Сборник задач

Рис. 6.7

Рис. 6.8

Fн. Для плавно сужающегося насадка без сжатия струи на выхо-

де (ε = 1) можно принимать в квадратичной зоне сопротивления

Для некоторых насадков коэффициенты истечения могут быть

μ = ϕ = 0,97.

приближенно определены путем суммирования потерь на отдель-

ных участках потока.

для внешнего цилиндрического насадка

Так,

например,

(рис. 6.8)

потерю напора можно представить в виде суммы:

где hп(1÷x)– потеря при входе в насадок на участке до сжатого сече-

ния струи (x); hп(x÷2) –

потеря при расширении потока на участке

между сжатым и выходным сечениями.

Предполагая наличие квадратичной зоны истечения и выражая

эти потери по формулам

hп(1÷x) = ζ0

v2

x

,

2g

h

п(x÷2)

=

(vx − v)2

,

получим

2g

ζ

v2

= ζ

vx2

+

(vx − v)2

,

2g

0 2g

2g

vFн = vxFx; vx =

v

,

εx

где Fx– площадь сжатого сечения;

εx –

коэффициент сжатия струи

при входе в насадок.

Значение εx зависит от соотношения площадей насадка Fн и ре-

зервуара F1 и может быть определено по формуле (6.12).

Подставляя в выражение суммы потерь значение

vx, находим

коэффициент сопротивления насадка

1

1

2

ζ = ζ0

+

− 1 ,

(6.15)

εx2

εx

при помощи которого определяются скорость истечения и расход

(сжатие струи на выходе из насадка отсутствует);

1

p

; Q = vFн.

v =

2gH

s1 + ζ −

Fн

2

F1

При истечении из большого резервуара (рис. 6.9) сжатие струи в

сечении x является совершенным,

и расчет дает в этом случае (для

средних значений

ζ0

и εx) ζ ≈ 0,5.

Скорость и расход определяются

по формулам (6.1)

и

(6.6), в которых

ϕ = μ =

1

= 0,82.

p

1 + ζ

По опытным данным, коэффициент расхода цилиндрическо-

го насадка в квадратичной зоне сопротивления при длинах l =

= (2 . . . 3)d составляет μ = 0,82 . . . 0,81.

Наглядное представление об изменениях напора потока и его со-

ставляющих при истечении жидкости через насадок дается графи-

ком напоров (см.

рис. 6.9). Линия напора и пьезометрическая линия

по вертикали от оси насадка до пьезометрической линии, скорост-

ной напор

v2

–

расстоянием по вертикали между пьезометрической

2g

линией и линией напора.

Если в промежуточных сечениях насадка скорости имеют боль-

шие значения, чем скорость выхода из насадка, то в этих сечени-

ях при истечении в атмосферу возникает вакуум (пьезометрическая

линия проходит здесь ниже оси насадка).

pв, возникающий внутри

Так, например, наибольший вакуум

цилиндрического насадка в сжатом сечении струи, определяется из

выражения

pв

=

pат − px

=

v

(vx

v) = 2ϕ2

1

1

H.

(6.16)

−

εx −

ρg

ρg

g

Истечение через насадок в атмосферу с заполнением выходно-

го сечения насадка возможно только при напорах,

меньших пре-

дельного Hпр,

который соответствует падению абсолютного давле-

ния в сжатом сечении до давления насыщенных паров жидкости

(px = pн.п):

pат − pн.п

H

пр

=

.

(6.17)

2ϕ2

1

− 1 ρg

εx

Заданы входной d и выходной D диаметры диффузора, а также

коэффициент сопротивления ζ1 входного участка насадка и коэф-

фициент потерь ϕд в диффузоре.

1.

Определить расход Q через насадок и построить график на-

поров по его длине.

2.

Найти предельный напор Hпр насадка.

3.

Определить, при каком выходном диаметре D пропускная

ζ

v2

= ζ

v12

+ ϕ

д

(v1 − v)2

,

2g

где v1

1 2g

2g

и v – скорости во входном и выходном сечениях диффузора.

Так как по уравнению расхода

D2

v = ϕp2gH; Q = μ

π

p2gH.

4

Построение графика напоров дано на рис. 6.10. Наибольший ва-

куум имеет место во входном сечении диффузора. По уравнению

Бернулли для движения жидкости в диффузоре

ρв

=

v12 − v2

−

ϕ

д

(v1 − v)2

.

ρg

2g

2g

Последнее соотношение позволяет рассчитать предельный на-

пор насадка; используя подстановку v1 = nv,

приведем выражение

для вакуума к виду

ρв

v2

n

2

− 1

− ϕд

(n − 1)

2

= ϕ

2

n

2

−

1 − ϕд(n − 1)

2

H.

