Сборник задач

Уравнение поверхности уровня (в частности, свободной поверх-

ности жидкости) во вращающихся вместе с сосудом цилиндриче-

ских координатах (r, z)

имеет вид

ω2r2

(4.13)

z − z0 =

2g

,

где z0 –

вертикальная координата вершины параболоида поверхно-

сти уровня; r, z – координаты любой точки поверхности уровня.

Высота параболоида H = ω2R2

, где R – радиус сосуда.

2g

Закон распределения давления в жидкости выражается уравне-

нием

+ ρ ω2(r2 − r02)

p = p

−

ρg(z

z ),

(4.14)

где p0

0

2

− 0

–

известное давление в точке жидкости с координатами

r0, z0;

p –

давление в произвольной точке жидкости с координа-

тами r

и z.

следует линейность закона распределения

Из уравнения (4.14)

давление в любой точке на глубине h под поверхностью уровня с

давлением p0

p = p0 + ρgh.

(4.15)

Избыточное давление в точках на глубине h

под параболоидом

пьезометрической поверхности

(в открытом сосуде – под параболо-

идом свободной поверхности)

pи

= ρgh.

(4.16)

Из уравнения (4.14) следует параболический закон распределе-

ния давления по радиусу (см. рис. 4.5,

где на правой стороне пока-

зано распределение избыточного давления).

Положение свободной поверхности жидкости в сосуде (коорди-

ната z0 вершины параболоида)

при заданной его угловой скорости

определяется объемом находящейся в нем жидкости. При этом ис-

пользуются следующие соотношения:

а) объем параболоида вращения равен половине произведения

площади его основания на высоту (см.

рис. 4.5):

πR2H

(4.17)

Wпараб =

;

б) объем2жидкости во вращающемся

цилиндрическом сосуде в случае,

когда

свободная поверхность жидкости пересе-

кает дно сосуда, вычисляется по формуле

(рис. 4.6)

W = π(R2 − R12)

b

πg

=

b2.

(4.18)

2

ω2

Когда свободная поверхность отсут-

Рис. 4.6

ствует, положение пьезометрической по-

верхности определяется из условия, что

ной поверхности и, далее, интегрирование этой функции по площа-

ди стенки. Использование такого аналитического способа расчета

иллюстрируется примером 2.

Решение упрощается при определении составляющей силы да-

вления,

действующей на стенку вдоль оси вращения сосуда,

по-

скольку инерционные силы не проектируются на это направление.

Осевая сила давления жидкости на стенку (рис. 4.7)

где Vz

Pz = ρgVz,

(4.19)

–

объем тела давления, построенного параллельно направле-

нию z

между стенкой и пьезометрической поверхностью.

Сила давления жидкости на погруженное в нее твердое

тело (рис. 4.8)

складывается из вертикальной (архимедовой)

си-

лы Pв

= ρgV

и радиальной (центростремительной)

силы P

=

= ρω2rV , где r – расстояние от оси вращения до центра инерции

вытесненного телом объема V жидкости; результирующая сила

4

.

При вращении сосуда вокруг горизонтальной оси поле массо-

P = P

+ P .

вых сил неоднородно и несимметрично относительно оси враще-

ния. При вращении сосуда с большой угловой скоростью единич-

ные центробежные силы инерции j = ω2r велики по сравнению с

единичной силой тяжести g, и последней можно в расчетах прене-

бречь.

При указанном условии поверхности уровня представляют со-

бой концентричные цилиндры с осями, совпадающими с осью вра-

щения сосуда (рис. 4.9). Закон распределения давления для этого

случая имеет вид

p = p0 + ρ ω2(r2 − r02),

(4.20)

2

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Пример 1 (рис. 4.10, a). Сосуд с квадратным основанием l × l,

имеющий массу m1, наполнен водой до высоты h и скользит по го-

ризонтальной плоскости под действием груза массой m2.

1. Найти высоту H сосуда, необходимую для сохранения в нем

всей воды во время движения, если задан коэффициент трения f

сосуда о плоскость скольжения.

2. Определить силы давления воды на переднюю и заднюю стен-

ки сосуда.

