3323

УДК 517.2

Горбунов В.В., Соколова О.А. Математический анализ. Часть 1: Учебное пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2003. 187 с.

В учебном пособии излагаются элементы математического анализа. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.

Издание предназначено для студентов-заочников, обучающихся по направлению 654600 «Информатика и вычислительные технологии», специальности 220300 «Системы автоматизированного проектирования в машиностроении», изучающих дисциплину «Математический анализ».

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS WORD 2000 и содержится в файле “МатАн3.doc”

Табл. 4 .Ил. 41 . Библиогр.: 8 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра естественно-научных дисциплин Международного института компьютерных технологий (зав. кафедрой канд.техн.наук, доц. Попов С.П.); д-р физ.мат.-наук, проф. В.А. Родин

Горбунов В.В., Соколова О.А., 2003

Оформление. Воронежский государственный технический универ-

ситет, 2003.

2

ВВЕДЕНИЕ

Системы автоматизированного проектирования представляют собой одно из важнейших средств ускорения развития машиностроения и являются необходимым элементом современного производства. Мощное развитие систем проектирования, связанное с компьютеризацией, было бы невозможно без математического аппарата, что делает изучение матаматики обязательным условием успешного освоения специальных дисциплин по специальности САПР.

Данное пособие посвящено изучению следующих разделов высшей математики: теория пределов, дифференциальное исчисление функции одной переменной, комплексные числа, неопределенные интегралы, определенные интегралы.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют вопросы для самопроверки и примеры решения типовых задач различной степени трудности. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.

Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 654600 «Информатика и вычислительные технологии», специальности 220300 «Системы автоматизированного проектирования в машиностроении», изучающих дисциплину «Математика», рекомендовано студентам – заочникам первого курса в помощь к изучению курса высшей математики.

3

свойствами множеств A и B означает, что пересечение этих множеств представляет собой пустое множество .

Разностью множеств A и B называется множество C , содержащее все элементы множества A , не содержащиеся во множестве B ; эта разность обозначается C A \ B .

В настоящем пособии рассматривается множество действительных чисел, а также подмножества натуральных и рациональных чисел.

1.2. Понятие функции

Пусть X и Y – некоторые числовые множества. Если существует правило или закон, согласно которому каждому элементу x X поставлен в соответствие один элемент y Y , то говорят, что определена функциональная зависимость или однозначная функция y от x по закону y f x . При этом x

называют независимой переменной (аргументом), y – зависимой переменной, множество X - областью определения

функции, множество Y – областью значения функции.

Если же каждому элементу x X поставлены в соответствие несколько элементов y Y , определена многозначная функция y от x . В дальнейшем, если нет

специальных оговорок, будет рассматриваться множество однозначных функций.

1.3. Способы задания функций

Существует три основных способа задания функций:

табличный, аналитический и графический.

Табличный способ. Этот способ широко используется при экспериментальных измерениях различных величин в науке и технике. В таблицах одну из переменных принимают за независимую переменную или аргумент (например, время), тогда другие величины будут функциями от этого аргумента. Табличный способ задания функциональной зависимости

5

широко используется в различных базах данных, позволяет производить интерполяцию при вычислении не содержащихся в таблице значений функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента.

Аналитический способ. Этот способ состоит в формульном задании связи между аргументом и функцией. При аналитическом способе задания областью определения функции называется множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Ограничения, формирующие область определения несложных функции, связаны с выполнением указанных в формуле математических операций, и, как правило, сводятся либо к требованию неотрицательности подкоренного выражения для корней четной степени, либо к требованию неравенства нулю знаменателя, либо к условию положительности выражения под знаком логарифма.

Например, областью определения функции y 4 x2 служит отрезок 2,2 , областью значений функции - отрезок

Область определения функции часто задается вместе с

Существуют функции определенные на множестве натуральных чисел. Такие функции называются числовыми последовательностями. Числовые последовательности задаются формулой общего члена последовательности, записанного в фигурных скобках. Например, гармоническая

последовательность 1, 12 , 13 , 14 , 15 ,... обозначается так: 1n .

6

Графический способ. При графическом способе задания функции связь между аргументом и функцией задается посредством графика. Графиком называется множество точек координатной плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами – соответствующие значения функции.

Элементарные функции, не являющиеся простейшими, могут быть получены при помощи конечного числа алгебраических (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем, извлечение корня) и трансцендентных (возведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, вычисление значений

элементарные функции, полученные с помощью конечного числа алгебраических операций. Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные функции.

К рациональным функциям относятся целая и дробная рациональные функции.

Функция вида

P x a0 xn a1xn 1 a2 xn 2 an 1x an ,

где n -натуральное число или ноль, a0 , a1 , a2 , , an - любые действительные числа (коэффициенты), называется целой

7

рациональной функцией, или алгебраическим многочленом степени n. Многочлен первой степени называется линейной функцией . Отношение двух целых рациональных функций

называется дробно – рациональной функцией. Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной, называется

функции) называется такая зависимость у от х, что у является

качестве промежуточной функции выступает u ln x . Существуют сложные функции, содержащие несколько

(убывающей) в некоторой области, если для любой пары чисел

8

3.Что называется функцией? Приведите примеры функции, областью определения которой является отрезок на числовой оси, полу бесконечный интервал.

4.Что является областью определения числовой последовательности?

5.Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

6.Приведите примеры алгебраической рациональной функции и алгебраической иррациональной функции.

7.Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложной функции, содержащей две промежуточные функции.

10