Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

с периодом 2l функции S(x) , заданной на числовой прямой и в точках отрезка [ l,l] принимающей значения

S(x) f (x 0) f (x 0) . 2

Для чётных функций коэффициенты (3.8), (3.9) разложения функции в ряд Фурье приобретают вид

2 l

n x

f (x) cos

dx , n

bn 0 ,

n 1, 2,...

Аналогично для нечётных функций имеем

2 l

an 0 ,

n 0,1, 2,... ;

n x

f (x)sin

dx , n

0,1, 2,... ; (3.10)

(3.11)

(3.12)

1, 2,... (3.13)

Функции, заданные на половине периода, можно продолжить на другую половину периода любым образом. Продолжая чётным образом, получаем разложение по косинусам

f (x) a0
f (x) a0	an cos n x		,	(3.14)
2	n 1	l

коэффициенты которого находятся по формулам (3.10), (3.11). Продолжая нечётным образом, получаем разложение по си-

нусам


f (x) bn sin n x		,	(3.15)
n 1	l

коэффициенты которого находятся по формулам (3.12), (3.13). Разложение (3.7) можно также записать в виде

						n x
			f (x)	cnei		l ,	(3.16)
			n
при этом коэффициенты находят по формулам
	2l			n x
c	1	l	f (x)e i	l dx ,	n 0, 1, 2,...		(3.17)
c		l	f (x)e i	l dx ,	n 0, 1, 2,...		(3.17)
n

Разложение (3.16) называют рядом Фурье в комплексной форме.

111

	l	c	есть амплитудный спектр, arg	l	c
Соответственно
						n
		n

– фазовый спектр, nl – частотный спектр.

Интересна функция Хэвисайда, или, что то же самое, еди-

	0, если		t	0,	. С помощью этой функ-
ничная функция h(t)		1, если	t	0

ции удобно записывается ступенька на отрезке							[t1,t2 ] ,	зада-
ваемая	формулой	1,		если t [t1,t2 ]		,	так	как
		f (t)		если t [t1,t2 ]
		0,

f(t) h(t t1) h(t t2 ) .

3.1.Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье.

Найти амплитудный, фазовый и частотный спектры.

Записывая функцию в аналитической форме, получаем

	1,	2 x 1,
	x,	1 x 0,

f (x)		0 x 1,
x 1,
	2,	1 x 2.

Найдем коэффициенты разложения данной функции в ряд

Фурье. Имеем	a	2		f x dx . Так как подынтегральная функ-
Фурье. Имеем	a	1	2	f x dx . Так как подынтегральная функ-
	0
			2

112

							2	f x dx
ция положительна,						то		f x dx				есть площадь под						кривой
							2
f x , которая легко вычисляется и равна 5 . Поэтому																	a	5 .
																	0	2
Далее,																		2
Далее,						1 2
				a	n	1 2		f x cos				nx dx
					n	2							2
						2							2
							2
	1	1			nx				1	0					nx
	2			cos		2	dx		2		x cos				dx
	2					2			2						2
		2								1
	1	1	x					nx				1	2	2cos	nx
	2		x		1 cos			dx				2		2cos		dx .
	2							2				2			2
		0											1

Вычислим каждый интеграл в данном выражении отдельно.

Для первого интеграла имеем
1		nx					2				nx					1	2						n										2 n
1		nx					2				nx					1	2						n										2 n
cos			dx						sin									sin											sin
cos			dx						sin									sin											sin
2		2				n						2				2	n								2								2
2		2				n						2				2	n								2								2
				2							n												2					n
						sin							sin n													sin						.
				n		sin					2		sin n										n			sin				2		.
				n							2												n							2
	Для вычисления второго интеграла																				0											nx		при-
																																nx
																					x cos											2	dx
																					1											2
																					1						Положим u x ,
меним формулу интегрирования по частям.																											Положим u x ,
			nx									du dx , dv											2				nx
dv cos				dx		. Тогда																			sin							. В резуль-
dv cos			2	dx		. Тогда																n			sin					2		. В резуль-
			2																			n								2
тате получаем
	0			nx								2x				nx			0					2			0					nx
	0			nx								2x				nx			0					2			0					nx
		x	cos				dx							sin														sin					dx
		x	cos		2		dx					n		sin										n				sin				2	dx
					2							n					2		1					n								2
	1				2			1											1								1				0
														n			4							nx


