3323

нулю при x 0 , но в начале координат функция y x3 не

имеет экстремума.

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция y x в

точке x 0 производной не имеет, но точка x 0 является точкой минимума. Можно утверждать, что непрерывная функция имеет экстремум или в точках, где производная функции равна нулю, или не существует. Подобные точки называются критическими точками первого рода.

Теорема. (Достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y f x дифференцируема в некоторой

-окрестности критической точки x0 и при переходе через нее слева направо производная f x меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума; если же изменение знака

разбивают всю область определения функции на три интервала

,0, 0,8 , 8, . Определим знаки производной на каждом из трех интервалов.

Рис. 16.

71

В некоторых задачах удобнее использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

максимум, а при f x0 > 0 функция имеет минимум.

5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Рассмотрим функцию y f x , непрерывную на отрезке a,b . По известной теореме такая функция достигает своих

наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо в точках экстремумов, либо на граничных точках отрезка a,b .

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на a,b :

1)найти критические точки первого рода функции на интервале a,b ;

2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3)вычислить значения функции на концах отрезка в

точках x a и x b ;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

72

Если функция y f x на отрезке a,b не имеет

критических точек, то в этом случае функция является монотонной, и свое наибольшее и наименьшее значения

точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Пример 5.3. Найти наибольшее и наименьшее значение

5.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции y f x называется выпуклым на интервале a,b , если любая касательная на этом интервале будет располагаться выше графика функции. График функции y f x называется вогнутым на интервале a,b ,

если любая касательная на этом интервале будет располагаться ниже графика функции.

Точки графика непрерывной функции y f x ,

отделяющие участки вогнутости и выпуклости графика,

называется точками перегиба.

73

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью

выпуклым. Если же вторая производная положительная в

а при переходе через точку x0 вторая производная меняет знак, то точка графика с абсциссой x0 является точкой перегиба.

Точки, где функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими

следовательно, на этих промежутках график является

5.5. Асимптоты графика функции и их построение

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при

74

неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.

Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго

асимптоты графика функции, возникающего на границе

выколотой из области определения, то рассмотрим

точку M x, y , расположенную на кривой, имеющей наклонную асимптоту.

75

асимптоты. В частном случае, когда k 0 получаем горизонтальную асимптоту. Существуют функции, графики

Найденные пределы говорят о наличии вертикальной асимптоты x 2 .

77

Для нахождения наклонной асимптоты вычислим пределы, соответствующие параметрам k и b :

1.Нахождение области определения функции.

2.Исследование простейших свойств:

а) нахождение точек пересечения с осями координат,

б) определение наличия свойств четности или нечетности,

в) определение наличия периодичности.

3.Нахождение асимптот: а) вертикальных, б) наклонных.

4.Нахождение первой производной.

5.Нахождение критических точек первого рода.

6.Вычисление второй производной.

7.Нахождение критических точек второго рода.

8.Разбиение области определения функции на интервалы критическими точками первого и второго рода, а также точками, соответствующими вертикальным асимптотам.

9.Исследование поведения функции на полученных промежутках:

а) возрастание, убывание функции, б) вогнутость, выпуклость графика.

78

10 Исследование поведения функции в критических точках первого и второго рода.

а) экстремумы, б) точки перегиба.

11. Построение графика функции по результатам исследования.

Следовательно, график ее симметричен относительно оси

Oy .

в) Функция непериодическая. 3. Асимптоты.

а) Вертикальные асимптоты появляются при x 1 и x 1 :

79

б) Для нахождения наклонных асимптот находятся

7.Критические точки второго рода отсутствуют.

8.Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками, соответствующими вертикальным асимптотам и исследуем знаки первой и второй производной и находим знаки первой и второй производной в каждом промежутке:

Рис. 18.

80