Сборник задач

Приведенные в данной главе задачи на определение давления в

несжимаемой жидкости могут быть решены с помощью уравнений,

выражающих:

1)

условие равновесия жидкости;

2)

условие равновесия твердого тела, на которое действует сила

давления со стороны жидкости;

3)

условие постоянства объемов жидкости в рассматриваемой

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Для определения давления прежде всего применим закон равно-

весия несжимаемой жидкости,

из которого следует,

что в жидкости

плотностью ρ2 на уровне 1 – 1

давление в трубках манометра оди-

наково. В правой трубке оно создано атмосферным давлением pат и

весовым давлением столба жидкости плотностью ρ1. Так как высо-

та этого столба неизвестна, введем размер х, как указано на рис. 1.5.

Тогда

p1 = pат + ρ1g (h + x) .

(1.11)

11

В левой трубке давление на уровне 1 –

1 создается давлением р

газа в баллоне и весовым давлением жидкостей, имеющих плотно-

сти ρ1 и ρ2.

Для выражения давления через указанные величины введем

еще один размер

h,

представляющий разность уровней жидкости

плотностью ρ1 в чашках прибора.

Тогда

p1 = p + ρ1g(x +

h) + ρ2gh.

(1.12)

Сравнивая соотношения (1.11) и

(1.12), находим

p + ρ1g (x + h) + ρ2gh = pат + ρ1g (h + x),

откуда

p = pат − (ρ2 − ρ1)gh − ρ1g

h.

(1.13)

Как видно из полученного результата,

использование условия

равновесия несжимаемой жидкости недостаточно для решения за-

дачи, так как в уравнении (1.13) величина

h

неизвестна.

Для определения

h применим условие постоянства объема

жидкости в системе:

πD2

πd2

h =

h,

откуда

4

4

d2

h =

h.

h в соотношение (1.13),

D2

Подставив найденное выражение для

получим

d2

p = pат − (ρ2 − ρ1) gh − ρ1g

(1.14)

h.

D2

Поскольку ρ1

<

ρ2, имеем p < pат,

т. е. давление в баллоне

меньше атмосферного. Вакуум в баллоне

pв = (ρ2 − ρ1)gh + ρ1g

d2

h.

(1.15)

D2

Если d D, можно принять

нииТак как по условию равновесия колокола в начальном положе-

π

получим

G = ρga

D22 − D32

,

4

D2

D2

D2

D2

p1

π 2

− ρg(y + t)

π

24−

3

= p2

π 2

.

(1.17)

4

4

Условие постоянства объема ртути в приборе имеет вид

π D324− D42

y =

π D224− D32

t +

π D124− D22

x.

(1.18)

Система трех уравнений (1.16) – (1.18),

содержащая четыре пе-

ременные величины: (p1

− p2), х, у, t, N

позволяет исключить две

промежуточные переменные

х

и у

и получить искомое соотноше-

ние между t и (p1 − p2):

t =

p1 − p2

D32D12 − D22D42

.

(1.19)

ρg

D12 − D42 D22 − D32

Следует отметить линейность шкалы прибора, масштаб которой

можно изменять выбором соответствующих диаметров.

Пример

3 (рис. 1.7).

Заполненный ат-

мосферным воздухом тонкостенный коло-

кол (диаметр D

и высота

H) опускается в

воду под действием собственного веса.

Считая закон сжатия воздуха под ко-

локолом изотермическим, найти зависи-

Рис

. 1.7

мость между глубиной h погружения ко-

локола и его весом G.

Обозначим избыточное давление воздуха в погруженном коло-

коле через

p ,

а высоту его заполнения водой через b. Составим

уравнение равновесия колокола

pи

πD2

= G

(1.20)

4

и уравнение равновесия жидкости

14

pи = ρg(h − b).

(1.21)

δ = 0,7) до высоты r2, присоединены три различных прибора для

измерения давления.

К крышке резервуара присоединен пружинный манометр, к бо-

ковым стенкам пьезометр и трехколенный манометр, наполненный

ртутью (δ = 13,6), водой (δ = 1)

и воздухом

(δ ≈ 0).

Определить показания М манометра и

Н пьезометра, если

уровни жидкостей в трехколенном манометре расположились так,

как показано на рисунке (отметки уровней r даны в метрах).

Ответ.

М = 315 кПа; Н = 47,9 м.

воздуха в резервуаре В, если

Задача

1.3. Найти давление

избыточное давление на поверхности воды в резервуаре A равно

М = 25 кПа, разности уровней ртути

(δ =

13,6) в двухколен-

ном дифференциальном манометре h1

= 200

мм и h2 = 250 мм,

а мениск ртути в левой трубке манометра ниже уровня воды на

h = 0,7 м. Пространство между уровнями ртути в манометре за-

полнено спиртом (δ = 0,8).

Ответ.

Вакуум pв = 26,6 кПа.

К задаче 1.2

К задаче 1.3

Задача 1.4. Двухжидкостный

микроманометр состоит из

U-образной трубки (диаметр d = 5 мм), соединяющей чашки (диа-

метр D = 50 мм). Прибор наполнен несмешивающимися жид-

костями с близкими значениями плотности – водным раствором

этилового спирта (ρ1

= 870 кг/м3) и керосином (ρ2 = 830 кг/м3).

