренними и внешними связями, то сумма работ, производимых возможными изме­ нениями всех внешних и внутренних сил на дей­ ствительных перемещениях тела, равна нулю. Его

математическая формулировка имеет вид

Видим, что полу^1енные уравнения есть

уравнения метода коллокаций.

Внося выражения (1.4.20) для перемеще­ ний Ui в (1.4.47), получаем систему алгебраичес­ ких уравнений для определения неизвестных параметров aik.

3. Если выражения (1.4.20) для искомых функций Ui удовлетворяют лишь кинематичес­ ким граничным условиям, то уравнения метода взвешенных невязок принимают вид

V

- Jj[5,. («1, «2, «3 ) - ^v, \vik (^1 'Ч'Ч y s = 0,

{/• = 1,2,3; A: =1,2,...).

Внося сюда выражения (1.4.20) для м/, по­ лучаем систему алгебраических уравнений для определения параметров aijç.

1.4.8. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ [32, 37, 42, 50, 51]

Принцип возможных напряжений в какойто степени является антиподом принципа воз­ можных перемещений. Он может быть сформу­ лирован как для линейных, так и нелинейных задач теории упругости и строительной механи­ ки.

Вариационная формула Кастильяно. По ана­ логии с понятием возможньис перемещений вво­ дится понятие статически возможных напряже­ ний 6а,у, при которых не происходит нарушения уравнений равновесия.

В частности, для геометрически линейных задач статически возможные напряжения долж­ ны удовлетворять следующим однородным урав­ нениям равновесия по объему:

Зависимость (1.4.50) часто называют вариа­ ционным уравнением Кастильяно.

Напряженное состояние, вариации которо­ го удовлетворяют уравнению (1.4.50), отличается от всех других статически возможных напряжен­ ных состояний тем, что удовлетворяет не только уравнениям равновесия внутри и на поверхности тела, но и всем условиям сплошности по объему тела и кинематическим условиям на части по­ верхности 5*2. А если это так, то такое состояние и будет действительным напряженным состояни­ ем, возникающим в теле под действием заданной совокупности внешних сил.

Таким образом, если принцип возможных перемещений заменяет собой все уравнения равновесия, то принцип возможных напряжений заменяет собой все условия сплошности (дифференциальные уравнения Сен-Венана и кинематические краевые уравнения на Si).

Начало наименьшей работы. В частном слу­ чае жесткого закрепления точек тела на поверх­ ности Si

ïï,=0eS2

вариационная формула (1.4.50) упрощается и принимает вид

ô7/=0. (1.4.52)

Зависимостью (1.4.52) выражается извест­ ное начало наименьшей работы: из всех стати­

чески возможных напряж:ений истинными будут

те, при которых дополнительная потенциальная энергия IÏ принимает стационарное значение.

Применение принципа возможных изменении напряжений к решению задач теории упругости.

Пусть некоторое тело загружено внешними

объемными силами Х^, поверхностными силами

система линейно-независимых функций, удов­ летворяющая при каждом значении Л=1, 2,...

всем однородным уравнениям равновесия по объему тела и на поверхности Si.

при таком выборе функции Gу И / ^

вариации 8ау будут удовлетворять условиям (1.4.48) и (1.4.49) и, следовательно, могут рас­ сматриваться в качестве возможных напряжений.

Представляя связь между компонентами напряжения и деформации зависимостью вида

^(ГЩ^П), (1-4.54)

ще Ny - в общем случае нелинейный алгебраи­ ческий оператор, и учитывая, что на основании (1.4.53)

N-

к=1

из вариационного уравнения Кастильяно (1.4.50) получаем систему алгебраических уравнений

(У).

относительно неизвестных параметров а^

1.4.9. СМЕШАННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ. ФУНКЦИОНАЛЫ ВАСИДЗУ И РЕЙССНЕРА-ХЕЛЛИНГЕРА [1, 5, 8, 37, 41, 42, 46, 51]

В расчетной практике возможны случаи, когда при использовании принхщпа возможных перемещений затруднительно подобрать выра­ жения для компонентов перемещений, удовлет­ воряющие всем кинематическим краевым усло­ виям, или выражения для компонентов напря­ жений, удовлетворяющие всем уравнениям рав­ новесия при использовании принципа возмож­ ных напряжений.

