Сборник задач

MП

1

"

R1

R1

2

# .

=

+

M

2

R2

R2

Рассмотрим напорное ламинарное движение жидкости в трубе

круглого поперечного сечения, вызываемое перепадом давлений по

длине трубы.

Выделив объем жидкости в виде горизонтального цилиндра, со-

осного с трубой (рис. 8.8), и составив уравнение равновесия прило-

женных к нему сил, приходим к следующему дифференциальному

уравнению:

−μ

∂u

p r

=

,

dr

l

2

где r – радиус выделенного цилиндра; u – скорость жидкости на

этом радиусе;

– перепад давлений на длине трубы l, р = p1 − 2.

Интегрируядифференциальное уравнение, получаем закон рас-

пределения скоростей по сечению трубы:

p

u =

C

− r2 .

4μl

Рис. 8.8

Определяя постоянную C из граничного условия, что скорость

частиц жидкости на стенке равна нулю, находим

u =

p

R2 − r2

= umax 1 −

r2

,

(8.11)

4μl

R2

где R – радиус трубы.

Скорости распределяются в поперечном сечении трубы по пара-

болическому закону, максимум скорости имеет место на оси трубы:

p

umax =

R2.

4μl

201

umax

pR2

v =

=

.

2

8μl

gρD2

v =

hп.

32μl

Решая это уравнение относительно hп, находим выражение по-

терь напора при ламинарном течении в трубе:

hп = 32

μl

v.

ρgD2

Так как μ = νρ, получаем

hп = 32

νl

(8.12)

v.

gD2

Формулу (8.12) можно привести к виду

h = λ

l

v2

,

(8.13)

п

D 2g

где λ – коэффициент сопротивления трения (λ =

64

, здесь Re =

vD

Re

=

).

ν

Расход жидкости через поперечное сечение трубы (формула Пу-

азейля)

πD2

πg D4

Q = v

=

hп.

(8.14)

4

128

νl

Следует заметить, что полученные выше зависимости, справед-

v = 3umax,

или v = 12

μlb2.

2

1

p

Из последней формулы легко получить выражение для расхода

жидкости в зазоре между пластинками

Q =

1

p

b3B

(8.18)

и для потери напора

12 μl

hп

νl

Q

= 12

,

(8.19)

3

где

B – ширина зазора.

gb

B

Формулу (8.19) можно привести к виду

h

= λ

l

v2

,

п

Dг

2g

где

λ = Re

Re =

ν г ;

гидравлический диаметр

Dг

–

96

vD

Рис. 8.11

Если одна из пластинок перемещается параллельно другой с по-

стоянной скоростью u0,

то течение жидкости в зазоре будет более

сложным, представляя собой сумму двух течений:

фрикционного,

наведенного перемещением верхней пластинки, и напорного, вы-

званного перепадом давлений p = p1

− p2. Следовательно, эпю-

ра скоростей представляет сумму отдельных эпюр составляющих

движений и имеет вид, показанный на рис. 8.11.

Ее уравнение (при

расположении начала координат в середине зазора)

u

u

y2

u =

0

y +

0

+ umax 1 −

4

,

(8.20)

b

2

b2

где umax – максимальная скорость напорного течения на оси зазора.

Имея функцию u = f(y), можно легко подсчитать расход через

поперечное сечение зазора и силу трения на пластинке.

При перемещении пластинки со скоростью –

u0, т. е. в противо-

положном направлении

(рис. 8.12),

закон изменения скоростей по

сечению зазора будет иметь вид

1 −

.

y

u

y2

u = −u0

−

0

+ umax

4

(8.21)

b

2

b2

Полученным решением можно воспользоваться для определе-

ния утечек в зазоре между поршнем и цилиндром, если только зазор

b мал по сравнению с диаметром D и если поршень расположен в

цилиндре соосно.

после подстановки

При неподвижном поршне по формуле (8.18)

B = πD имеем

1 πb3D

Q =

p,

(8.22)

12

μl

206

1

πDb3

1

u0 πDb,

(8.23)

Q =

p ±

12

μl

2

где знак второго слагаемого зависит от направления движения

поршня.

Если поршень расположен в ци-

линдре с некоторым эксцентриситетом

(рис. 8.13), то зазор b

между ними будет

величиной переменной в зависимости от

угла ϕ, причем при малом зазоре

b = R + a cos ϕ − r = b0(1 + ε cos ϕ),

где b0 = R − r; ε = b0

–

эксцентриситет.

a

Рассматривая

приближенно каждый

Рис. 8.13

элемент зазора, отвечающий прираще-

нию угла dϕ, как плоский зазор,

получаем следующее значение эле-

ментарного расхода:

b3p

b3r

dQ =

rdϕ

=

0

p(1 +

ε cos ϕ)3dϕ.

12μl

12μl

Интегрируя последнее выражение по всей окружности, находим

расход в зазоре

2π

b03rp

3

3

2

Q =

Z0 (1 +

ε cos ϕ)

dϕ = Q0

1 +

ε ,

(8.24)

12μl

2

207

где Q0 = 12μl

– расход в зазоре при соосном расположении

поршня в

πDb03p

цилиндре

.

Из полученной формулы для Q следует, что при максимальном

эксцентриситете,

т. е. при ε = 1,

Q = 2,5Q0.

τ = −μ

du

получим

,

dy

dp

d2u

= μ

.

Дважды интегрируя последнее выражение, находим

dx

dy2

dp y2

= μu + C1y + C2.

dx 2

и C2 используем следующие

Для определения постоянных C1

граничные условия:

u = u0 при y = 0; u = 0 при y = b.

В итоге получим

u = u 1

y

dp

by − y2

.

− b

0

− dx

2μ

Расход жидкости в зазоре (на единицу его ширины)

b

q = Z0 udy =

u0b

−

dp

b3

.

2

dx

12μ

Из последнего выражения следует, что расход жидкости че-

рез поперечное сечение клина представляет сумму фрикционно-

го расхода и расхода, обусловленного градиентом давления

dp

dx

вдоль оси х. При некотором значении координаты x = xм градиент

dp

= 0, и эпюра скоростей в этом сечении клина будет линейной.

dx

> 0 и суммарный расход жидкости

Для всех координат x < xм

dp

dx

209

равен разности расходов фрикционного и напорного течения; этому

случаю соответствует левая эпюра скоростей.

Для всех координат x > xм

dp

< 0 и суммарный расход будет

dx

равен сумме составляющих расходов; эпюра скоростей в попереч-

ном сечении клина показана на рис. 8.14 справа.

Полагая далее b = ( −х) tg α ≈ (a−x)α,

получим следующий

закон распределения давления

по длине башмака:

p =

6μu0x(l − x)

.

(8.25)

(2a − l)(a − x2)a2

Кривая распределения давлении показана рис. 8.14. Исследуя

полученную функцию p = f(x) на экстремум, находим, что макси-

мум давления имеет место при

xм =

a

l

и равен

2a

− l

3μu0

l2

pmax =

.

2a2

(2a − l)(a − l)a

Зная закон распределения давле-

ния,

можно вычислить подъемную

силу на башмаке и координату цен-

тра давления.

Случай течения между парал-

лельными пластинками можно при-

ближенно распространить и на зада-

Рис

. 8.15

чу о радиальном течении в торцевом

зазоре, образованном двумя плоски-

ми дисками (рис. 8.15). Определим расход жидкости в зазоре, если

последний равен b, а избыточное давление подводимой жидкости

на внутреннем радиусе r0

равно p0.