2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 5 (1)

Определить эквивалентные статистические коэффициенты усиления

127

Рис. 5.7

Решение. Для вычисления коэффициентов статистической

приведены на рис. 5.7, б, в. Из этих графиков видно, что релейный элемент по отношению к среднему значению входного сигнала т ведет себя как линейное звено, коэффициент усиления которого k0

зависит от величины m y / Dy .

Таким образом, случайная составляющая входного сигнала создает эффект линеаризации нелинейного элемента для регулярной составляющей (среднего значения) сигнала. Метод статистической линеаризации формально похож на метод вибрационной линеаризации нелинейного элемента колебаниями высокой частоты постоянной амплитуды.

В свою очередь регулярная составляющая входного сигнала

128

оказывает влияние на прохождение случайной составляющей. Так, например, для рассмотренного нелинейного элемента типа идеального реле передача случайной составляющей ослабляется за счет насыщения нелинейного элемента регулярной составляющей

Ограничения в использовании метода статистической линеаризации обусловлены требованиями нормального закона распределения случайного процесса на входе нелинейного элемента, что выполняется достаточно хорошо, если линейная часть системы будет обладать свойствами низкочастотного фильтра.

Метод статистической линеаризации особенно эффективен при анализе стационарного режима работы системы автоматического управления. В этом случае my = const , Dy = const и коэффициенты

статистической линеаризации не зависят от времени. Линеаризованная система является при этом системой с постоянными параметрами и ее исследование может быть проведено сравнительно просто.

В нестационарном режиме, который может быть вызван, например, переходным процессом, нестационарностью воздействий или самой системы, коэффициенты статистической линеаризации изменяются во времени. Линеаризованная система оказывается при этом системой с переменными параметрами и ее исследование усложняется. Исследования системы в этом случае могут производиться с помощью цифровых вычислительных машин.

5.5. Расчет нелинейных систем методом статистической линеаризации

При расчете нелинейных систем ставится задача определения в стационарном режиме статистических характеристик любой координаты системы [регулируемой величины X (t) , ошибки E(t) и

др.] по известным статистическим характеристикам входного случайного сигнала. Входной сигнал G(t) в данном случае может

представлять собой либо полезный сигнал, либо линейную комбинацию полезного сигнала и помехи. При этом должны быть заданы передаточная функция линейной части системы W ( p) и

129

Рассмотрим применение метода статистической линеаризации для расчета как разомкнутых, так и замкнутых систем, содержащих один безынерционный нелинейный элемент.

5.5.1. Расчет разомкнутых нелинейных систем

Структурная схема разомкнутой системы, имеющей нелинейный элемент с характеристикой и линейную часть с передаточной

функцией W ( p) , показана на рис. 5.8, а.

а

б

в

Рис. 5.8

Пусть на входе нелинейного элемента действует стационарный

На основе метода статистической линеаризации исходную структурную схему системы (рис. 5.8, а) можно эквивалентно заменить двумя структурными схемами: для расчета математического

130

нелинейного элемента по случайной составляющей; W (0) = W ( p) | p =0

входе системы обычно задается своими статистическими

131

5.5.2. Расчет замкнутых нелинейных систем

Структурная схема замкнутой системы автоматического управления с одним нелинейным безынерционным элементом всегда может быть приведена к виду, показанному на рис. 5.9.

Рис. 5.9

может представлять собой линейную комбинацию полезного сигнала и помехи, является стационарным случайным процессом с

В результате расчета требуется по заданным статистическим характеристикам входного сигнала определить математическое ожидание, дисперсию или другие статистические характеристики любой интересующей нас координаты системы, например ошибки E(t) , регулируемой величины X (t) и т. п.

Рассмотрим метод расчета замкнутых систем на примере определения статистических характеристик ошибки E(t) системы.

Заметим, что закон распределения случайного сигнала на выходе нелинейного элемента в общем случае отличается от нормального закона распределения, однако, проходя через линейную часть системы, обладающую в большинстве случаев свойством низкочастотного фильтра, он нормализуется и, таким образом, закон распределения выходного сигнала X (t) будет близок к нормальному.