			0							sin										cos
			0				n			sin							2n2			cos
														2											2						1
														2											2						1
															113

cos 0

sin

cos

2n2

2		n	4	4		n
	sin				cos		.
n		2	2n2	2n2		2

Для вычисления третьего интеграла также применим фор-

мулу		интегрирования																					по								частям.															Положим														u x 1 ,
		nx																		du dx ,																			2													nx
dv cos					dx						. Тогда																						dv												sin													. В результа-
dv cos			2		dx						. Тогда																						dv							n					sin								2					. В результа-
			2																																					n													2
те имеем
1							nx												2			x					1						nx										1						2				1					nx
1																			2			x					1																1										1

	x 1 cos											dx																	sin																										sin					dx
	x 1 cos								2			dx										n							sin								2												n						sin					dx
									2													n															2												n										2
0																																											0										0					1
0																																											0										0
				4										n								2			sin 0												4												nx
				4										n								2															4												nx
								sin																																				cos
				n				sin						2						n																2n2								cos									2
																																																										0
																																																										0
				4				sin						n									4					cos				n														4					cos 0

				n										2						2n2														2										2n2
				n										2						2n2														2										2n2
									4								n											4									n																4			.
													sin																				cos
										n			sin						2							2n2							cos						2											2n2
										n									2							2n2													2											2n2
Для четвёртого слагаемого получаем
2		nx												4							nx										2					4									2 n															n
2																															2

2cos						dx												sin																				sin																sin
2cos						dx												sin																				sin																sin
1			2												n									2							1				n														2											2
1			2												n									2							1				n														2											2
								4																				n														4										n
											sin n sin																																				sin									.
							n				sin n sin																			2											n						sin								2	.
							n																							2											n														2
Окончательно для коэффициентов an																																										имеем
a		1			2			sin						n								2			sin				n												4												4				cos			n
a								sin																	sin																																cos			n
	n				n									2							n																		2n2												2n2									2
		2			n									2							n								2										2n2												2n2									2
		4				n												4									n										4												4									n
			sin																			cos																															sin
		n	sin						2							2n2						cos								2							2n2											n					sin					2
		n							2							2n2														2							2n2											n										2

24 2 cos n 1 .

n 2

114

	Вычислим теперь коэффициенты bn . Имеем
															b			1			2			f x sin								nx dx
																n				2													2
																				2													2
																						2
								1		1		sin					nx											1	0		x sin											nx
								2				sin								2		dx						2			x sin															2			dx
								2												2								2																		2
										2																			1
								1		1													nx									1			2			2sin									nx
								2			x 1 sin													2			dx					2						2sin										2		dx .
								2																2								2																2
										0																									1
	Вычислим каждый интеграл отдельно. Для первого интеграла
1			nx											2								nx					1					2														n								2 n
1			nx											2								nx					1					2														n								2 n
sin				dx													cos																				cos													cos
sin			2	dx									n				cos				2											n					cos										2			cos				2
2																											2
2																											2
					2										n					cos n												2							1						n						n
							cos																																								cos						.
				n			cos								2																	n															cos					2	.
				n											2																	n																				2
	Для вычисления второго интеграла																																						0												nx				при-
																																																			nx
																																							x sin													2	dx
																																							1													2
																																							1															u x ,
меним формулу интегрирования по частям. Положим																																																						u x ,
			nx																			du dx ,																						2							nx
dv sin							dx .							Тогда																			dv															cos						. И	для
dv sin				2			dx .							Тогда																			dv											n				cos				2		. И	для
				2																																								n								2
второго интеграла получаем
	0							nx													2x							nx						0								2					0				nx
	0							nx													2x							nx						0								2					0				nx
		x sin													dx									cos																								cos					dx
		x sin									2				dx						n			cos					2												n							cos				2	dx
											2										n								2					1							n											2
	1										2				1																			1												1					0
																									n							4											nx
																									n							4											nx
							0												cos																			sin
							0							n					cos						2						2n2							sin									2
																																																			1
																																																			1
					2										n								4			sin 0													4												n
									cos																																			sin
						n			cos						2							2n2														2n2								sin						2
						n									2							2n2														2n2														2
																	2						n								4									n
																			cos																sin												.
																n			cos					2						2n2					sin								2				.
																n								2						2n2													2

115

Третий интеграл также вычисляем с применением формулы

интегрирования по частям. Положим u x 1 , dv sin nx dx .

