3323

удовлетворяющих

неравенству

x

a

имеет

место

неравенство

f

x

A

.

Если

A

есть

предел

функции

y

f

x при x

a , то пишут

lim f

x

A .

x

a

Определение

предела

функции

y

f

x

графически

иллюстрируется следующим образом (рис. 1).

y

А+

А

2

А-

0

а-

а

а+

x

Рис. 1.

Для сколь угодно малой

-окрестности около ординаты

A найдется такая

окрестность точки a , что для всех точек

x

из

окрестности точки a

точки графика функции y f x

будут лежать внутри полосы шириной

2

,

ограниченной

прямыми y

A

ε,

y

A ε .

Число

A называется пределом функции

y

f x

при x ,

x

N будет выполняться

неравенство

f x

A

, что

записывается следующим образом

lim

f

x

A .

x

Определение

предела

функции

y

f x

при

x

графически иллюстрируется следующим образом (рис. 2).

y

А A+

A-

О

N

x

Рис. 2.

Для сколь угодно малой

-окрестности около ординаты

A

найдется такое

значение

N ,

что

для

всех

x N график

2.2.Бесконечно малые и их основные свойства

Функция

y

(x)

называется

бесконечно малой

величиной при

x

a , если

lim (x) 0 ,

т.е. для любого сколь

x a

удовлетворяющих

неравенству

x a

,

имеет место

неравенство

x

.

Пример 2.1. Функция

1

будет бесконечно малой при

x

x

, так как lim

1

0 .

Действительно, из определения

x

x

1

0

. Имеем

1

,

| x |

1

, тогда N

1

,

| x |

N

1

.

x

x

Теорема

1.

Если

lim

f x A ,

то

( f

x

A )

есть

x a

бесконечно малая величина, и наоборот,

если

f x

A

x ,

где

x - бесконечно малая величина, то lim f

x

A .

x

a

Теорема 2. Сумма конечного числа бесконечно малых

величин есть величина бесконечно малая.

Теорема 3. Произведение любого числа бесконечно

малых величин есть бесконечно малая величина.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой величины и

ограниченной функции есть бесконечно малая величина.

Следствие 2. Произведение бесконечно малой величины

на константу есть бесконечно малая величина.

Функция

y

f

x

называется

бесконечно

большой

величиной при

x

a , если для любого сколь угодно большого

числа M найдется такое

0, зависящее от

M , что для всех

x

из

- окрестности будет выполняться условие

f x

M ,

что записывается следующим образом

lim

f x

.

x a

Теорема

4.

Если

x

является

бесконечно

малой

величиной, то

1

есть бесконечно большая величина.

x

2.3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим пределы функций при

x a , полагая,

что

результаты не изменятся и при x

.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы функций u x

и v x

равен алгебраической сумме пределов этих функций.

lim u x

v x

lim u x

lim v x .

x

a

x a

x

a

Пример 2.2.

lim

5x2

6x

lim

5

6

lim 5

lim

6

5 .

x2

x

x

x

x

x

x

Теорема

2.

Предел

произведения

функций u x

и

lim u x

v x

lim u x

lim v x .

x

a

x a

x

a

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за

знак предела:

lim

cv x

c lim v x .

x a

x

a

Теорема 3. Предел частного от деления двух функций

u x

и v x равен частному от деления пределов этих функций

u x

lim u x

lim

x a

.

v x

lim v x

x a

x a

Теорема 4.

Если

lim

f

x

A ,

а функция y принимает

x a

неотрицательные значения

y

0 ,

то

A есть неотрицательное

число A 0 .

Теорема 5. Если между соответствующими значениями

двух

функций u

u(x) и

v=v(x)

выполняется неравенство

u(x)

v(x) и lim u(x)

u0 ,

lim v(x)

v0 ,

то имеет место

x a

x

a

неравенство u0

v0 .

Теорема

6.

Если

lim

u(x)

u0 ,

lim v(x)

u0

и

x

a

x

a

u(x) z x

v(x) , то

lim z(x)

u0 .

x a

Теорема 7. Если функция

y

f

x

при

x

a

является

неубывающей и ограничена сверху числом M , т.е.

f

x

M ,

то функция y

f x

имеет предел при x

a .

Пример 2.3. Вычислить предел lim

7x2

2x

.

3x 4

x

1

1

7x

2

2x

lim 7x2

2x

7 lim

x2

2 lim

x

9

lim

x 1

x 1

x 1

.

3x4

1

lim 3x4

1

3lim x

4 lim 1

2

x 1

x 1

x 1

x

1

вида

0

,

, 0

,

, 1

называются

0

неопределенностями.

2.4. Предел функции

sin x

при x

0

x

(первый замечательный предел)

Функция

y

sin x

не

определена при

x

0 . Найдем

x

предел этой

функции

при

x

0 . Рассмотрим

окружность

lim

sin x

1.

x

x

0

Пример 2.4.

lim

sin 3x

lim

sin 3x

3

5x

3

.

x 0 sin 5x

x 0

3x 5

sin 5x

5

Пример 2.5.

sin

2 3x

lim

1 cos3x

lim

2sin2 3x 2

2 lim

2

4x2

9 4 x2

9

.

sin2 2x

9 4 x2

sin2 2x

4x2

x 0 sin2 2x

x 0

x 0

8

2.5. Число e. Второй замечательный предел

1

x

Рассмотрим

переменную

величину

1

. Можно

x

1

x

lim 1

e ,

x

x

где e - иррациональное число (e

2,71828 ...) .

Если в равенстве положить 1/x = , то при x

имеем

0 и получаем

lim 1

1/

=е.

0

1

x

1

x

lim 1

e

,

lim

1

e ,

x

x

x

x 0

где x является бесконечно большой величиной,

а

x -

бесконечно малой величиной при x

a , или при x

.