Сборник задач

Рис. 9.3

При истечении жидкости из большего резервуара через трубо-

провод в атмосферу

(рис. 9.3) уравнение Бернулли имеет вид

H = αk

v2

+ X hп,

k

(9.8)

2g

где H – располагаемый напор трубопровода, определяемый высо-

той пьезометрического уровня в резервуаре-питателе над центром

выходного сечения трубопровода;

2g k – скоростной напор в вы-

αkv2

ходном сечении;

hп – сумма потерь напора в трубопроводе.

Так как

потеря напора при выходе потока из трубопровода в дан-

X

ном случае отсутствует, уравнение (9.8) при подстановке в него вы-

ражений потерь переходит в уравнение (9.4). Следовательно, при-

веденные выше расчетные зависимости являются общими для тру-

бопровода при истечении как под уровень, так и в атмосферу.

Графики напоров, построение которых дано на рис. 9.2

и 9.3, по-

pи

Пьезометрический напор

в каждом сечении (pи – избыточ-

ρg

ное давление) определяется на графике заглублением центра сече-

ния под пьезометрической линией; скоростной напор αv2

– вер-

2g

тикальным расстоянием между пьезометрической линией и лини-

ей напора1. Построение графика напоров для вертикального трубо-

провода дано на рис. 9.4. Напоры в каждом сечении откладываются

по горизонтали таким образом, чтобы ось трубы являлась началом

отсчета пьезометрических напоров.

Если часть длины трубопровода находится под вакуумом (на-

пример, сифонный трубопровод, рис. 9.5), необходимо проверить

наибольший вакуум в опасном сечении С:

p

v2

в

C

= h +

+ X hпС ,

(9.9)

ρg

2g

где h – высота сечения С

над начальным пьезометрическим уров-

нем в баке-питателе; v – скорость в этом сечении;

hпC –

сумма

потерь напора на участке трубопровода для этого сечения.

X

Рис. 9.5

Для обеспечения нормальной (бескавитационной) работы тру-

бопровода должно выполняться условие

pвС < pат − pн.п,

где pат – атмосферное давление; pн.п –

давление насыщенных паров

жидкости при данной температуре.

При достаточно большой относительной длине

l

трубопрово-

да скоростной напор

d

v2

пренебрежимо мал по сравнению с общей

потерей напора в трубопроводе.

2g

Поэтому для длинного трубопровода постоянного диаметра

расчетное уравнение (9.5) или (9.6)

можно заменить приближен-

ным:

v2

l

Q2

l

H =

λ

+ X ζ = 0, 0827

λ

+ X ζ .

(9.10)

2g

d

d4

d

При расчете длинных трубопроводов, в которых доминируют

потери на трение по длине, целесообразна замена местных сопро-

тивлений эквивалентными длинами по соотношению

lэ =

ζd

.

(9.11)

λ

При такой замене расчетное уравнение (9.10) можно предста-

вить в виде,

характерном для трубопровода без местных сопро-

тивлений:

243

L v2

L

H = λ

= 0, 0827λ

Q2,

(9.12)

где L = l +

d

2g

d5

lэ – приведенная длина трубопровода.

Для трубопровода, состоящего из k

последовательных участков

X

различного диаметра, имеем аналогичное соотношение

k

Li

H = 0, 0827Q2

λi

.

(9.13)

d5

1

i

X

График напоров для длинного трубопровода строится упрощен-

но (рис. 9.6),

поскольку относительная малость скоростных напо-

Расчет трубопровода на основе приведенных выше соотноше-

ний связан с выбором коэффициентов местных сопротивлений ζ

(см. гл. 7) и коэффициента сопротивления трения λ. Значения λ при

различных режимах движения жидкости определяются следующи-

ми зависимостями.

1. Ламинарный режим (Re 6 2 000). Коэффициент сопротивле-

ния трения λ = 64 и потеря напора на трение

Re

hп.т =

32νlv

128νlQ

(9.14)

gd2

=

πgd4 .

244

2. Турбулентный режим (Re > 3 000).

Коэффициент сопро-

А. Область гидравлически гладких труб.

тивления трения можно определять по формуле Конакова:

λ =

1

(9.15)

(1,8 lg Re − 1, 5)2

или формуле Блазиуса (Re 6 105):

0,316

λ =

√4

,

(9.16)

Re

в соответствии с которой потеря напора на трение (величины – в

Международной системе единиц)

hп.т = 0, 0246

ν0,25lQ1,75

.

(9.17)

d4,75

Зависимость λ от Re для гидравлических гладких труб

Rе

λ

Re

λ

Re

λ

4 000

0,0400

40 000

0,0225

400 000

0,0140

6 000

0,0360

60 000

0,0200

600 000

0,0130

8 000

0,0335

80 000

0,0190

800 000

0,0120

10 000

0,0315

100 000

0,0180

1 000 000

0,0115

15 000

0,0285

150 000

0,0165

2 000 000

0,0105

К указанной области сопротивления

относятся

технически

20

000

0,0270

200 000

0,0155

3 000 000

0,0100

гладкие трубы (цельнотянутые из цветных металлов –

медные,

латунные, свинцовые; стеклянные трубы и др.) во всем диапазо-

не их практического использования по числам Re, а также сталь-

ные трубы до значений числа Рейнольдса, ориентировочно равных

Reгл

=

20d

(здесь

– эквивалентная абсолютная шероховатость).

Б. Переходная область. Значения

λ в функции Re и относитель-

ной гладкости

d

для стальных труб,

по данным Мурина (Всесоюз-

режима)

λ = 0,1

1

,46Δ

100

0,25

(9.18)

+

.

d

Re

Средние значения эквивалентной шероховатости для новых

стальных цельнотянутых труб

= 0,1

мм и бывших в употре-

блении (незначительно корродированных)

= 0,2

мм. Верхняя

1

λ =

(9.19)

2 lg

d

+ 1,14 2

или близкой к ней формулой Шифринсона

λ = 0,11

d

0,25.

