Сборник задач

P + ρgV

ρv2D2

=

,

Pм + ρмgVм

ρмvм2Dм2

где V/Vм = D3/Dм3.

= 7 м/с; 3) горизонталь-

Ответ.

1) hп = 3,2 м; P = 90 Н; 2) v

ная сила

(лобовое сопротивление) P = 400 Н;

вертикальная (архимедова)

P = 310

Н, суммарная P = 505 Н.

Задача

5.16.

Модель холостого выпуска гидротурбины с разме-

ром клапана D

= 0,2 м испытана на воздухе (ρ = 1,25 кг/м3) под

избыточным давлением pи = 400

мм вод. ст. При полном открытии

клапана s

= 100 мм получен расход Qм = 1,6 м3/с; при открытии

sм = 20 мм получена максимальная сила действия потока на кла-

пан (возникающая за счет динамического разрежения на его торце)

Для натурного холостого выпуска диаметром D = 0,5 м, рабо-

Pм = 50 Н.

тающего на воде под статическим напором H = 32 м определить

(считая, что испытания модели произведены в квадратичной зоне

сопротивления):

1)

расход Q при полном открытии клапана;

2)

максимальную силу P , действующую на клапан, если высота

К задаче 5.16

К задаче 5.17

суммарный расход охлаждающей воды

Q = 8 л/с проходит по 250

параллельным трубкам, между которыми движется конденсируе-

мый пар.

Каков максимальный допустимый диаметр трубок, при котором

в них еще будет турбулентное движение (обеспечивающее лучшую

теплопередачу, чем ламинарное)?

Для нижней границы турбулентного режима принять Reкр =

= 3 000. Температура воды t = 10 ◦C (ν = 0, 013 Ст).

Ответ. dmax

= 10

мм.

Задача 5.19.

В трубопроводе диаметром d и длиной l под ста-

тическим напором H

движется жидкость, кинематическая вязкость

которой ν. Получить выражение для критического напора, при ко-

тором ламинарный режим переходит в турбулентный, учитывая в

трубопроводе только потери на трение.

Указание. Воспользоваться формулой для потерь на трение при лами-

нарном режиме:

H = 32νl

v

,

gd2

имея в виду, что критический напор Hкр соответствует критической ско-

рости vкр .

3

кр .

Ответ. Hкр =

32ν2lRe

и для числа Рейнольдса

Q

Re = 4

,

πdν

не содержащее диа-

найти выражение критического напора через расход,

метра трубы:

Hкр = π

3

ν

5 Reкр4

.

Ответ. Hкр = 113 м –

2gQ3

= 2 Ст.

режим ламинарный; νmin

Задача

5.21.

Для квадратной трубки, сторона которой a = 10 мм,

определить критическую скорость движения воды при t = 20◦С

(ν =

0, 01 Ст),

воздуха при

p

=

0,1 МПа и

t =

20◦С (μ =

= 1,82 ∙ 10−4 П,

ρ = 1,17 кг/м3)

и турбинного масла при t = 20◦С

(ν = 1 Ст),

приняв Reкр

= 2 000.

воздуха – 3,1

м/с, масла – 20 м/c.

Ответ.

Скорость воды 0,2 м/с,

Задача 5.22. Для узкой кольцевой щели

диаметром D = 250

мм и шириной b = 1 мм

определить минимальный расход воды тем-

пературой

10◦С

(ν = 0, 013 Cт), при кото-

ром сохраняется турбулентный режим; при-

К задачам 5.22 и 5.23

нять в качестве нижней границы этого режи-

ма Rекр = 3 000.

b на значение критического расхода

Будет ли влиять ширина

(при сохранении условия, что

D 1)?

b

Ответ. Qкр = 1,5 л/с независимо

от величины b.

Задача

5.23.

Определить в общем виде для узкой кольцевой ще-

ли диаметром D, шириной b

и длиной l критический перепад да-

влений

p = p1

− p2

, соответствующий смене режимов движения

жидкости с заданными характеристиками (плотность

ρ, вязкость

μ). Подсчитать

pкр

в частном случае (D = 250 мм,

b = 0,5 мм,

l = 100

мм) для воды

(ν = 0,01 Cт), приняв Reкр = 3 000.

Указание. Принимать, что перепад

p целиком поглощается сопро-

тивлением трения:

p = 12μl

v

,

где v – средняя скорость в щели.

b2

Ответ.

pкр

=

b3

Reкр;

pкр = 14, 5 кПа.

6

ρν2l

123

Глава 6.

ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ

ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ,

НАСАДКИ И ВОДОСЛИВЫ

ВВЕДЕНИЕ

При установившемся истечении жидкости из большого откры-

того резервуара через круглое отверстие, размер которого мал по

сравнению с его заглублением под уровнем жидкости (малое отвер-

стие, рис 6.1),

средняя скорость в сжатом сечении струи равна по

уравнению Бернулли

v = ϕp

(6.1)

где

H –

2gH,

глубина центра тяжести сжатого сечения струи под уровнем

(напор истечения)1. Безразмерный коэффициент скорости

1

ϕ = p

,

(6.2)

α + ζ

H = h +

p1 − p2

,

(6.3)

ρg

где h – глубина центра сжатого сечения струи под уровнем жидко-

сти; p1 –

давление в резервуаре над жидкостью; p2 –

давление среды,

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Если истечение происходит в атмосферу, напор истечения пред-

ставляет глубину расположения центра сжатого сечения струи под

пьезометрическим уровнем (уровнем атмосферного давления) в ре-

зервуаре:

h + pи

H =

,

(6.4)

ρg

где ри = р1 − pат – избыточное давление в резервуаре над жидко-

стью.

