Математика-2-й семестр (курс лекций)

го экстремума функции f (x) , так и точками границы множест-

ва G . В соответствии со сказанным получаем следующий алгоритм:

1)находим подозрительные на экстремум точки функции

f (x) ;

2)отбираем среди найденных точек лежащие в области G и вычисляем значения функции в этих точках;

3)задав границу области G в виде системы равенств, реша-

ем задачу нахождения подозрительных на условный экстремум точек; вычисляем значения функции в этих точках;

4) сравнивая значения функции в точках, полученных в пунктах 2 и 3, находим среди них наибольшее и наименьшее.

Другие методы решения общей экстремальной задачи, а также задач линейного, выпуклого и квадратичного программирования, можно найти в [9-15].

Применим рассмотренный алгоритм для решения задачи линейного программирования. Тогда функция цели f (x) и огра-

ничения (3.14) – линейные функции, то есть мы имеем задачу нахождения глобального экстремума функции

Заметим, что множество точек, удовлетворяющих системе линейных ограничений

191

представляет собой многогранник в Rn , так как есть пересече-

j 1

меньше m , то m r строк этой матрицы есть линейная комбинация r линейно независимых строк и может быть вычеркнута [1]. Поэтому предположим, что ранг матрицы этой системы равен m . Тогда из неё можно выразить m переменных через остальные n m . Подставляя найденные переменные в функцию

n

цели и систему неравенств bij x j di 0, i m 1,... ,l получа-

j 1

ем эквивалентную исходной задачу линейного программирования содержащую n m переменных с ограничениями в виде неравенств. В силу сделанного замечания, рассмотрим задачу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции

192

есть функция f (x) есть тождественная константа. В этом случае наибольшее и наименьшее значения функции цели совпа-

функции f (x) нигде в области решений системы ограничений

n

bij x j di 0, i 1,..., l ,

j1

внуль не обращается. Таким образом, внутри этой области экстремумов у функции цели f (x) нет. Будем теперь искать наи-

большее и наименьшее значения на границе области. Границей области служат многогранники, лежащие в гиперплоскостях

j 1

Таким образом мы снова имеем задачу нахождения наибольше-

n

bij x j di 0, i 1,..., l 1 получаем задачу линейного програм-

j 1

193

мирования с ограничениями в виде неравенств содержащую n 1 переменную, то есть задачу размерности на единицу меньше. Повторяя предыдущие рассуждения приходим к выводу, что наибольшее и наименьшее значения функции цели могут дости-

получается и относительно граней лежащих в других гиперплоскостях. Так как число переменных конечно, то через конечное число шагов получим, что глобальный экстремум в задаче линейного программирования достигается в вершинах многогранника. При большом количестве вершин нужен алгоритм их перебора с наименьшим числом шагов. Один из таких алгоритмов и лежит в основе симплекс метода [23].

Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x, y, z) 2x 3y 5z 4 в пирамиде с вершинами

A (1,0,0), B (0, 2, 1),C ( 1,2,1), D (1,1,3) .

Напишем уравнения граней пирамиды. Грань в которой лежит треугольник ABC параллельна векторам AB ( 1, 2, 1)T и

AC ( 2,2,1)T , поэтому её вектором нормали является вектор

систему линейных неравенств, которым должны удовлетворять

верхность, описываемая уравнением F(x1, x2 ,..., xn ) 0 , делит Rn

194

на две части так, что для точек, лежащих в одной из этих частей, выполняется неравенство F(x1, x2 ,..., xn ) 0 , а для точек из дру-

гой части – противоположное. Подставляя координаты точки в

сматриваемой нами области, то во всех точках, лежащих по ту же сторону от плоскости 3y z 0 , что и точка D (1,1,3) , вы-

полняется неравенство 3y z 0 или, что то же самое, неравен-

внутри области экстремумов нет. Рассмотрим теперь грань в которой лежит треугольник ABC . Таким образом имеем задачу линейного программирования: найти наибольшее и наименьшее значения функции

f (x, y, z) 2x 3y 5z 4

при ограничениях

10x 6 y 7z 5 0.