(9.20)

Для старых водопроводных (стальных и чугунных) труб, зна-

чительно корродированных в результате длительной эксплуатации

( ≈ 1 мм), применимо также выражение (d в м)

λ =

0,02

.

(9.21)

1/3

Для труб некруглого сечения

d

(например, прямоугольных, оваль-

ных и др.) потери напора на трение по длине выражаются общей

формулой

l

v2

hп.т = λ

,

Dг

2g

гидравлический диаметр

где v – средняя по сечению скорость; Dг –

d

λ

d

λ

d

λ

100

0,0379

1 100

0,0192

2 500

0,0159

200

0,0304

1 200

0,0188

3 000

0,0153

300

0,0269

1 300

0,0184

3 500

0,0148

400

0,0249

1 400

0,0181

4 000

0,0144

500

0,0234

1 500

0,0178

5 000

0,0137

600

0,0223

1 600

0,0176

6 000

0,0132

700

0,0216

1 700

0,0173

7 000

0,0128

800

0,0207

1 800

0,0171

8 000

0,0125

900

0,0202

1 900

0,0169

9 000

0,0122

ния трубы к его периметру S: Dг

=

S

и для

круглой трубы совпа-

1

000

0,0197

2 000

0,0167

10 000

0,0120

дает с геометрическим диаметром:

4F

Dг

= d).

Значения коэффициента сопротивления трения λ определяются

по формулам, приведенным выше для круглых труб,

с заменой в

них диаметра d на

Dг.

Можно различать три основные задачи расчета простого трубо-

провода, методика решения которых выясняется ниже на примере

трубопровода постоянного диаметра.

ее свойства (ν), размеры

Задача 1.

Даны: расход жидкости

Q,

трубопровода l, d и шероховатость его стенок .

Найти требуемый напор Н .

Порядок решения задачи cледующий.

1.

По известным

Q, d, ν

рассчитывается число Рейнольдса

Re =

4Q

и определяется режим движения жидкости.

2.

При ламинарном режиме напор

Н вычисляется по формуле:

πdν

H =

128νL

Q,

(9.22)

где L

πgd4

= l +

lэ –

приведенная длина трубопровода; эквива-

лентные длиныXlэ

местных сопротивлений при ламинарном ре-

жиме в трубопроводе существенно зависят от числа Рейнольдса:

lэ

= f(Re).

определяется из формул

d

При турбулентном режиме напор Н

(9.6) (короткий трубопровод) или

(9.12) (длинный трубопровод с

247

преобладающими потерями на трение), в которых по известным

Re, d и

выбирают соответствующие величины λ, ζ и lэ.

Задача 2. Даны: располагаемый напор H, размеры трубопрово-

да l, d,

шероховатость его стенок

и свойства жидкости (ν).

Найти расход

Q.

1. Определяется режим движения путем сравнения напора Н с

его критическим значением

(см. задачу 5.19 гл. 5):

2

Hкр

=

32ν L

Reкр.

(9.23)

3

gd

Если H < Hкр, режим ламинарный, если H > Hкр – турбу-

лентный.

2. Задача решается методом последовательных приближений.

При ламинарном режиме расход определяется из формулы (9.22), в

которой последовательными приближениями уточняются выбран-

ные значения эквивалентных длин местных сопротивлений и при-

веденной длины трубопровода L.

При турбулентном режиме в качестве первого приближения

принимается квадратичная область сопротивления,

в которой по

известным d и

определяются значения λ и ζ, позволяющие най-

ти из формул (9.6) или (9.12) расход Q. Подсчет Re по найденному

Q дает возможность уточнить значения коэффициентов сопроти-

влений и определить расход во втором приближении, что обычно

оказывается достаточным.

Для технически гладких труб в качестве первого приближения

целесообразно использовать при нахождении расхода формулу Бла-

зиуса, по которой

H = 0,0246

ν0,25LQ1,75

,

(9.24)

d4,75

причем следует предварительно оценить приведенную длину тру-

бопровода L с учетом имеющихся местных сопротивлений.

Целесообразно графическое решение задачи, основанное на по-

строении характеристики трубопровода – зависимости требуемо-

го напора Н (перепада гидростатических напоров)

от расхода Q

(рис. 9.7). Характеристика строится по уравнениям связи между H

и Q,

приведенным выше для ламинарного и турбулентного режи-

мов,

с учетом зависимости λ и ζ

от Re, т. е. от расхода Q.

248

Рис. 9.7

Рис. 9.8

Заметим, что при турбулентном режиме в трубопроводе значе-

ния ζ в большинстве случаев весьма слабо зависят от Re и в расче-

тах могут приниматься постоянными.

Для длинного трубопровода указанная характеристика может

рассматриваться как зависимость суммарных потерь напора в тру-

бопроводе от расхода:

X hп = f (Q) .

Графический прием, исключающий необходимость в последо-

вательных приближениях, особенно удобен для трубопровода из не-

скольких участков различного диаметра,

характеристика которого,

позволяющая находить расход Q по напору

H, получается сумми-

рованием ординат характеристик отдельных участков (рис. 9.8).

Задача 3. Даны: располагаемый напор H, расход Q, длина тру-

бопровода l, шероховатость его стенок

и свойства жидкости (ν).

Найти диаметр трубопровода d.

1. Определяется режим движения путем сравнения напора Н с

его критическим значением (см. задачу 5.20

гл. 5):

Hкр =

π3 ν5L

Reкр4 .

(9.25)

2gQ3

Рис. 9.9

Рис. 9.10