Сборник задач

На каком расстоянии a от оси нужно расположить трубку A, что-

бы осевая сила, уравновешиваемая пятой не зависела от частоты

вращения?

Ответ. P = 86 кН; a = 0,113 м.

Задача

4.28. Определить диаметр D1, на котором установит-

ся вода во внутренней полости гидравлического уплотнения ва-

ла воздушной машины, если диаметр вала d = 0,15 м, диаметр,

на котором установилась вода в наружной полости уплотнения,

D = 0,3 м. Атмосферное давление pат = 100 кПа, абсолютное да-

вление во внутренней полости p = 30 кПа. Частота вращения вала

n = 2 000 об/мин.

Определить осевое усилие P , передаваемое на вал диском

уплотнения. Угловую скорость воды принять равной половине угло-

вой скорости вала.

Ответ.

D1 = 20 см; P = 2,3 кН.

Задача

4.29. Замкнутый цилиндрический сосуд размерами D =

=400 мм и L=400 мм, частота вращения которого n=3 000 об/мин,

заполнен равными объемами воды и бензина (δ = 0,7), образующи-

ми слои одинаковой высоты h = 150 мм.

1. Определить, пренебрегая действием силы тяжести на жид-

кость, наибольшее давление в сосуде.

2. Найти растягивающие усилия P1 и P2 в осевом сечении сосу-

да и в сечении, перпендикулярном его оси.

Ответ.

1. ри = 1,25 МПа. 2. Р1 = 202 кН; Р2 = 54 кН.

К задаче 4.28

К задаче 4.29

Задача 4.30. Показание ртутного чашечного манометра, присо-

единенного к замкнутому баку, в котором находится жидкость плот-

ностью ρ = 1 500 кг/м3, равно h0 = 800

мм.

101

Задача 4.31. Закрытый призматический сосуд размерами L ×

×Н × С = 3 × 1 × 1 м до середины высоты заполнен водой, над

уровнем которой имеется избыточное давление газа

0 = 50 кПа.

Сосуд движется горизонтально с постоянным ускорением a = 0,5g.

1. Определить силы давления на заднюю стенку (Рз) и дно (Рд)

сосуда.

2. Как повлияет на силы давления отсутствие поля сил тяжести?

Ответ. 1. Pз = 57,36 кH и Pд = 159,8 кH. 2. Pз

= 57,36 кH и

Pд = 155,5 кH.

К задаче 4.30

К задаче 4.31

мм, за-

Задача 4.32. Цилиндрический сосуд радиусом R = 100

полненный водой на 3/4

своего объема, вращается равномерно с ча-

Задача

К задаче 4.32

К задаче 4.33

4.33. Определить силу давления воды на полусфери-

ческую крышку цилиндрического сосуда радиусом R = 0,2 м,

если сосуд вращается относительно своей оси с угловой скоростью

ω = 100 рад/с и манометр при этом показывает давление М =

= 50 кПа.

Действием силы тяжести на жидкость пренебречь.

Ответ.

Р = 18,8 кН.

Задача

4.34. Конический сосуд размерами d = 0,6 м, D = 1 м,

a = 0,9 м заполнен водой и приведен в равномерное вращение с

угловой скоростью ω = 20 рад/с.

Давление в центре крышки сосуда по манометру M = 10 кПа.

Определить гидравлические нагрузки болтовых групп A и B со-

суда:

учитывая действие силы тяжести;

1)

2)

пренебрегая действием этой силы.

Ответ.

1. PA = 27,7 кН; PB = 3,34

кН. 2. PA = 27,7 кН; PB =

= 5,37

кН.

Задача 4.35. Цилиндрический сосуд с горловиной, размеры ко-

торого d = 0,2 м, D = 0,4 м, a = 0,4

м и b = 0,2 м, равномерно

вращается вокруг своей вертикальной оси. Сосуд предварительно

заполнен жидкостью (ρ = 1 325 кг/м3)

до высоты h = 0,1 м в гор-

ловине.

Найти угловую скорость ω сосуда, при которой из него начнет

выливаться жидкость. При этой угловой скорости определить силу

давления P

жидкости на крышку K сосуда.