Более того использование принципа воз­ можных перемещений при решении задач с уче­ том физической и геометрической нелинейности может оказаться практически непригодным вследствие сложности представления потенци­ альной энергии тела как функции компонентов перемещения. Поэтому в отдельных случаях целесообразно расширить число варьируемых величин и дополнительно к компонентам пере­ мещения Ui подсоединить в качестве неизвестных компоненты деформации sy и компоненты на­ пряжения <зу.

Функционал Васидзу. Данный функционал обеспечивает независимое варьирование компо­ нентов перемещения, деформации и напряже­ ния.

Пусть имеем некоторое тело, находящееся под действием внешцих объемных Х^ и поверх­ ностных сил F^^ на части поверхности тела Si. На оставшейся части поверхности ^52 заданы

компоненты перемещения ïï^.

Ограничимся рассмотрением геометричес­ ки линейной задачи. Зависимости п. 1.3.7, опре­ деляющие истинное равновесное состояние та­ кой задачи, будут вьшолнены, если будет обес­ печена стационарность функционала:

%=fJJ4,)^-JJJz,.,^

Обратим внимание на то, что в полученных уравнениях отсутствует суммирование по повто­ ряющимся индексам / и /

(у)

Внося в форлсулы (1.4.53) параметры а^ , найденные из решения системы (1.4.56), получа­ ем искомые значения действительных компонен­ тов напряжений. Компоненты деформаций оп­ ределяются по формулам (1.4.54). Для определе­ ния перемещений требуется проинтегрировать уравнения, связывающие деформации с компо­ нентами перемещения.

-\\{u,-u,%dS. (1.4.57)

Функционал (1.4.57) содержит 15 варьиру­ емых величин: 6 компонент деформации sy, 6 - напряжения пу и 3 - перемещения м/. Их значе­ ния определяются из условия стационарности функционала Эщ-

\SeydV-

]^ydV-

(0.(0/

«/ = Z 4 //t (^'>^'4

к=1

(при фиксированных значениях индексов / и j) должна удовлетворять свойствам полноты и ли­ нейной независимости.

Внеся выражения (1.4.59) в условие стаци­ онарности (1.4.58), получим следующую систему алгебраических уравнений для определения не-

ш( ÔU: du •

—+ — \,fdV^

. dXj dXj

*jj{"i-^ihj^kdS-0,

(/,7=1,2,3; А:=1,2,...,Р^.).

Функцвонал Рейсснера-Хеллингера. Обеспе­ чивает варьирование компонентов перемещения и напряжения. Если компоненты деформации Sy связаны однозначными соотношениями с ком­ понентами напряжения

то, используя эту зависимость, можно исклю­ чить компоненты ву в (1.4.57). Получим

(1.4.60)

Фзшкционал (1.4.60) содержит девять варь­ ируемых величин: шесть компонентов напряже­ ния а,у и три компонента перемещения щ.

Условие стационарности функционала (1.4.60):

Щ^-х, |4V.|f(^,-v,.)/l'^ds=o,

дх

•J )

(/=ц,з; к=\х..:,Щ,

Ш dw -a^bSfV = 0,

(/,y = U3; А: = и.-.,^Ц,);

-ЯЬк)4 ÔU, dU: <^ydV=0

, ОС, дх.

(1.4.61) эквивалентно выполнению всех уравнений рав­ новесия и уравнений сплошности по объему и на поверхности тела. После подстановки в него выражений для щ и ^ij из (1.4.59) для определе-

(0 {у)

(/,y = l,2,3;A: = U - , 4 ) .

Методы, основанные на использовании ус­ ловий стационарности так называемых смешан­ ных функционалов Эш и v9[v, называют, в свою

очередь, смешанными вариационными методами.

Из условия стационарности (1.4.61) как ча­ стный случай могут быть получены математичес­ кие формулировки принципов возможных изме­ нений перемещений и напряжений, которые были изложены в п. 1.4.6 и 1.4.7.

Модифицированный принцип возможных пе­ ремещений. Изложенный в п. 1.4.2 принцип возможных перемещений требует, чтобы вы­ бранные перемещения удовлетворяли условию

Ô«. = 0 (/ = 1,2,3) на ^2.

