студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

Ук а з а н и е . Процесс неравновесный, поэтому пользоваться уравнением адиабаты Пуассона нельзя. Необходимо применить первое начало, т. е. закон сохранения энергии.

Ответ: Температура выросла в отношении 5/3.

2. В хорошо откачанной вакуумной системе открывают кран, соединяющий ее с атмосферой. Сразу после уравнивания давлений кран закрывают. Каким окажется давление в системе после установления теплового равновесия с окружающим воздухом?

Решение. Допустим, в вакуумную систему перешло из атмосферы молей воздуха, занимавших при комнатной температуре 0 и атмосферном давлении0 объем 0. При этом окружающие порции воздуха совершают работу

0 0. Пренебрегая теплообменом за время заполнения системы, запишем баланс энергии:

0 0 0 0 0 0

Отсюда получаем температуру воздуха сразу после заполнения системы, т. е. при атмосферном давлении, 0. Процесс последующего охлаждения воздуха до комнатной температуры 0 происходит при постоянном объеме. При

Ответ: р т 0,44.

6. Турбина Костромской теплоэлектростанции развивает мощность 1200 МВт в режиме, при котором отношение давлений на изобарах равно

6. КПД турбины составляет 90 % от теоретического значения.

Какое количество топлива (мазут, 4 107 Дж/кг) необходимо для непрерывной работы такой турбины в течение суток?

Показатель адиабаты рабочего тела 1,4. Ответ: 7200 т.

насоса при тех же значениях температур «нагревателя» и «холодильника»?

8. Теплоизолированный цилиндр разделен на две равные части закрепленным теплонепроницаемым поршнем. В каждой части сосуда находится 1 моль гелия, причем температура в одной из частей в два раза больше, чем в другой. Поршень освобождают, и после установления равновесия объем одной из частей сосуда оказывается в 1,5 раза больше объема другой части.

9. Цикл тепловой машины на -диаграмме изображается окружностью. Максимальная и минимальная температуры рабочего тела отличаются в 3 раза. Определить КПД цикла.

Решение. Так как Æ , на -диаграмме (рис. 2.15) подведенное к рабочему телу тепло определяется площадью под кривой , а отданное

порядок дифференцирования по и по , а также учитывая соотношениеиз табл. 2.1, получаем 6 2. С уче-

том того, что по условию 3, имеем

6 2 103 Па/К

Г л а в а 3

ПРИЛОЖЕНИЯ ЗАКОНОВ ТЕРМОДИНАМИКИ

До сих пор мы иллюстрировали общие термодинамические соотношения почти исключительно на примере поведения идеального газа.

Универсальное уравнение состояния и простая модель, позволяющая определить некоторые дополнительные характеристики газа, давали возможность анализировать его поведение на основе первого начала, практически не используя весь арсенал термодинамики.

Так, независимость внутренней энергии идеального газа от объема следует из опытов Гей-Люссака–Джоуля или из анализа газокинетической модели «твердых шариков». Но этот факт можно получить из уравнения состояния идеального газа, не имея в виду никакой модели, а просто считая его эмпирическим соотношением, описывающим поведение определенного класса объектов.

Достаточно вспомнить полученное в предыдущей главе соотношение

идеального газа 0. Но модель идеального газа описывает поведение вещества только в случае, если оно находится в достаточно разреженном состоянии. А формула (3.1) позволяет выяснить зависимость от для любого вещества, если только известна производная .

То есть можно сказать, что введение с помощью второго начала термодинамики новых функций состояния — энтропии, термодинамических потенциалов — открывает путь к анализу поведения объектов, более сложных, чем идеальный газ. Можно попытаться учесть взаимодействие молекул на расстоянии, особенности состояния молекул, находящихся вблизи границы тела и т. д.

Кроме того, становится возможным не ограничивать набор возможных воздействий на систему теплообменом и механической работой, совершаемой при изменении занимаемого ею объема, но и рассматривать, например, влияние на поведение системы электрического или магнитного поля.

Некоторые подобные примеры разбираются в настоящей главе.

3.1 ] Газ Ван-дер-Ваальса 295

3.1. Газ Ван-дер-Ваальса

Предложены многочисленные уравнения, которые лучше, чем уравнение состояния идеального газа, описывают поведение реальных газов в достаточно широком диапазоне изменения параметров состояния. Из них выделяется уравнение Ван-дер-Ваальса.

Уравнение Ван-дер-Ваальса основывается на ясных модельных представлениях, отражающих отличие поведения реальных молекул от «твердых шариков» идеального газа. Оно дает хорошее согласие с экспериментом при умеренных плотностях, а в общих чертах неплохо описывает поведение газа при большой плотности и даже переход из газообразного состояния в жид-

кое.

Уравнение Ван-дер-Ваальса. В модели Ван-дер-Ваальса предпринята попытка учесть взаимодействие молекул. Так называемый потенциал Ван-дер-Ваальса, описывающий это взаимодействие, выглядит следующим образом (рис. 3.1).

нечно велика. Если же расстояние между молекулами превышает 2 0, они притягиваются друг к другу. Энергия взаимодействия отрицательна и обратно пропорциональна шестой степени расстояния между центрами молекул: 6. Средняя энергия взаимодействия пропорциональна 6, т. е. 2.

В уравнение состояния по сравнению с идеальным газом вводятся два изменения.

1. В явном виде учитывается конечный объем молекул. Некоторый объем (он считается равным учетверенному объему молекул) оказывается недоступным для молекулы, она может свободно двигаться не по всему объему сосуда , а только

впределах пространства .