Как изменится сила давления на крышку, если угловая скорость

станет вдвое больше найденной?

Ответ.

ω = 34,3 рад/с; P = 1 600 и 4 900 Н.

103

К задаче 4.34

К задаче 4.35

К задаче 4.36

Задача 4.36.

Определить силу давления на верхнюю половину

шара радиуса

R = 0,6 м, заполненного водой до уровня h = 1,2 м

в пьезометре,

в следующих четырех случаях: 1) шар неподви-

жен; 2)

вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью

ω = 12

рад/с; 3)

свободно падает в поле силы тяжести; 4) свободно

падает вращаясь с угловой скоростью ω = 12

рад/с.

Ответ. P = 8,8; 23,5; 0 и 14,7 кН.

ВВЕДЕНИЕ

Подобными называют такие потоки жидкости, у которых ка-

ждая характеризующая их физическая величина находится для лю-

бых сходственных точек в одинаковом отношении. Понятие гидро-

динамического подобия включает (рис. 5.1) подобие поверхностей,

ограничивающих потоки (геометрическое подобие); пропорцио-

нальность скоростей в сходственных точках и подобие траекто-

рий движения сходственных частиц жидкости

(кинематическое

подобие); пропорциональность сил, действующих на сходствен-

ные частицы жидкости, и пропорциональность масс этих частиц

(динамическое подобие).

Отношения однородных физических ве-

личин, постоянные во всех сходственных

точках подобных потоков,

называют коэф-

фициентами (масштабами) подобия. Соответ-

ственно принятыми в Международной систе-

ме единиц основным физическим величинам

(длина L, время T и масса M) выделяют три

основных коэффициента подобия: линейный

масштаб kL =

L1

, масштаб времени kT =

T1

T2

Рис. 5.1

L2

и масштаб масс kM =

M1

. Масштабы всех

Так, масштаб скоростей kv =

kL

, сил одинаковой физической при-

роды kP = k2

kT

ρ = k2 и т. д.

, плотностей k

kLkM

kM

Используя выражения масштабов kv и kρ можно получить для

T

L

масштаба сил зависимость

kP = kρkv2kL2 ,

(5.1)

которая дает общий закон динамического подобия Ньютона:

P1

ρ v2L2

=

1

1

1

.

(5.2)

P2

ρ v2L2

2

2

2

Последний можно представить в форме

Ne =

P

= idem,

(5.3)

ρv2L2

Условием пропорциональности сил инерции и сил вязкостного

трения является одинаковое значение числа Rе для потоков в натуре

и модели:

Re =

vL

= idem,

(5.4)

ν

где v – характерная (обычно средняя в сечении) скорость; L – харак-

терный размер (обычно диаметр сечения D); ν –

кинематическая

вязкость.

Условие (5.4) приводит к соотношению для коэффициентов по-

добия:

kvkL

= 1

(5.5)

и для скоростей в натуре и модели

kν

v1

L2 ν1

(5.6)

=

.

v2

L1 ν2

Условием пропорциональности сил инерции и сил тяжести

является одинаковое значение числа Fr:

Fr =

v2

= idem.

(5.7)

gL

Так как ускорение свободного падения g в натуре и модели прак-

тически всегда одинаково (масштаб ускорений kg

= 1), условие

(5.7)

приводит к соотношению для коэффициентов подобия

k2

v

= 1

(5.8)

kL

и для скоростей в натуре и модели

v1

L1

= r

.

(5.9)

v2

L2

Подобие потоков в натуре и модели требует одновременного вы-

полнения условий (5.4) и (5.7) для чисел Rе и Fr или условий (5.5) и

(5.8)

для коэффициентов подобия.

Последнее возможно только то-

гда,

когда масштабы линейных размеров и вязкостей находятся в

соотношении

kL3/2

= 1,

(5.10)

kν

107

ν1

L1

3/2

=

.

