Сборник задач

ВВЕДЕНИЕ

Местными сопротивлениями называют короткие участки тру-

бопроводов, на которых происходят изменения величины или на-

правления скоростей потока из-за изменения конфигурации твер-

дых границ.

Потери энергии в местных сопротивлениях, отнесенные к еди-

нице веса потока жидкости, называются местными потерями напо-

ра и подсчитываются по общей формуле

v2

hп.м = ζ2g ,

(7.1)

где v и Q –

средняя скорость потока и расход в трубе; D –

диаметр

трубы; ν –

кинематическая вязкость жидкости.

Для большинства местных сопротивлений в трубопроводах при

числах Рейнольдса Re > 105

имеет место турбулентная автомо-

дельность

– потери напора пропорциональны скорости во второй

степени и коэффициент сопротивления не зависит от Re (квадра-

тичная зона сопротивления).

В тех местных сопротивлениях, где основной является вихревая

потеря напора (например, резкое изменение сечения трубопровода,

диафрагмы и др.), автомодельность устанавливается при значитель-

но меньших числах Рейнольдса (Re > 104)1.

В случае внезапного расширения трубопровода местная потеря

напора при больших числах Рейнольдса выражается формулой

п

м

2g

h .

=

(v1 − v2)2

,

(7.2)

F1

2

ζ = 1 −

.

(7.3)

F2

В формулах (7.2) и (7.3) v1

и v2

–

средние скорости в узком (вход-

ном) и широком (выходном)

сечениях потока; F1 и F2 –

площади

этих сечений.

При постепенном расширении потока в диффузоре

п м

д

2g

д

д

− F2

= ϕ

(v1 − v2)2

ζ

= ϕ

F1

2

h .

;

1

,

(7.4)

где ϕ – безразмерный коэффициент потерь, выражающий потерю

в диффузоре в долях от потери при внезапном расширении.

При внезапном сужении трубопровода местная потеря напора

hп.м = 0, 5

1 −

F2

v22

(7.5)

,

F1

2g

1 Подробные данные по местным сопротивлениям см. И.Е. Идельчик. Спра-

вочник по гидравлическим сопротивлениям. М.:

Машиностроение, 1975.

152

где F1 и F2 –

площади широкого (входного) и узкого (выходного)

сечений; v2 –

выходная скорость.

Значение коэффициента сопротивления входа в трубу из боль-

шого резервуара зависит от формы входной кромки.

В случае

острой входной кромки при больших числах Рейнольдса можно

принимать ζвх = 0,5.

При выходе потока из трубы в резервуар потеря напора и коэф-

фициент сопротивления выхода равны:

hп.м = α

v2

;

ζвых = α,

2g

коэффи-

где v – средняя скорость в выходном сечении трубы; α –

циент кинетической энергии (при турбулентном режиме

α ≈ 1 и

ζвых ≈ 1).

При последовательном расположении в трубопроводе различ-

ных местных сопротивлений общая потеря напора определяется как

сумма потерь в отдельных сопротивлениях, вычисляемых по ука-

занным выше значениям ζ, если между этими местными сопроти-

влениями имеются участки трубопровода длиной не менее пяти-

шести диаметров. На этих участках поток, вышедший из одного

местного сопротивления, стабилизируется до входа в следующее

сопротивление.

При более близком расположении местных сопротивлений не-

обходимо учитывать их взаимное влияние.

В приводимых ниже задачах предполагается, что местные со-

противления достаточно удалены друг от друга и их взаимное вли-

яние отсутствует.