Это ограничение можно устранить, если воспользоваться условием стационарности функ­ ционала Рейсснера-Хеллингера и дополнительно учесгь, что при решении задачи в перемещениях условия сплошности по объему тела выполняют­ ся автоматически. При этом условие (1.4.61) примет вид

к=1

где от системы функций / ^(О(^1?^2'-'^з) требу­ ется выполнение лишь их линейной независимо­ сти и условия полноты.

Используя далее кинематические соотно­ шения между компонентами перемещений г/, и компонентами деформации еу, физические зави­ симости между компонентами напряжения ау и компонентами деформации е,у , сможем выра­ зить через перемещения сначала деформации еу , а затем и напряжения ау.

^(/- ==ÈS4'4Î{^1>^2'^3> (1-4-64)

j-=U=:l

Внося выражения w/ и ау соответственно из (1.4.63) и (1.4.64) в условие стационарности (1.4.62) и учитывая зависимости (1.4.29) и (1.4.30), получим систему алгебраических урав­ нений для определения неизвестных параметров

Я1[4(«1.^."з)+^/]/1'^^-ЯН("1,«2.«з)-

1.4.10. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [37]

Изложенные вьпие вариационные принци­ пы могут быть применены для решения геомет­ рически нелинейных задач теории упругости. Для этого необходимо внести некоторые изме­ нения в их математю^еские формулировки. Суть этих изменений состоит в следующем:

а) вместо выражений для линейных компо­ нентов гу следует внести нелинейные компонен­ ты деформации sy , определяемые по зависимос­ тям (1.1.10);

б) уравнения равновесия по объему заме­ нить на соответствующие уравнения нелинейной теории упругости (1.2.14), а уравнения равнове­ сия на поверхности ^5*1 - уравнениями (1.2.13);

в) поверхностные усилия iv/ на части по­ верхности S2 определить с помощью зависимос­ тей (1.2.13).

Ниже приведены математические форму­ лировки вариационных принхщпов нелинейной теории упругости Васидзу и РейсснераХеллингера. Формулировки остальных вариахщонных принципов могут быть получены из при­

Ва с и д з у :

ш'^-Х.^-Шн-

где

^'K)=^(/M^^/)-^K)-

Глава 1.5

МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ) И ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МГЭ)

МКЭ является одним из наиболее эффек­ тивных и общих численных методов решения краевых задач механики сплошных сред, в част­ ности механики деформируемого твердого тела [2, 10, 12, 15, 22, 26, 28, 29, 36, 40, 43, 44, 46, 47].

Вгл. 1.4 был изложен ряд вариационных методов решения задач механики деформируе­ мого твердого тела. При их использовании апп­ роксимацию основных неизвестных осуществля­ ли через координатные функции, которые опре­ делялись одним выражением для всей рассмат­ риваемой области V; интегралы вычисляли также сразу по всей области.

Вметоде конечных элементов область раз­ бивают на ряд непересекающихся подобластей

Vgle = 1,М\, называемых конечными элемента­ ми. Для каждой подобласти кусочньпл образом строят аппроксимации искомых функций с при­ менением различных базисных (координатных)

функций в зависимости от геометрии элемента. Основные преимущества МКЭ проистека­

ют из его сеточного (разбивка на конечные эле­ менты) и вариационного (использование вариа­ ционных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный под­ ход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЭ облегчает известные трудности, связанные с выбором ба­ зисных функций в вариационных методах. В классических вариационных методах, изложен­ ных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурахщи рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влия­ ние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических урав­ нений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравните;п»но простым.

Из вьпиеизложенного следует, что МКЭ можно трактовать как специфический вариаци­ онный метод. Специфика состоит в выборе ба­ зисных функций, которые отличны от нуля в ограниченном числе смежных конечных элемен­ тов и, следовательно, носягт локальный характер. Именно это и обеспечивает решающее преиму­ щество МКЭ перед классическими вариацион­ ными методами. Каждый из методов гл. 1.4 можно рассматривать как частный случай МКЭ, при котором вся область рассматривается как один конечный элемент.

1.5.1.0СН0ВНЫЕ ОПЕРАЦИИ В ПРОЦЕДУРЕ МЕТОДА И ЕГО ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ

Краевая задача и ее вариационная формули­ ровка. Пусть' ДЛЯ рассматриваемой краевой зада­ чи поведение искомой функции w(x, у, z) внутри заданной ограниченной области V описывается некоторым дифференциальным уравнением 2 т-го порядка:

т-го порядка; К - параметр, характеризующий свойства сплошной среды в объеме V; q(x,y,z) - внешнее воздействие.

