3323

3. Если дробь является иррациональной, т.е. в числителе

множителей бесконечно малые величины, не содержащие радикалов, посредством умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Пример 2.12.

Пример 2.13.

представления бесконечно малых величин в удобном виде, не содержащем иррациональности, необходимо умножить и разделить на сопряженное выражение.

Пример 2.14.

21

Раскрытие другого варианта неопределенности вида требует приведения к общему знаменателю. В результате преобразований получим уже рассмотренный

бесконечно малыми величинами одного порядка малости при

Пример 2.16. Показать, что бесконечно малые величины x и ln 1 xпри x 0 являются эквивалентными.

Решение: Рассмотрим

22

Решение: Рассмотрим

Бесконечно малая величина x является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой величиной x , если

При вычислении пределов бесконечно малые величины могут заменяться эквивалентными.

2.8. Непрерывность функции в точке

Рис. 4.

23

Функции y f x , определенная в точке x0 и ее окрестности, называется непрерывной в точке x0 , если

бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

lim y 0.

x 0

Можно дать второе определение непрерывности функции, следующее из первого. Для этого рассмотрим детальнее предыдущее определение.

Тогда функция y f x , определенная в точке x0 и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в точке x0 , если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции точке x0 . Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции достаточно в выражение функции f x подставить вместо аргумента x его значение x0 .

Пример 2.18. Исследовать на непрерывность функцию y sin x .

Решение. Функция определена при всех действительных значениях аргумента х. Возьмем для

24

величины есть бесконечно малая величина. Согласно

непрерывность и других элементарных функций на области их определения.

Третье определение непрерывности функции в точке связано с понятием одностороннего предела. Предел функции

окрестности, называется непрерывной в точке a , если предел

непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,b) и непрерывна на концах интервала соответственно справа и

25

слева, то говорят, что функция непрерывна на замкнутом интервале или отрезке [a,b].

2.9. Точки разрыва функции и их классификация

Если в точке a не выполняется хотя бы одно из условий третьего определения непрерывности функции y f x , то

точка a является точкой разрыва. Существует три типа точек разрыва: точка устранимого разрыва, точка разрыва первого рода или скачок, точка разрыва второго рода.

Точка устранимого разрыва образуется, если функция y f x определена в окрестности точки a , но не в самой

точке, а пределы функции слева и справа должны быть одинаковы, т.е.

26

окрестности следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.

Теорема 2. Произведение двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности, есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.

Теорема 3. Частное от деления двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности, если знаменатель в точке a не равен нулю.

28

a a , то сложная функция y f x, составленная из

непрерывных функций, непрерывна в точке a .

2.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции на отрезке. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

y

отрезке a;b , принимает наибольшее значение M в точке x1 , а

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема о нуле непрерывной на отрезке функции.

Если функция y f x непрерывна на отрезке a;b , и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что если график непрерывной функции переходит с одной стороны

29

оси Ox на другую, то он обязательно пересекает ось Ox (рис.

9).

В случае нарушения условия о непрерывности функции на отрезке вышеуказанная теорема может не выполняться(рис.

10).

принимает и все промежуточные значения между A и B . Геометрическая интерпретация теоремы Больцано-Коши

Рис. 11.

30