Тогда du dx ,											dv									2								nx
																								cos										. И для третьего интеграла
																				n				cos						2				. И для третьего интеграла
получаем																				n										2
получаем
1						nx																2 x 1														nx										1							2 1										nx
1						nx																2 x 1														nx										1							2 1										nx
x 1 sin											dx																				cos																										cos								dx
x 1 sin								2			dx																n				cos								2													n					cos							2	dx
0																																														0												0				1
0																																														0												0
								4						n													2	cos 0													4														nx
								4						n													2														4														nx
									cos																																								sin
							n		cos								2									n														2n2									sin									2
																																																														0
																																																														0
						4					n												2						4										n														4										0
								cos																										sin																									sin
					n			cos					2									n						2n2						sin							2									2n2									sin
					n								2									n						2n2													2									2n2
													2						4									n											4												n
																							cos																					sin												.
												n						n					cos						2								2n2							sin							2					.
												n						n											2								2n2														2
	Для четвёртого интеграла имеем
									2								nx																	4									nx											2
									2																																													2
									2sin
																									dx													cos
																				2					dx								n					cos									2
									1																																													1
									1																																													1
			4						2 n																		n												4																								n
					cos													cos																									cos n cos
					cos								2					cos										2											n				cos n cos																					2
				n									2															2											n																									2
																						4						n								1									n		.
																										cos
																					n					cos					2
																					n										2
	Окончательно для коэффициентов bn																																											имеем
				b		1					2					1 n cos																n										1					2					cos						n
				b		1										1 n cos																										1										cos
				n				2			n																					2										2 n																		2
								2			n																					2										2 n																		2
	1		4						n								1						2					1				4									n										1								4						n
					sin																													cos																													sin
	2	2n2			sin				2								2					n						2		n				cos									2								2						2n2						sin		2
	2	2n2							2								2					n						2		n													2								2						2n2								2
								1			4												n					1							n								1					1							1					n	.
															cos
								2		n					cos								2																			n
								2		n													2																			n
																													116

Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид

	5						4				n							n x			1		1			n	sin			n x
	5						4				n							n x			1					n				n x
f (x)											cos		1 cos											1								.
f (x)	4						2	n	2		cos	2	1 cos					2		n				1							2	.
	4	n 1						n				2						2		n											2
Амплитудный спектр
An		16				cos n						1 2				1			1 1 n 2					, n 1, 2,...
An		4	4			cos n						1 2				2		2	1 1 n 2					, n 1, 2,...
		n								2							n
Фазовый спектр
								1						n														n

								n 1				1										n 1		1
n arctg								n 1				1					arctg					n 1		1							,
n arctg					4							n					arctg								n						,
					4							n													n
										cos					1						4	cos							1
				2n2						cos		2			1						4	cos							1
				2n2								2													2
													n 1, 2,...
Частотный спектр равен													n .
														2

3.2. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье по косинусам.

Продолжая функцию, заданную на половине периода четным образом, получаем разложение по косинусам

f (x) a0
f (x) a0	an cos n x		. Так как функция задана на отрезке
2	n 1	l

[0,3] , то коэффициенты нужного нам разложения находятся по

формулам		3		3	n 0,1, 2,... , b	0 ,	n 1, 2,...
формулам	a 2		3	f (x) cos n xdx ,	n 0,1, 2,... , b	0 ,	n 1, 2,...
	n				n
			0
				117

Переходя к аналитическому виду, получаем

								2 x,		0 x 1,
					f (x)				1,	1 x 2,
								3 x,		2 x 3.
Имеем			3		f x dx .				Так как подынтегральная функция
Имеем		a 2		3	f x dx .				Так как подынтегральная функция
		0
				0
					3	x dx			есть площадь под кривой f x , ко-
положительна, то f						x dx			есть площадь под кривой f x , ко-
					0
торая легко вычисляется и равна 3 . Поэтому a0 2 .
Далее,								3
							2	3			n x
					a	n	3		f (x)cos		3	dx
					a				f (x)cos			dx

								0
2	1	x) cos n xdx							2				3	x) cos n xdx .
2	(2	x) cos n xdx						2	cos n xdx 2				(3	x) cos n xdx .
3	0				3			3	1	3		3	2	3
	0								1				2