Уравнение (1.5.1) дополняется совокупнос­ тью m краевых условий:

а) главных, в которые входят производные от искомой функции по координатам порядка a+P+Y<m - 1,

б) естественных, уравнения которых со­ держат хотя бы один член с производной, поряд­ ка а-ф-ну>т.

f д W

-yx.y.z = //(^,>'д),

(1.5.3) ( т < ( а + р + у ) ^ ^ < 2 т - 1 ; / = г + 1 , . . . , т ) .

В задачах механики твердого деформируе­ мого тела для определения функции w(x,y,t) вместо совместного рассмотрения уравнений (1.5.1), (1.5.2) и (1.5.3) можно воспользоваться условием стационарности некоторого функцио­ нала (см. п. 1.4)

5^w)=0. (1.5.4) Функционал 3(w) содержит производные от Mx,y,Z) до т-го порядка вместо производных

до 2т-го порядка в дифференциальном уравне­ нии (1.5.1). Это облегчает подбор аппроксими­ рующих функций для w{x,y,z)y поскольку для получения однозначного функционала 3iw) тре­ буется обеспечить непрерывность функц11и w(x,y,z) и ее производных лишь до m-1-го по­ рядка вктпочительно.

Соблюдение этих требований при выборе аппроксимирующей функции для w(x,y,t) обес­ печивает сходимость решения по МКЭ с точным решением при уменьшении размеров конечных элементов, на которые разбивается рассматрива­ емая область V.

Основные операции в процедуре метода ко­ нечных элементов. Д и с к р е т и з а ц и я о б ­ л а с т и . Разбиение области V на подобласти

(конечные элементы) Vg (е=1,2,...,Л/) является первым шагом на пути к решению задачи. Этот шаг не имеет теоретического обоснования и за­ висит от имеющихся инженерных навыков. Не­ достатки этого этапа работы будут приводить к значительным погрешностям расчета, если даже все остальные этапы метода выполнены с доста­ точной точностью.

Использование слишком мелких элемен­ тов, хотя, как правило, и повышает точность, увеличивает общую трудоемкость расчета. В рай­ онах области, где ожидается резкое изменение результатов, следует использовать мелкую раз­ бивку на элементы. Там же, где ожидаемый ре­ зультат изменяется по области сравнительно слабо, можно использовать при дискретизации более крупные элементы.

Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера рассматрива­ емой задачи и от той точности решения, кото­ рую требуется обеспечить. Например, при реше­ нии одномерных задач распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых конструкций область разбивают на одномерные конечные элементы, взаимосвязан­ ные между собой по концам. При решении плоских задач (плоское напряженное состояние, задача теплопроводности в пластине и т. д.) об­ ласти аппроксимируются треугольными или четырехугольными плоскими конечными эле­ ментами (рис. 1.5.1). Если рассматривается трех­ мерная область, то обычно она идеализируется с помощью элементарных тетраэдров, прямоу­ гольных параллелепипедов либо неправильных шестигранников (рис. 1.5.2).

у*

Рис. 1.5.1. Типы двухмерЕ[ых конечных элементов

При замене исходной конструкции сово­ купностью дискретных элементов стараются обеспечить как можно большую идентичность в поведении конструкции и ее дискретной модели.

^^\^

Рис.1.5.3. Высокоточные конечные элементы:

а- плоские; б - пространственные

По с т р о е н и е и н т е р п о л и р у ­

полином, которым выражается закон изменения искомой функции w{x, у, Z) по объему конечного элемента через значения его узловых неизвест­ ных.

Основная трудность построения состоит в том, что полученные интерполирующие поли­ номы для каждого конечного элемента должны

NW(x.>',z)yqW. (1.5.6)

где ^{x,y,z) - матрица-строка, элементами кото­ рой являются известные функции координат

точек. Вид функций N\ i^^y^z) определяется геометрией элемента, классом задачи и содержа-

(е)(е)

нием вектора q ; q - вектор узловых неизве­ стных е-го конечного элемента, состоящий из г узловых неизвестных. Каждьш элемент матрицы

(е)

q имеет два индекса, один из которых фикси­ рует его принадлежность к конкретному конеч­ ному элементу, а второй индекс определяет его положение среди г узловых неизвестных элемен­ та. Тогда аппроксимация закона изменения ис­ комой функции 'w{x,y,z) по всей области К опре­ деляется суммой

- вектор узловых неизвестных для всей совокуп­ ности конечных элементов области.