Для расходомеров, основанных на создании перепада давлений

в потоке различными сужающими устройствами (труба Вентури,

сопло и диафрагма – см. рис. 7.1, 7.2

и 7.3),

расход определяется

по общей формуле

Q = μF0p2g

H,

(7.6)

πd2

где μ – коэффициент расхода;

F0

=

– наименьшая про-

4

ходная площадь расходомера;

H –

падение гидростатического

Величина μ определяется опытным путем и зависит от кон-

структивных форм расходомера, отношения площадей

F0

(F1 =

F1

=

πD2

– проходная площадь трубопровода) и расположения мер-

4

. Зона

ных точек, а также от числа Рейнольдса Re =

4Q 1

πDν

Рис. 7.2

1Значения коэффициента расхода нормальных расходомеров –

см. «Правила

28 – 64» для измерения расхода.

154

турбулентной автомодельности по коэффициенту расхода для этих

расходомеров имеет место в зависимости от

d

при Re > 105

. . . 106.

D

Потери напора в расходомерах вычисляют по общему выраже-

нию (7.1), где v – средняя скорость в трубопроводе и ζ – суммарный

коэффициент сопротивления расходомера, также определяемый

опытным путем.

Значения коэффициента расхода μ и коэффициента сопротивле-

ния ζ расходомеров в зоне турбулентной автомодельности можно

приближенно определить и расчетным путем. В качестве примера

получим общие выражения μ и

ζ для диафрагмы

(рис. 7.3).

Для коэффициента расхода можно воспользоваться формулой

(6.14) гл. 6, определяющей расход при истечении через отверстие

из резервуара ограниченной площади; непосредственно получаем

μ =

ε

,

(7.7)

α + ζ

α (εF /F )2

где ε – коэффициент pсжатия2

струи1 −

,1 зависящий0 1

от соотношения

площадей трубы F1 =

πD2

и отверстия диафрагмы F0 =

πd2

;

4

4

ζ1 – коэффициент сопротивления отверстия диафрагмы; α1

и α2 –

При ε = 1 формула дает выражение коэффициента расхода тру-

бы Вентури и сопла (рис. 7.1

и 7.2).

Приближенность формулы для μ обусловлена неточностями

расчетных значений входящих в нее коэффициентов, а также тем,

что давления у сужающего устройства часто измеряют не в рас-

четных сечениях потока (1 и

2),

а в углах, образуемых сужающим

устройством со стенками трубы

(угловой отбор давлений в нор-

мальных расходомерах).

Коэффициент сопротивления можно найти расчетом, рассма-

тривая потерю напора в диафрагме как сумму потерь на участках

между сечениями 1– 2 и

2– 3:

ζ

v1

= ζ

v22

+

(v2 − v1)2

.

2g

1 2g

2g

Применяя уравнение расхода

v1F1 = v2 εF0, откуда v2 =

F1

v1,

εF0

получаем

2

2

F

F

+

− 1 .

ζ = ζ1

1

1

(7.8)

εF0

εF0

При ε = 1 это выражение дает коэффициент сопротивления

мерного сопла. Для трубы Вентури в результате аналогичного рас-

чета получим (см. также введение к гл. 6):

F1

2

F1

2

ζ = ζ1

+ ϕд

− 1 .

(7.9)

F0

F0

Рассмотрим в качестве примера расчета схему трубопровода с

местными сопротивлениями,

в которой жидкость плотностью ρ пе-

ретекает по трубопроводу диаметром D из бака

А в бак В

с посто-

янной разностью уровней h под избыточным давлением рx

в баке А

(рис. 7.4).

На трубопроводе установлены расходомер Вентури с диаме-

тром узкого сечения d и задвижка.

Заданы (в предположении,

что имеет место квадратичная зона

от числа Рейнольдса) коэффициент расхода μ и коэффициент со-

противления ζр расходомера Вентури, а также коэффициент сопро-

тивления ζз задвижки.

Q в трубопроводе и давление

x в баке A,

Определим расход

считая известным показание hрт ртутного дифференциального ма-

нометра, присоединенного к трубе Вентури.