Вычислим каждый интеграл отдельно. Для вычисления пер-

		1
вого интеграл (2 x)cos n xdx применим формулу интегриро-
		0					3
		0
вания по	частям.				Полагая			u 2 x ,						dv cos n x dx , имеем
			3	sin n x														3
du dx ,	v		3				. Тогда
du dx ,	v						. Тогда
			n		3
1								3						1	3	1
1														1		1
(2 x) cos n xdx							(2 x)				sin n x					sin n xdx
(2 x) cos n xdx							(2 x)		n		sin n x				n	sin n xdx
0		3							n		3			0	n	0		3
0														0		0
		(2 x)				3	sin n x			1		3 3	cos n x				1
						3						3 3
						n						n2 2
							3			0					3		0
							3			0					3		0

118

3		n		9		n	9
	sin		0		cos
n		3				3	n2 2
			n2 2

				3				n			9				n
						sin							cos			1 .
				n		sin		3			n2 2		cos		3	1 .
				n				3			n2 2				3
								2
Для второго интеграла cos n xdx получаем
								1			3
								1
2		n x				3			n x			2	3			2n		n
2		n x				3			n x			2	3			2n		n
	cos		dx				sin							sin			sin	.
	cos	3	dx		n		sin			3				sin		3	sin	.
		3			n					3		1	n			3		3
1												1				3
																3
Для вычисления третьего интеграла																(3 x) cos n xdx , так
																2		3
																2

же как и для вычисления первого, применим формулу интегри-

рования по	частям. Полагая																		u 3 x ,									dv cos n x dx , имеем
				3			sin n x dx . Тогда																												3
du dx , v				3
du dx , v			n
			n							3
3																			3								3			3			3
3																											3						3
(3 x) cos n xdx (3 x)																						sin n x											sin n xdx
(3 x) cos n xdx (3 x)																			n			sin n x								n			sin n xdx
2							3												n				3				2			n			2		3
2																											2						2
	(3 x)										3			sin n x						3			3 3		cos n x									3
											3												3 3
											n												n2 2
																		3		2									3					2
																		3		2									3					2
0				3		sin				2n					9						cos n				9						cos				2n
																																			3
		n								3							n2 2								n2 2										3
							3					2n							9				( 1)n			cos						2n
									sin																										.
							n		sin				3					n2 2															3		.
							n						3					n2 2															3
Окончательно для коэффициентов an																											имеем
a							2			3		sin n							2				9	cos n 1
a							2					sin n							2					cos n 1
	n						3 n									3			3			n2 2							3
							3 n									3			3			n2 2							3
	2						3	sin				2n sin n												2				3	sin				2n
	3				n			sin				2n sin n												2				n	sin				2n
	3				n									3					3					3				n					3
																			119

2	9	( 1)n cos	2n

3	n2 2		3

		6	1 cos n ( 1)n cos			2n	.
	n2 2					3
					3
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид
		6		1	cos n ( 1)n cos 2n			cos n x .
f (x) 1

n 1 n2 2					3	3			3

3.3. Разложить функцию, заданную графически, в ряд Фурье по синусам.

Продолжая функцию нечётным образом, получаем разложе-


ние по	синусам f (x) bn sin n x , коэффициенты которого
		n 1		l
находятся по формулам			2 l
a	0 ,	n 0,1, 2,... , b	2 l	f	(x)sin n xdx ,	n 1, 2,...
n		n	l		l
n		n
			0
Переходя к аналитическому виду, получаем
		2 x,			0 x 1,
		f (x)	1,		1 x 2,
		3 x,			2 x 3.

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2012 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20233.39 Mб25Практикум по объектно-ориентированному программированию..pdf
#
05.02.20231.39 Mб21Практикум по программированию на языке программирования Си..pdf
#
05.02.2023406.11 Кб3Практикум по социально-культурной деятельности..pdf
#
05.02.20231.98 Mб19Практикум по Теоретической механике..pdf
#
05.02.2023931.61 Кб39Практикум по теории вероятностей..pdf
#
05.02.20231.22 Mб11Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению..pdf
#
05.02.20231.44 Mб64Практикум по физико-химическим методам анализа..pdf
#
05.02.2023206.8 Кб0Практическая подготовка студентов.-1.pdf
#
05.02.2023623.34 Кб0Практическая подготовка студентов..pdf
#
05.02.2023290.92 Кб12Практический маркетинг..pdf
#
05.02.2023176.72 Кб1Преддипломная практика студентов..pdf