Предварительно вычислим ускорение а сосуда. Из уравнения

движения системы сосуд – груз (трением в ролике пренебрегаем)

(m1 + ρl2h + m2)a = m2g − (m1g + ρgl2h)f

получаем

a = g

m2 − m1 + ρl2h f

,

m +

l2h + m

2

где ρ – плотность жидкости. 1

ρ

α = 0.

h, на

Для решения первого вопроса задачи вычислим высоту

которую поднимается жидкость у задней стенки сосуда.

Из условия неизменности объема воды в сосуде следует, что сво-

бодная поверхность должна повернуться вокруг оси O, располо-

женной на середине длины сосуда и нормальной к плоскости дви-

жения. Таким образом,

l

l a

h = −

tg β =

,

2

2

g

и требуемая высота сосуда

H = h + h = h +

l a

.

2

g

Сила давления воды на заднюю стенку сосуда [см. формулу

(4.10)]

(

h

+

h

)

l

l

l a

2

P1 = ρg

l(h + h) = ρg

(h + h)2 = ρg

h +

.

2

2

2

2 g

Сила давления воды на переднюю стенку сосуда

P

= ρg

(h − h)

l(h

−

h) =

ρg

l

(h

−

h)2 =

2

2

2

l

l a

2

= ρg

h −

.

2

2

g

85

Рис. 4.11

Нетрудно видеть, что разность сил P1 и P2 равна переносной

силе инерции,

действующей на жидкость в сосуде.

Пример 2.

Цилиндрический сосуд радиусом R1 наполнен жид-

костью плотностью ρ до уровня a в открытой трубке малого диаме-

тра, установленной на крышке сосуда на расстоянии R2 от центра, и

приведен в равномерное вращение относительно центральной вер-

тикальной оси (рис. 4.11, a).

1.

Определить наибольшую угловую скорость сосуда, до кото-

рой сохранится относительное равновесие жидкости.

2.

Установить зависимость силы давления жидкости на крышку

от угловой скорости сосуда.

Прежде всего найдем закон распределения давления в жидко-

сти, заполняющей сосуд.

Из условия задачи следует, что известно давление p0, равное

pат, на поверхности жидкости в трубке. При выборе указанной на

рис. 4.11, б системы координат с началом в точке O, находящейся

в центре крышки, r0 = R2 и z0 = a. Используя уравнение (4.14),

получаем искомый закон распределения давления

ω2

p = pат + ρ 2 (r2 − R22) + ρg(a − z).

Переходя к избыточным давлениям

ω2

86

pи = ρ 2 r2 − R22 + ρg(a − z).

Для точек на поверхности крышки (z = 0) распределение избы-

точного давления

ω2

pи = ρ

2 r2 − R22 + ρga.

Из рис. 4.11, б можно установить, что это выражение приводит-

ся к простому виду

pи

= ρgh,

где h – глубина точки под пьезометрической поверхностью (пара-

болоид 1).

При возрастании угловой скорости сосуда давление pи, остава-

ясь постоянным в точках r = R2 (p

= ρga), уменьшается в цен-

тральной части крышки и увеличивается на ее краях. При достаточ-

но большом значении ω

пьезометрическая поверхность пересекает

крышку сосуда

(параболоид 2)

и в ее центральной части возника-

ет вакуум, имеющий максимум на оси (точка O). Когда абсолютное

давление в точке O упадет до давления насыщенных паров жидко-

сти pн.п, произойдет разрыв ее сплошности, и равновесие жидкости

в сосуде нарушится.

Значение угловой скорости, соответствующей

этому явлению,

найдем,

используя условие образования разрыва в

жидкости:

pи

= −(pат − pн.п)

при r = 0.

Подставляя это значение p

в уравнение распределения давле-

ния по крышке,

получим искомую угловую скорость

ω

=

1

2

pат − pн.п

+ a.

max

R2 r

ρ

Силу давления на крышку найдем аналитически, суммируя эле-

ментарные силы избыточного давления.

Разбивая поверхность крышки на элементарные кольцевые пло-

щадки и используя формулу для избыточного давления на крышке,

получаем при любой угловой скорости ω < ωmax

R1

R1

ρ

ω2

P = Z0

pи2πrdr = Z0

2 (r2 − R22) + ρga

2πrdr =

ρπR2

R2

= ρgπR12a +

2 1

1

− R22 ω2.