П о л у ч е н и е о с н о в н о й с и с т е ­ м ы р а з р е ш а ю щ и х у р а в н е н и й . Минимизируя функционал 3(w) по всем элемен­ там вектора q всей области, получаем

где К^^)- квадратная матрица г-го порядка в мес­ тной системе координат ^-го элемента. Коэффи­ циенты этой матри1Ц»1 зависят от свойств среды, геометрии конечного элемента и выбора узловых неизвестньЕХ. Для нелинейных задач матрица К(^) является функцией вектора q(^); Р^^^ - вектор размером г. Он определяет внешнее воздействие на узлы е-го элемента в местной системе коор­ динат.

Направления узловых перемещений конеч­ ного элемента обычно ориентируют по направ­ лениям осей местной, связанной с элементом системы координат. Однако получение основной системы уравнений МКЭ упрощается, если вме­ сто вектора q(^) ввести в рассмотрение вектор узловых неизвестный ^-го элемента в общей для

где Т(^) - матрица перехода к узловым неизвест­ ным в общей системе координат x,y,Z- При этом по аналогии с (1.5.9) и (1.5.10) можно на­ писать

- соответственно матрица жесткости и вектор узловых усилий е-то элемента в общей для кон­ струкции системе координат.

С учетом (1.5.13) уравнение (1.5.12) можно переписать в виде

aq

- квазидиагональная матрица порядка гМ в об­ щей системе координат;

- вектор узловых внешних усилий всей совокуп­ ности конечных элементов в общей системе ко­ ординат размером гМ.

Уравнение (1.5.14) не учитывает того об­ стоятельства, что вследствие условий неразрыв­ ности узловые неизвестные не завис$гг от "принадлежности" узловой точки к тому или иному из примьпсающих к ней элементов.

Введем в рассмотрение вектор основных неизвестных в общей системе координат

Q = {QIQ2:.QNI

где N - общее число узловых неизвестных для всей области.

Между элементами векторов q" и Q суще­

где H - матрица размером rMxN. Ее структура определяется геометрией элемента, классом кра­ евой задачи и принятым порядком нумерации для элементов векторов q" и Q.

-le]

Если теперь принять в векторе Р тот же порядок нумерации компонентов, который ис-

пользован в векторе q' , то, умножая уравне­ ние (1.5.14) слева на матрицы W и учитывая зависимость (1.5.17), получаем

K*Q - F=0, (1.5.18)

где

- общая матрица жесткости (матрица коэффици­ ентов при основных неизвестнык) в общей сис­ теме координат для всей области.

Порядок квадратной матрицы К* равен N;

- вектор узловых внешних нагрузок для всей области в общей системе координат размером N.

Полученное матричное уравнение (1.5.18) и есть искомая система алгебраических уравнений метода конечных элементов для определения

з а д а ч и . Для линейных краевых задач система уравнений (1.5.18) линейна. Для ее решения обычно используют методы Гаусса, Халецкого, сопряженных градиентов и иногда, при очень высоком порядке системы, итерационные мето­ ды.

Для нелинейных краевых задач система уравнений (1.5.18) нелинейна, поскольку матри­ ца К* является функцией определяемых неизвес­ тных параметров Q/. При решении нелинейной системы алгебраических уравнений используют итерационные методы.

Пусть вектор Q найден. Тогда с помощью зависимости (1.5.17) можно определить вектор q", а затем, воспользовавшись выражениями (1.5.11) и (1.5.7), - вектор q(^) и функцию w(x,y,z) для всей области V. Значения производных от функции w(x,y,z), которые нас также могут инте­ ресовать при решении краевых задач, определя­ ют либо дифференцированием полученного вы­ ражения для w(x,y,z), либо непосредственно че­ рез узловые значения искомых производных, если последние входят в состав вектора Q.