Степень сжатия струя, вытекающей через отверстие, характери-

зуется коэффициентом сжатия

Fc

dc

2

ε =

=

,

(6.5)

Fо

dо

где Fс, dc – площадь и диаметр сжатого сечения струи; Fo, do –

пло-

щадь и диаметр отверстия.

Расход через отверстие

Q = μFоp

(6.6)

2gH,

где μ – коэффициент расхода,

μ = εϕ.

(6.7)

125

dо√

Re =

2gH

,

(6.8)

ν

где ν – кинематическая вязкость жидкости1.

Зависимость коэффициентов истечения от Rе для малого круг-

лого отверстия с острой кромкой дана в обработке А.Д. Альтшуля

на рис. 6.3.

Значения μ в функции Rе приведены ниже:

Re . . . . . . . . . 1, 5 ∙ 104 2, 5 ∙ 104

5 ∙ 104

105 2, 5 ∙ 105 5 ∙ 105 106

μ . . . . . . . . . .

0,638

0,623

0,610

0,603 0,597

0,594 0,593

При Rе

≥ 105

число Рейнольдса практически не влияет на ко-

эффициенты истечения (квадратичная зона истечения),

и для расче-

тов можно пользоваться следующими их средними значениями:

ϕ = 0,97;

ε = 0,62;

μ = 0,60.

При этом неравномерность скоростей в сжатом сечении струи

весьма невелика и можно принимать α ≈ 1. Тогда

ϕ =

1

,

(6.9)

p

1 + ζ

откуда в среднем для круглого отверстия с острой кромкой ζ ≈ 0,06.

Коэффициент полезного

действия

отверстия

–

отношение

удельной кинетической энергии струи к напору истечения:

η = α

v2

= αϕ2 =

α

.

2gH

α + ζ

1

Коэффициенты истечения

отверстий малых абсолютных размеров зависят

также от числа Вебера, выражающего влияние поверхностного натяжения жидко-

сти:

ρgHd

We =

о

,

σ

Рис. 6.3

Рис. 6.4

При больших значениях Rе можно пользоваться выражением

1

ϕ2.

η ≈

=

(6.10)

1 + ζ

Для малых отверстий других форм при больших Rе значения

коэффициента расхода в формуле (6.6)

можно принимать равными

При истечении под уровень (рис. 6.4) скорость жидкости в сжа-

μ = 0,6.

том сечении струи и расход определяются по формулам (6.1) и (6.6),

в которых напор истечения H представляет разность гидростатиче-

ских напоров (выражаемую разностью пьезометрических уровней)

в резервуарах:

pи1 − pи2

H = h

1 −

h

2

+

.

(6.11)

ρg

Значения коэффициентов истечения для затопленного отвер-

стия можно принимать такими же, как при истечении свобод-

отверстия их направляющее действие уменьшает степень сжатия

струи; при этом коэффициенты сжатия струи и расхода возрастают.

При истечении из цилиндрического резервуара площадью F1

через круглое отверстие площадью F0, расположенное на его оси

(рис. 6.5), среднее значение коэффициента сжатия струи при боль-

ших значениях Rе можно определять по эмпирической формуле

F0

2

ε = 0,62 + 0,38

.

(6.12)

F1

Скорость истечения и расход жидкости при истечении из резер-

вуара ограниченной площади (рис. 6.5) определяются с помощью

уравнений Бернулли и расхода,

записанных для сечения в резерву-

аре перед отверстием

(сечение

1)

и сжатого сечения струи (сече-

ние 2):

z1 +

p1

+ α1

v12

= z2

+

p2

+ α2

v22

+ hп;

ρg

2g

ρg

2g

Q = v1F1

= v2 εF0.

Выражая потерю напора как

hп =

ζv22

2g

и вводя напор истечения H, представляющий разность гидростати-

ческих напоров в сечениях 1

и 2:

− z2 + ρg ,

H =

z1 + ρg

p1

p2

получим скорость истечения

sα2 + ζ − α1

F1

v2 =

1

p2gH

(6.13)

εF0

2

и расход

sα2 + ζ − α1

F1

Q =

εF0

p2gH.

(6.14)

εF0

2

128

В квадратичной зоне истечения можно приближенно принимать

значения коэффициента кинетической энергии α1 = α2 = 1

и ко-

эффициента сопротивления отверстия ζ = 0,06.

=0

Для предельного случая неограниченного резервуара F1

F0

где hи =

ри

– высота пьезометрического уровня в левой секции.

ρg

Расход через донное отверстие

d2

Q2 = μ2

π 2

p2ga.

4

Если окажется, что Q1 > Q2, то в действительности h2 > a и

боковое отверстие затоплено; если Q1 < Q2,

то h2 < а и боковое

отверстие не затоплено.

В первом случае условие равенства расходов дает систему урав-

нений

d2

d2

Q = μ1

π 1

p2g (hи + h1 − h2) = μ2

π 2

p2gh2,

4

4

из которой определяются уровень h2 и расход Q.

Во втором случае

d2

d2