2

87

Силу P можно также найти, вычисляя вес тела давления, по-

строенного вдоль оси вращения между смоченной поверхностью

крышки сосуда и пьезометрической поверхностью (объем Vz тела

давления заштрихован на рис. 4.11,

б). Используя формулу (4.17),

получаем

1

ω2R2

ω2R2

1

ω2R2

Vz = πR12z0 +

πR12

2g 1 = πR12

a −

2g 2 +

πR12

2g 1 .

2

2

Сила давления P = ρgVz.

Из полученной зависимости P от ω можно видеть, что если ра-

диус расположения точки присоединения трубки R2 = R1/√2, то

сила давления жидкости на крышку сосуда не зависит от угловой

скорости сосуда:

P = ρgπR2a.

Если

R2

> R2,

то с ростом ω1сила P уменьшается, если

R2 < R2,

то с ростом

ω сила P увеличивается.

Пример

3. Цилиндрический сосуд диаметром D1 и высотой

L, имеющий в верхней крышке центральное отверстие диаме-

тром D2,

заполнен до высоты B жидкостью, плотность которой

ρ (рис. 4.12, a).

1. Определить угловую скорость сосуда, при которой жидкость

начнет выливаться из него.

2. Найти силу давления на верхнюю закраину при этой угловой

скорости.

Жидкость начнет выливаться из сосуда, когда ее свободная по-

верхность по мере увеличения угловой скорости достигнет кромки

закраины

(точка A на рис. 4.12, б). При этом вершина параболоида

свободной поверхности в зависимости от объема жидкости в сосу-

де может расположиться ниже или выше дна сосуда (параболоиды

Найдем прежде всего, какому объему жидкости W соответ-

1 и 2).

ствует параболоид 3, вершина которого касается дна. Используя

формулу (4.17), получим

π

1 πD2

π

D12 −

1

L.

W =

D12 − D22

L +

2

L =

D22

88

4

2

4

4

2

πD12

− 2 D12

B =

W

1 D2

= 1

2

L.

4

Если заданная высота B < B , имеем случай 1. Искомую угло-

вую скорость определим из условия неизменности объема жидко-

сти в сосуде, используя формулу (4.18):

πD12

π

2

−

2

πg

2

B =

D1

D2

L +

L

;

4

4

ω12

2L

g

ω1 =

v

.

D1

D22

uB

−

1

L

2

u

− D1

u

t

Если B > B , имеем случай 2; из условия сохранения объема

жидкости в сосуде получим с помощью формулы (4.17)

πD2

πD2

1 πD2

ω2D2

1

1

2

2

2

B =

L −

;

4

4

2

4

8g

4D1

ω2 =

pg(L − B).

D22

89

2

ω3 =

p2gL.

D2

Сила давления жидкости на закраину вычисляется по формуле

(4.19), в которой объем тела давления

πg

πg

2D2

2D2

2

Vz =

b2 =

ω8g 1 −

ω8g 2

.

ω2

ω2

ЗАДАЧИ

Задача

4.1. Для измерения ускорения горизонтально движуще-

гося

тела

может

быть

использована

закрепленная на нем

U-образная трубка малого диаметра, наполненная жидкостью.

С каким ускорением a

движется тело, если при движении уста-

новилась разность уровней жидкости в ветвях трубки h = 5 см при

расстоянии между ними l = 30 см?

Ответ. а = 1,635

м/с2.

Задача

4.2. Призматический сосуд длиной 3l = 3 м и шириной

c = 1

м, перемещающийся горизонтально с постоянным ускорени-

ем a = 0,4g, разделен плоской перегородкой на два отсека, запол-

ненных водой до высот h1

= 1 м и h2 = 1,75 м.

1.

Определить суммарную силу P давления воды на перего-

родку.

2.

Найти ускорение a, при котором эта сила станет равной нулю.

Ответ.

1. P = 2,17 кН.

2. a = 0, 5g.

К задаче 4.1

К задаче 4.2