2.Учитывается притяжение молекул друг к другу. В частности, молекулы пристеночного слоя имеют соседей только с одной стороны, поэтому они «втягиваются» этими силами внутрь объема, в результате чего давление на стенку сосуда несколько уменьшается. Это уменьшение давления описывается членом ви- да 2.

296 Приложения законов термодинамики [ Гл. 3

Совместное действие двух механизмов приводит к тому, что фиксируемое манометром давление оказывается равным

Соотношения (3.2), (3.3) записаны для моля газа. Если в некотором объеме находится молей газа, значит, каждый моль занимает объем , и в этом случае

Как количественное соотношение уравнение Ван-дер-Ваальса справедливо до тех пор, пока и можно считать поправками. При более высоких плотностях, когда 2 становится сравнимым с или — сравнимым с , модель Ван-дер-Ваальса становится слишком грубой и описывает поведение реальных веществ лишь на качественном уровне.

Изотермы Ван-дер-Ваальса. Критические параметры. Исследование поведения газа, описываемого уравнением Ван-дер- Ваальса, начнем с анализа его изотерм — графиков зависимости от при постоянном значении . Изотермами идеального газа в -координатах являются гиперболы . Изотермы газа Ван-дер-Ваальса имеют более сложный вид. Уравнение Ван-дер-Ваальса можно привести к виду

3 2 0

Это уравнение третьего порядка относительно , и оно, вообще говоря, имеет три корня. При достаточно высоких температурах два корня — комплексно-сопряженные числа, и реально каждому значению давления соответствует одно значение объема. Если же температура невысокая, все три корня будут действительными, при одном значении давления (и температуры) объем может принимать три различных значения.

Поведение изотермы Ван-дер-Ваальса удобно анализировать, исходя из уравнения в форме (3.2). Значения объема

недопустимы, а это означает, что график изотермы опускается из бесконечности правее точки (рис. 3.2).

При достаточно больших значениях объема изотерма Ван- дер-Ваальса должна мало отличаться от изотермы идеального газа, в частности, при безграничном увеличении объема давление должно стремиться к нулю. Но чтобы одному значению давления отвечало три значения объема, график должен иметь восходящий

3.1 ] Газ Ван-дер-Ваальса 297

Решая совместно (3.2) и (3.5), получаем уравнение кривой, на которой лежат экстремумы изотерм (штриховая кривая на

Кривая э начинается с отрицательных значений давления (это обстоятельство мы позже обсудим) при 2 , проходит через максимум и затем приближается сверху к асимптоте

2

1

Рис. 3.2

0. В точке , в максимуме кривой, два экстремума сливаются. Изотерма, проходящая через эту, так называемую критическую точку, имеет в ней точку перегиба с горизонтальной касательной. На всех изотермах, соответствующих критической и более высоким температурам, давление становится монотонной функцией объема, каждому давлению отвечает только одно значение объема. В критической точке

Теперь нетрудно найти значения критических параметров:

Если мы введем приведенные объем, давление, температуру

298 Приложения законов термодинамики [ Гл. 3

то получим приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса

которое часто проще анализировать.

Замечательно, что в параметрах , , уравнение Ван-дер- Ваальса выглядит одинаково для всех веществ. В этом смысле оно становится таким же универсальным, каким в своем диапазоне, при справедливости модели идеального газа, является уравнение Клапейрона.

Модель Ван-дер-Ваальса отражает влияние взаимодействия молекул и поэтому, в отличие от модели идеального газа, описывает эффекты, вызываемые этим взаимодействием. Рассмотрим для иллюстрации два примера.

Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса. Дифференцируя соотношение (3.2), получим . Тогда из общего соотношения (3.1) для частного случая газа Ван-дер-Ваальса следует

Постоянную интегрирования можно опустить, так как в конкретных задачах важно лишь изменение энергии.

Как и следовало ожидать, теперь, в отличие от идеального газа, внутренняя энергия зависит от объема. Если при неизменной температуре меняется занимаемый газом объем, то меняется расстояние между молекулами. Кинетическая энергия молекул газа остается прежней, но потенциальная энергия их взаимодействия меняется.

Очевидно, при адиабатическом расширении в пустоту реальные газы, в отличие от идеальных, должны охлаждаться. При увеличении объема потенциальная энергия взаимодействия молекул газа растет. В условиях теплоизоляции эта энергия может быть позаимствована только из кинетической энергии тех же молекул, то есть за счет охлаждения газа. Этот результат следует из (3.9):

во втором, воспользовавшись соотношением Максвелла для

Эффект Джоуля–Томсона. Вспомним, что при адиабатическом дросселировании остается неизменной энтальпия газа . Для идеального газа это означает неизменность температуры. В реальных экспериментах, впервые осуществленных Джоулем и Томсоном (1852), наблюдается изменение температуры. Модель Ван-дер-Ваальса позволяет проанализировать этот эффект. Ограничимся случаем, когда перепад давлений мал, т. е. рассмотрим дифференциальный эффект Джоуля–Томсона. Тогда задача сводится к вычислению производной . Запишем дифференциал энтальпии

Первый член Æ . Во втором члене используем соотношение Максвелла для потенци-

Осталось подставить . Для идеального газа эта величина равна , и эффект, конечно, оказывается нулевым.

Иначе обстоит дело в случае газа Ван-дер-Ваальса. Продифференцировав (3.2) при постоянном давлении, получим