195

С одной стороны, можно понизить размерность задачи выразив одну из переменных, например z , через остальные из уравнения плоскости 3y z 0 . С другой стороны, так как производная

функции цели внутри треуголника ABC в нуль не обращается, то наибольшее и наименьшее значения функции цели достигаются на границе этого треугольника, то есть на прямых AB , AC и BC задаваемых уравнениями

Получаемые при этом задачи линейного программирования заключаются в нахождении наибольшего и наименьшего значений функции цели при соответствующих ограничениях

Повторяя предыдущие рассуждения приходим к выводу, что наибольшее и наименьшее значения функции цели могут достигаться в точках A , B и C . К аналогичным выводам приводит рассмотрение задач поиска наибольшего и наименьшего значений функции цели на гранях ABD, ACD, BCD . Таким образом получаем, что наибольшее и наименьшее значения функции цели могут достигаться лишь в вершинах пирамиды. Вычисляя значения функции цели f (x, y, z) 2x 3y 5z 4 в этих точках,

получаем f (1,0,0) 6, f (0, 2, 1) 5, f ( 1,2,1) 1, f (1,1,3) 18 . Сле-

довательно, наименьшее значение функции цели равно 1 и достигается в точке C ( 1,2,1) , а наибольшее значение равно 18 и

достигается в точке D (1,1,3) .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) x4 2x2 3 на отрезке 2,1 .

Так как функция f дифференцируема на всей числовой оси,

то подозрительные на экстремум точки совпадают со стационарными точками, которые и находим. Имеем

196

f (x) 4x3 4x 4x(x2 1) и, следовательно, подозрительными

x3 2 и x4 1 . Вычисляем значения функции в этих точках f ( 2) 11 , f (1) 2 . Сравнивая найденные значения, получаем,

что наибольшее значение функции f (x) x4 2x2 3 на отрезке 2, 1 достигается в точке x 2 и равно 11 , наименьшее

значение достигается в точках x 1 и x 1 и равно 2.

Пример 3. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре.

Рассмотрим вначале общий случай. Он изображён на рисунке. Обозначим через p периметр окна, через 2x – длину сторо-

Рассматривая изображённые на рисунках вырожденные случаи, когда окно превращается в полукруг или щель,

197

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x, y) x2 y (2 x y) в треугольнике, ограниченном пря-

откуда получаем систему уравнений для определения стационарных точек

198

xy(4 3x 2 y) 0,x2 (2 x 2 y) 0.

Решения этой системы: 1) x 0 , y – любое; 2) x 2 , y 0 ; 3) x 1, y 12 . Из них внутренней точкой области является

(x) f (x,6 x) x2 (6 x)(2 x 6 x) 4x2 (x 6) 4x3 24x2 .

Найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции на

значение этой функции на данном множестве достигается в точке (1,12) и равно 14 .

3.4. Выпуклые и вогнутые функции

Выпуклые функции играют большую роль в теории экстремальных задач. В частности, для них разрешима задача минимизации. Изложение - общепринятое в литературе по минимизации и выпуклому анализу. Этот материал можно найти в [8 15] и

других книгах.

Определение 1. Множество G линейного пространства X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками x1, x2 G множеству G принадлежат и все точки отрезка, их соединяющего, то есть точки вида

199

x 1x1 2 x2 , где 1 0 , 2 0 , 1 2 1 , или, что то же самое, точки вида x x1 (1 )x2 , где 0 1.

На первых двух рисунках приведены примеры выпуклых

множеств в R2 , а на третьем рисунке – пример невыпуклого множества.

Примерами выпуклых множеств также являются круг, квадрат, треугольник, параллелограмм, шар, параллелепипед, точка, всё пространство X .

Определение 2. Скалярная функция f (x) , заданная на выпуклом множестве G , называется выпуклой, если для любых двух точек x1, x2 G и любого 0 1 выполнено неравенство

и называется вогнутой, если выполнено противоположное неравенство

Заметим, что если f (x) – выпуклая функция, то функция

f1(x) f (x) является вогнутой и наоборот.

На первом рисунке расположеном ниже изображена выпуклая, а на втором рисунке – вогнутая функции одного аргумента.

Рассмотрим более подробно условия, при которых скалярная функция одного переменного выпукла или вогнута.

200