Математика-2-й семестр (курс лекций)

Учитывая сделанное замечание, условие выпуклости (3.15) для скалярной функции одного переменного можно переписать в виде

Поэтому можно дать другое определение выпуклой функции. Определение 3. Скалярная функция одного переменно-

го называется выпуклой, если для любых x, x1, x2 , удовлетворяющих неравенствам x1 x x2 , x1 x2 , выполнено

неравенство (3.17).

Следующая теорема характеризует выпуклую функцию с помощью производной.

Теорема 3.9. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке a, b и имеет там конечную производную. Для выпуклости f (x) необходимо и достаточно, чтобы производная f (x) была возрастающей на интерва-

ле (a,b) .

Доказательство. Необходимость. Пусть f (x) выпукла и x1 x2 . Умножая обе части неравенства (3.17) на x2 x1 , имеем

f(x)(x2 x1) f (x)(x2 x x x1)

f (x1)( x2 x) f (x2 )( x x1),

отсюда

( f (x) f (x1))( x2 x) ( f (x2 ) f (x))( x x1).

Разделив обе части полученного неравенства на (x2 x)( x x1) , окончательно получаем

201

Аналогично, переходя в (3.18) к пределу при x x2 , получаем

которого, с учетом (3.21), (3.22), получаем, что для функции f

выполнено неравенство (3.18), эквивалентное условию выпуклости (3.17). Теорема доказана.

Доказанная теорема не очень удобна в применении, но с её помощью легко доказывается следующий критерий выпуклости.

Теорема 3.10. Пусть функция f определена на отрезке a, b и существует вторая производная f (x) на интервале (a,b) . Тогда для выпуклости f необходимо и достаточно, чтобы вторая производная была неотрицательна ( f (x) 0 ) на интервале (a,b) .

202

Доказательство следует из теоремы 1 и критерия монотонности, доказанного в п. 3.3.

Аналогично теоремам 3.9 и 3.10 формулируются и доказываются следующие критерии вогнутости.

Теорема 3.11. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке a, b и имеет там конечную производную. Для вогнутости f (x) необходимо и достаточно, что-

a, b и существует вторая производная f (x) на интервале (a,b) . Тогда для вогнутости f необходимо и доста-

точно, чтобы вторая производная была неположительна ( f (x) 0 ) на интервале (a,b) .

Доказательства теорем 3.11 и 3.12 аналогичны доказательствам теорем 3.9 и 3.10 с заменой неравенств, полученных на основе неравенства (3.15), на соответствующие неравенства, полученные на основе неравенства (3.16).

Теоремы 3.10 и 3.12 обобщаются на случай скалярной функции многих переменных и выглядят следующим образом.

Теорема 3.13. Для того, чтобы функция f (x) , имеющая матрицу вторых производных f (x) , была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы f (x) была неотрица-

тельно определенной.

Аналогично формулируется критерий вогнутости. Доказательства критериев выпуклости и вогнутости можно найти в

[9,14] и др.

С помощью теорем 3.9–3.12, выделяются участки выпуклости и вогнутости скалярной функции одного переменного. Весьма полезным для исследования функции оказывается следующее понятие.

Определение 4. Точка x0 перехода от вогнутости к

выпуклости или от выпуклости к вогнутости называется точкой перегиба.

203

f (0) 0 , так как всюду на числовой прямой f (x) 0 и пото-

му функция f (x) x4 всюду на числовой прямой выпукла.

Можно сформулировать эквивалентные определения выпуклости и вогнутости на основе поведения касательной к графику функции, распространяемые и на случай функции многих переменных (критерии выпуклости и вогнутости в терминах опорной гиперплоскости).

Более подробно с выпуклыми и вогнутыми функциями можно познакомиться в книге Рокафеллара [16] , а в книгах [9 15]

ещё и с выпуклым программированием.

3.5. Исследование функций и построение графиков

Подводя итог описанным в этом разделе элементам исследования поведения функций, можно дать общую схему исследования скалярной функции скалярного аргумента.

1. Без привлечения производных а) находится область определения, по возможности

находятся область значений функции и точки пересечения функции с осями координат;

б) выясняются четность и нечетность; в) выясняются периодичность или непериодичность;

г) производятся исследования непрерывности функции и поведение функции на границах области определения,

204

находятся и охарактеризовываются точки разрыва, находятся вертикальные асимптоты;

д) находятся наклонные асимптоты.

2. С привлечением производных первого порядка находятся участки монотонности и точки экстремума.

3. С применением производных второго порядка находятся точки экстремума (если не получилоь с помощью первой производной), выясняется вогнутость, выпуклость и находятся точки перегиба.

Описанный алгоритм удобнее приводить в виде структурной схемы исследования, изображенной на рисунке.

В заключение приведем пример.

Пример. Провести полное исследование и построить график

f ( x) f (x) , следовательно, функция не является ни четной,

ни нечетной.

3. Для проверки периодичности требуется либо найти не

последнего достаточно показать, что при каком-нибудь x T 0 ,

205

то функция разрывна лишь в точках обращения знаменателя в

рода и прямая x 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

5. Находим наклонные асимптоты:

206

Таким образом, прямая y x является наклонной асимптотой

графика функции как при x , так и при x . 6. У производной

знаменатель всегда положителен, и поэтому знак производной

207

Отсюда видим, что вторая производная обращается в нуль при

208