Расход в трубопроводе по показанию дифференциального мано-

метра на трубе Вентури равен согласно формуле (7.6)

d2

Q = μ

π

p2g

H,

4

где перепад пьезометрических уровней (в горизонтальной тру-

бе – перепад давлений, выраженный в метрах столба протекающей

жидкости)

ρрт − ρ

H =

h .

Для определения давления рx

ρ

рт

воспользуемся уравнением Бер-

нулли, записанным для сечений потока на свободных поверхностях

в баках:

pA

vA2

pB

vB2

zA +

+ αA

= zB +

+ αB

+ X hп,

ρg

2g

ρg

2g

где P hп – сумма потерь напора между этими сечениями.

157

Так как скоростные напоры в баках пренебрежимо малы ( 2g ≈

v2

A

≈ 0

и 2g ≈ 0), получаем общее соотношение

v2

B

H =

zA + ρg − zB +

ρg

= X hп,

pA

pB

Пренебрегая потерями трения по длине трубопровода (который

предполагается коротким), определим местные потери – на входе в

трубопровод: hп.вх

=

ζвхv2

, в расходомере Вентури: hп.р =

ζрv2

,

2g

2g

в задвижке: hп.з =

ζзv2

, на выходе из трубопровода: hп.вых

=

v2

,

2g

2g

где средняя скорость в трубопроводе

4Q

v =

.

πd2

Таким образом, искомое давление можно определить из фор-

мулы

=

ζвх + ζp + ζз + 1

v2

px

+ h.

ρg

2g

В ряде случаев (для труб малых диаметров и жидкостей боль-

шой вязкости) оказывается практически важным учет влияния чи-

сла Рейнольдса на коэффициенты местных сопротивлений. При

очень малых значениях

Re (примерно Re 6 10) существует зона

ζ =

A

,

Re

где множитель пропорциональности A определяется формой мест-

ного сопротивления.

. . . 105) отве-

Большим значениям числа Рейнольдса (Re > 104

чает зона турбулентной автомодельности, в которой закон сопроти-

вления является квадратичным к ζ = const.

Переход от первой автомодельной зоны ко второй имеет слож-

ный характер и индивидуальные особенности в местных сопроти-

влениях различного типа.

Для большинства местных сопротивлений оценку величины ζ в

переходной зоне можно сделать по формуле А.Д. Альтшуля:

A

ζ =

+ ζкв,

(7.10)

Re

К задаче 7.1

К задаче 7.2

Определить наименьшее значение ζ, начиная с которого даль-

нейшее увеличение открытия крана

(т. е. уменьшение ζ) не будет

давать увеличения расхода.

Потери на трение в трубке не учитывать.

Ответ. Q =

2,06

л/с;

ζmin

= 3,1.

5,15 + ζ

Задача

7.3.

Из верхней секции бака при постоянном уровне

p

а = 1,5 м и показании манометра М = 30 кПа вода перетекает в

нижнюю секцию через 50 отверстий диаметром d0 = 10 мм каждое

(коэффициент расхода μ = 0,615). Из нижней секции вода вылива-

ется в атмосферу через короткую трубу, снабженную вентилем.

Определить подачу воды Q в верхнюю секцию, если показание

дифференциального ртутного манометра, измеряющего разность

давлений воздуха над уровнями воды в секциях, h = 110 мм.

Определить диаметр d сливной трубы из условия, чтобы при от-

крытом вентиле с коэффициентом сопротивления ζ = 4 уровень

воды в нижней секции установился на высоте b = 2,5 м.

Ответ. Q = 18,6 л/с; d = 79 мм.

Задача

7.4. Бак заполняется бензином через воронку диаметром

d2 = 50 мм, высотой h = 400 мм с коэффициентом сопротивления

ζ = 0,25.

В воронку бензин заливается из резервуара с постоян-

ным уровнем по короткой трубе диаметром d1 = 30 мм с краном и

угольником, коэффициенты сопротивления которых соответствен-

но ζ = 8,5

и 0,8.

в резервуаре, при котором во-

Определить наибольший напор Н