1. Установить связь между измеряемой микроманометром раз-

ностью давлений газа

p = p1 − p2

и смещением h мениска разде-

16

ла жидкостей от его начального положения, отвечающего

p = 0.

Определить

р при h = 280 мм.

2. Указать,

во сколько раз уменьшатся показания прибора при

данном

р,

если в приборе будут отсутствовать чашки.

Ответ. 1.

p = h (ρ1 − ρ2)g + D2 (ρ1 + ρ2)g ;

p = 157 Па.

d2

2. В 30,5 раза.

Использование шкалы с постоянным нулем при из-

Задача 1.5.

мерении давлений чашечным ртутным манометром или вакуумме-

тром вносит погрешность в результат измерения. Для нахождения

истинного значения давления в показание h прибора необходимо

вносить поправку на смещение

h уровня ртути в чашке.

1. Определить относительную погрешность измерения давле-

ния этим манометром, вызываемую смещением уровня ртути в чаш-

ке прибора при диаметрах чашки D = 60 м и трубки d = 6

мм.

2. Каким образом следует проградуировать шкалу прибора, что-

бы отсчет по шкале соответствовал истинному давлению?

Ответ. 1. 0,99 %. 2. Перепаду 100 мм рт. ст. должна соответствовать

длина шкалы 99

мм.

К задаче 1.4

К задаче 1.5

Задача 1.6. Применение спиртового чашечного микроманоме-

тра с наклонной шкалой значительно увеличивает точность изме-

рений малых избыточных давлений в газах.

1. Принимая абсолютную ошибку отсчета по миллиметровой

шкале невооруженным глазом, равной 0,5

мм, определить, под ка-

рых δB = 1,03 и δС = 1,05, и в сборник D, наполненный водой

Определить давление в реторте А, сосудах В и С и в сборнике

(δD = 1).

D при указанных на чертеже размерах (в мм).

Сопротивлением проходу газа по трубкам пренебречь.

Па

Ответ. pD =3 280

Па (вакуум); pC =1 960 Па (вакуум); pB = 930

(вакуум); pА = 78,5 Па

(избыточное).

К задаче 1.9

Задача 1.10. В цилиндрическом от-

стойнике положение поверхности разде-

ла между маслом и осевшей водой опре-

деляется по уровню воды в трубке A, а

уровень масла – по уровню в трубке B.

1. Определить плотность масла, если

а = 0,2 м, b = 1,4 м, а уровень воды в до-

полнительной трубке C установился на

высоте c = 1,2 м.

2. Найти высоту уровней a, b, c в

трубках, если при тех же объемах воды

К задаче 1.10

и масла в отстойнике над маслом созда-

но избыточное давление р = 10 кПа.

Объемом жидкости в трубках пренебречь.

м; c = 2,22 м.

Ответ. 1. ρм = 833 кг/м3. 2. a = 0,2 м; b = 2,62

1. Установить зависимость между понижением h1 уровня в баке

и понижением h2 уровня в открытой ветви прибора от их начальных

положений, соответствующих начальному заполнению бака.

2. Определить, при каком соотношении длин l/L наклон систе-

мы в вертикальной плоскости не будет влиять на положение уровня

в открытой ветви трубки и, следовательно, не будет искажать пока-

заний прибора?

расстояние от начального уровня в баке

Указание.

Обозначив через

до начального положения поверхности раздела жидкостей в правой ветви

U-образной трубки, через y – расстояние от начального уровня в открытой

ветви трубки до начального положения поверхности раздела жидкостей

в левой ветви

U-образной трубки и через z –

начальную разность уров-

ней жидкости плотностью ρ2 в U-образной трубке, из условия равновесия

жидкостей в системе получим

ρ1y = ρ1x + ρ2z.

(1)

Пусть уровень в баке понизился на h1, а в открытой ветви трубки –

на h2, тогда уравнение равновесия жидкостей в трубке примет вид

ρ1y = ρ1(x − h1 − h2) + ρ2(z + 2h2).

(2)

Эти соотношения позволяют найти искомую зависимость h2

от h1.

При решении второго вопроса задачи предполагается, что в случае на-

клона системы свободная поверхность топлива в баке не коснется дна и

крышки бака (см. рисунок к решению задачи 1.11).

и h2, не-

Чтобы наклон системы не влиял на соотношение между h1

обходимо, чтобы относительное равновесие жидкостей в баке и указателе

уровня при наклоне не нарушалось и, следовательно, поверхности жидко-

стей не перемещались относительно трубки. Уравнение равновесия жид-

костей в наклоненной на угол α системе при этом имеет вид

ρ1 [y cos α − (l + a) sin α] = ρ1[(x − h1 − h2) cos α+

+(l + b) sin α] + ρ2

[(z + 2h2) cos α − l sin α],

(3)

где a и b – расстояния от осей правой и левой ветвей U-образной трубки

соответственно до осей открытой трубки и бака.

Расстояние между осями открытой трубки и бака

L = a + l + b.

(4)

Из уравнения (3) с учетом уравнений (2)

и (4) получаем искомое со-

отношение.

ρ1

l

1

Ответ. 1.

h2 =

h.

2.

=

.

2ρ2 − ρ1

L

ρ2

−

1

ρ1

20