1.5.2. ИНТЕРПОЛИРУЮЩИЕ ПОЛИНОМЫ

Одной из наиболее ответственных опера­ ций метода конечных элементов является пост­ роение интерполирующих функций для прибли­ женного отображения закона изменения иско­ мой функции w(x,y,z) по объему конечного эле­ мента через значения узловых неизвестных. Опе­ рация часто оказывается весьма трудоемкой. Ее основная трудность состоит в том, что построен­ ные интерполирующие функции для каждого конечного элемента должны обеспечить непре­ рывность функции w(x,y,z) и ее производных до /и - 1-го порядка во всей области (т - порядок высшей производной функции w, входящей в общее выражение функционала Э, из условия стационарности которого и определяется функ­ ция w).Производные /и-го порядка могут иметь разрывы первого рода по граням стыковки смежных конечных элементов (см. п. 1.5.1).

Вьшолнение указанных требований в от­ ношении каждой из неизвестных функций, ко­ торые входят в функционал Э, обеспечивает схо­

димость решения по МКЭ с точным при умень­ шении размеров конечных элементов. Есте­ ственно, что при выбранной геометрии конечно­ го элемента для обеспечения условий сходимос­ ти необходимо располагать в интерполирующей функции определенным минимумом произволь­ ных параметров. Дальнейшее увеличение числа произвольных параметров в интерполирующей функции связано с появлением дополнительных узловых неизвестных. В результате получаем так

называемые высокоточные конечные элементы.

Ниже при изложении вопроса построения интерполирующих функций последовательно рассматриваются одномерные, двухмерные и трехмерные задачи.

Одномервая область. Пусть замкнутый ин­ тервал [О,/] изменения х разбит внутренними точками

на M замкнутых участков-элементов

[XQ,XI], [л:1^:^2]'-'[^е-1>^е]> [^м-1'^м]- Изменение искомой функции w(x) для е-го эле­ мента аппроксимируем полиномом р^^\х) л-й степени

/=0

хе[х^_^,х^], (е = 1,2,...,М).

Непрерывность функции w(x) и ее произ­ водных до m - 1-го порядка в интервале [О,/] будет обеспечена, если степень каждого из поли­ номов р^^\х) удовлетворяет зависимости

п+1>2т (1.5.22) и для определения неизвестных параметров а/ среди И+1-Г0 условия для каждого е-то участка будут содержаться следующие 2т условия:

При л+1>2/и недостающие для определе­ ния параметров условия составляют по аналогии с условиями (1.5.23), но для некоторых проме­ жуточных узловых точек рассматриваемого ин­ тервала.

Ниже приведены два примера построения интерполирующих полиномов для простейших одномерных конечных элементов с расположе­ нием узловых точек по его концам. При этом степень полинома

л=2т - 1.

(1.5.24)

Пример 1. Для функции w(x) одномерной краевой задачи, описываемой дифференциаль­ ным уравнением второго порядка (2w=2), пост­ роить интерполирующий полином дня ^-го ко­ нечного элемента (уравнением такого типа опи­ сываются некоторые задачи растяжения и 1фучения стержней).

Р е ш е н и е . Согласно равенству (1.5.24) степень полинома и=2/и - 1=1 и, следовательно, интерполирующий полином (1.5.21) будет иметь вид

Неизвестные параметры а,- определяем из условий (1.5.23), которые для 2т—2 дают следу­ ющие два условия:

Отсюда

«п = K^e-lK->^(^eK-l.

Пусть лля определенности интервал изме­ нения X (рис. 1.5.4, а) был разбит на четыре ко­ нечных элемента. ТоГда "склеивая'* интерполи­ рующие полиномы по отдельным элементам, получаем аппроксимирующую функцию w(x) для всей области (рис. 1.5.4, в). Полученную функ­ цию w{x) можно представить в виде суммы

е=1 е=1

Отсюда видна отмеченная ранее "лока­ льность" координатных функций (ре(х) , каждая из которых оказывается отличной от нуля лишь в области конечных элементов, непосредственно примыкающих к данному узлу (рис. 1.5.4, б). Такое свойство координатных функций в МКЭ позволяет как бы набирать искомое решение из отдельных "универсальных кирпичиков". Имен­ но в этом причина большинства положительных черт метода конечных элементов.

Пример 2. Для функции w(x) одномерной краевой задачи, описываемой дифференциаль­ ным уравнением четвертого порядка (2w=4), построить интерполирующий полином для ко­ нечного элемента. К этому классу задач относит­ ся задача изгиба балок.

Р е ш е н и е . Согласно равенству (1.5.24) в данном случае п=2т - 1=3, и интерполирующий полином будет иметь вид