(5.11)

ν2

L2

Рис. 5.2

Моделируя поток некоторой жидкости при заданном геометри-

ческом масштабе объектов kL

(рис. 5.2),

необходимо применить в

модели другую жидкость, вязкость которой будет удовлетворять

условию (5.11). Выполнение при этом условия

(5.9) для скоро-

стей требует определенного соотношения между располагаемыми

перепадами пьезометрических уровней (гидростатическими напо-

рами) H для натурного объекта и его модели. Так как по уравнению

Бернулли любая характерная скорость может быть выражена как

v = ϕ√

(где ϕ – безразмерный коэффициент скорости), полу-

2gH

чаем

v2

H1

L1

=

1

=

,

(5.12)

H2

L2

v2

2

kL

1/2

kT =

= kL

.

kv

Указанные соотношения позволяют выразить масштабы всех

производных физических величин как функции двух независимых

масштабов – kL и kρ. Так, для масштаба сил, исходя из формулы

(5.1), имеем

kP = kρkv2kL2 = kρkL3 .

Для масштаба расходов kQ

= kL3 /kT = kL5/2, потерь напора

kH = kL, перепадов давлений

kP =

kρ

= k

ρkL.

kL2

В большинстве случаев реализация условия (5.11) технически

весьма затруднительна или невозможна. Поэтому в практике моде-

лирования обычно осуществляют частичное подобие потоков, при

котором выполняется условие подобия главных сил, наиболее су-

щественных для рассматриваемого гидравлического явления.

Если характер движения в основном определяется свойствами

инертности и весомости жидкости, а влияние вязкости относитель-

но невелико (безнапорные русловые потоки, истечение маловяз-

ких жидкостей через большие отверстия и водосливы, волновые

движения и т. д.), моделирование осуществляется по критерию гра-

витационного подобия. При этом выполняется условие (5.9) для

скоростей, а условие равенства чисел Рейнольдса, приводящее к

соотношению (5.11), не соблюдается

(натура и модель работают

обычно на одной и той же жидкости). При моделировании по числу

Fr масштабы всех физических величин

(за исключением вообще

произвольного kν) выражаются через два независимых масштаба

kL и kρ таким же образом, как и при выполнении условий полного

подобия1 (табл. 5.1).

1 Размеры модели (определяемые выбором масштаба kL) должны при этом

обеспечить достаточно большие значения числа Re, при которых влияние вязкости

на поток в модели будет, как в натуре,

пренебрежимо малым.

109

Соотношения масштабов подобия

Т а б л и ц а 5.1

при различных законах моделирования

Масштаб

Моделирование

по числу

инерционных

течений

Fr

Re

Длины kL = L1/L2

kL

kL

kL

Площади kF = F1/F2

kL2

kL2

kL2

Объема kV = V1/V2

kL3

kL3

kL3

Времени kT = T1/T2

kL1/2

kL2 /kν

kL/kv

Скорости kv = v1/v2

kL1/2

kν/kL

kv

Угловой скорости kω = ω1/ω2

1/kL1/2

kν/kL2

kν/kL

Ускорения ka = a1/a2

1

k2ν /kL3

kv2/kL

Расхода kQ = Q1/Q2

kL5/2

kνkL

kvkL2

Кинематической вязкости kν = ν1/ν2

−

kν

−

Силы kP = P1/P2

kρkL3

kρk2ν

kρkv2kL2

Плотности kρ = ρ1/ρ2

kρ

kρ

kρ

Работы, энергии kA = A1/A2

kρkL4

kLkρk2ν

kρkv2kL3

Перепада пьезометрических

уровней,

kL

k2ν /kL2

kv2

потери напора kH = H1/H2

Мощности kN = N1/N2

kρkL7/2

kρk3ν /kL

kρkv3kL2

При напорном движении жидкости (для которого характерно от-

сутствие свободной поверхности)

силы тяжести не влияют на рас-

пределение скоростей в потоке, и для обеспечения кинематическо-

го подобия потоков выполнения условия гравитационного подобия

не требуется. Вместе с тем характер движения существенно зави-

сит от соотношения сил инерции и вязкости жидкости, поэтому мо-

делирование напорных потоков осуществляется по критерию вяз-

костного подобия. Скорости в натуре и модели должны при этом

удовлетворять соотношению (5.6)

и определяться выбранными по

условиям эксперимента масштабами kL

и kν. Если жидкости оди-

наковы (kν = 1), то

110