На основе этого можно считать, что случайная ошибка E(t) на входе

нелинейного элемента также имеет нормальный закон распределения. Поэтому при расчетах можно пользоваться формулами и графиками эквивалентных статистических коэффициентов усиления k0 и k1

обычно приведенных в приложении учебников.

Ошибка системы будет представлять собой стационарный случайный процесс

132

Для простоты будем считать, что нелинейный элемент имеет

основе метода статистической линеаризации сигнал на выходе нелинейного элемента приближенно может быть записан следующим

на выходе нелинейного элемента; k0 (mε , Dε ) – эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по

статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по случайной составляющей.

В результате статистической линеаризации нелинейный элемент эквивалентно заменяется двумя линейными безынерционными элементами: один из них с коэффициентом усиления k0 и второй – с

коэффициентом усиления k1 .

При этом исходная нелинейная замкнутая система (рис. 5.7) эквивалентно заменяется двумя замкнутыми связанными линеаризованными системами (рис. 5.10): по математическому ожиданию; по центрированной случайной составляющей.

Рис. 5.10

Передаточные функции разомкнутых линеаризованных систем

133

Заметим, что полученные таким образом две связанные линеаризованные системы будут линейными только при

режиме системы. При нестационарном режиме система остается

связано с математическим ожиданием mg входного сигнала следующим соотношением:

где Sg (ω) – спектральная плотность центрированной случайной составляющей G(t) входного сигнала; Sε (ω) =| Wgε ( jω) |2 Sg (ω) | – спектральная плотность центрированной случайной составляющей

134

ошибки.

Уравнения (5.56) и (5.57) образуют систему алгебраических уравнений:

Решая систему уравнений, можно найти математическое ожидание

системы уравнений (5.58) можно произвести либо методом последовательных приближений, либо графоаналитическим методом.

При решении методом последовательных приближений

повторяется многократно до тех пор, пока в процессе приближений последующие значения коэффициентов не будут с достаточной точностью совпадать с предыдущими значениями.

Решение графоаналитическим методом производится обычно тогда, когда уравнения системы (5.58) имеют сложный вид. В этом случае в координатах mε и Dε строят кривые, соответствующие

обоим уравнениям системы (5.58); точка пересечения этих кривых дает решение указанной системы уравнений.

После того как будут определены математическое ожидание и дисперсия ошибки, по известным методам линейной теории можно при необходимости рассчитать математическое ожидание и дисперсию случайного сигнала в любой интересующей нас точке системы.

В заключение следует отметить, что метод статистической линеаризации может быть применен и к системам с несколькими нелинейными элементами. Если несколько нелинейных элементов

135

включены последовательно друг с другом, то они могут быть заменены одним нелинейным элементом с результирующей нелинейной характеристикой, построенной по характеристикам отдельных нелинейных элементов. После этого производят статистическую линеаризацию результирующего нелинейного элемента и методом, изложенным выше, находят математическое ожидание и дисперсию в любой интересующей нас точке системы.

Если нелинейные элементы разделены друг от друга инерционными линейными звеньями, то каждый из нелинейных элементов заменяется статистически эквивалентным линейным элементом. Поскольку для каждого линейного элемента нужно определить два статистически эквивалентных коэффициента k0 и k1

то в результате, чтобы найти все коэффициенты линейных элементов,

естественно, расчеты значительно усложняются.

Хотя метод статистической линеаризации и является приближенным, он нашел широкое применение при инженерных расчетах нелинейных систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка. Точность метода статистической линеаризации тем выше, чем уже полоса пропускания линейной части систем и чем больше плотность вероятности на входе нелинейного элемента приближается к нормальной.

5.6.Контрольные вопросы

1.Какие законы распределения случайных величин вы знаете?

2.Какими параметрами характеризуется нормальный закон распределения?

3.Что такое математическое ожидание?

4.Какими соотношениями характеризуется дисперсия?

5.Что такое корреляционная функция?

6.Как определяется спектральная плотность?

7.Как связаны корреляционные функции на входе и на выходе линейного звена?

8.Как связаны спектральные плотности на входе и на выходе линейного звена?

136