ρg

=

2g

Подставляя далее выражение ϕ через ζ, а также максимальное

значение вакуума pв = pат −pн.п, получим для предельного напора

H

пр

=

1 + ζ1n2 + ϕд(n − 1)2

∙

pат − pн.п

.

n2 − 1 − ϕд(n − 1)2

ρg

Для определения выходного диаметра D, отвечающего макси-

мальной пропускной способности насадка

(максимальному расхо-

Бернулли, записанным для свободной поверхности жидкости в ре-

зервуаре и для выходного сечения насадка:

H =

v2

+ ζ

v12

+ ϕ

д

(v1 − v)2

;

2g

1 2g

2g

# .

H = 2g

"n2 + ζ1 + ϕд

1 − n

v2

1

1

2

1

Максимальному значению скорости v1 (и, следовательно, расхо-

да) при постоянном H отвечает минимум выражения в квадратных

скобках. Исследуя это выражение на минимум,

получаем (принимая

ζ1 и ϕд постоянными)

1 − n

= 0; n =

ϕд д .

n − 2ϕд

2

1

1 +

ϕ

Следовательно, искомый выходной диаметр

D = ds1

ϕдϕд .

+

Заметим, что насадок такого диаметра характеризуется макси-

мальным вакуумом во входном сечении диффузора при данном на-

поре истечения и,

следовательно, минимальным предельным напо-

ром.

Расход через незатопленный прямоугольный водослив в тонкой

стенке (рис. 6.11)

Q = ; b –

p2

gH,

; H –

m –

где

mbH

(6.18)

коэффициент расхода

ширина порога водослива

напор над порогом водослива.

При истечении свободной струeй коэффициент расхода водо-

слива можно определить по эмпирической формуле (все размеры

в метрах):

H

−

B

×

m =

0, 405 +

0,

0027

0, 03

B − b

× 1 + 0, 55

b2

H2

.

(6.19)

B2

(H + P )2

У водослива без бокового сжатия b = B.

136

Рис. 6.11

Рис. 6.12

К задаче 6.1

К задаче 6.2

Задача 6.2. Определить, пренебрегая потерями напора, началь-

Определить начальную скорость истечения при заполнении со-

суда только водой или только маслом до уровня 2h.

Ответ. 5,94

м/с; 6,26 м/с.

Задача 6.3.

Для насадка, составленного из двух цилиндриче-

ских патрубков диаметрами d = 70 мм и D = 100 мм, опреде-

лить коэффициенты сопротивления и расхода. Найти предельный

напор Hпр в случае истечения воды в атмосферу, принимая, что при

Н = Нпр вакуумметрическая высота в наименьшем сечении потока

достигает 10 м.

Построить график напоров.

Ответ. ζ = 3,2; μ = 0,49; Hпр = 6 м.

Задача 6.4.

Для увеличения пропускной способности плавно

Задача

К задаче 6.3

К задаче 6.4

6.5. Определить,

до какого наибольшего избыточного

ход m бензина, если диаметр насадка d = 50 мм? Уровень бензина

в баке h = 1,5 м.

Плотность бензина ρ = 750 кг/м3, давление насыщенных паров

pн.п = 26,5 кПа. Атмосферное давление равно 97 кПа.

Принять коэффициент расхода насадка μ = 0,81 и коэффициент

сжатия струи при входе в насадок

ε = 0,62.

Ответ. Ри = 78,5 кПа; m = 18,5

кг/с.

К задаче 6.5

К задаче 6.6

Задача 6.6. Определить расход воды Q через отверстие с острой

кромкой диаметром d = 120 мм, выполненное в торце трубы диа-

метром D = 200 мм,

если показание манометра перед отверстием

М = 0,1 МПа и высота расположения манометра над осью трубы

Как изменится расход, если к отверстию присоединить цилин-

h = 1,3 м.

Принять коэффициент расхода насадка μ = 0,82 и коэффициент

сжатия струи при входе в насадок ε = 0,63.

Построить график напоров.

Ответ. d = 0,5 м; h = 2 м.

через плавно

Задача 6.8. Вода перетекает из сосуда A в сосуд В

сходящийся насадок диаметром выходного сечения

d1

= 100 мм

(коэффициент сопротивления ζ = 0,08) и приставленный к нему с

небольшим зазором расходящийся конический насадок выходным

диаметром d2 = 150 мм (коэффициент потерь ϕ = 0,3).

При заданном уровне H1 = 2,5 м определить уровень Н2, при

котором протекающая по насадкам вода не будет выливаться через

зазор, а атмосферный воздух не будет засасываться внутрь насад-

ков.Построить график напоров.

Указание. В сечении потока, соответствующем зазору между насад-

ками, давление должно равняться атмосферному.

Ответ. Н2 = 1,64 м.

Задача 6.9. Вода перетекает из верхнего открытого резерву-

ара в нижний по диффузору, диаметры которого d1

= 100 мм

и d2 = 150 мм. Коэффициент сопротивления входного участка

ζ = 0,06, а коэффициент потерь в диффузоре ϕд = 0,2.

Определить, при каком уровне H1 в верхнем резервуаре абсо-

лютное давление в узком сечении диффузора станет равным ну-

лю, если это сечение расположено над нижним уровнем на высоте

H2 = 1,2 м. Атмосферное давление принять pат = 98

кПа.