3323

производная от производной n

1 - го порядка, т.е.

y n

y n 1 .

Решение.

y

ln x

1

, y

1

1

, y 3

2

,

x

x 2

x3

x

y 4

2

6

,

y 5

6

24

.

x3

x 4

x4

x5

3.13. Формула Лейбница

Предположим,

что

функции

u x и

v x

имеют

u v

u v u v ,

u v

u v 2u v u v ,

u v 3

u v 3u v 3u v u v , …

Для производной

n -го порядка придем к общей

формуле, называемой формулой Лейбница:

n

n n

1

u v n

Cni u n i v i

u n

v

n u n 1 v

u n

2

v ...

1 2

i

0

n n 1 ... n

i 1

u n

i

v i

...

u

v n .

1

2...i

Здесь

Cni

n!

,

n!

1 2

3... n

2

n

1

n ,

i! n

i !

аргумента

n и

вычисляется

как

произведение

всех

натуральных чисел от 1 до n включительно.

Пример 3.9. Найти производную 5-го порядка функции

y x3e2x .

Решение. Найдем производные v

x3 , v

3x2 , v

6x,

v

6, v 4

v 5

0, u e2x , u 2e2x , u

4e2x , u

8e2x ,

u 4

16e2x , u 5

32e2x .

В результате имеем

5 4 8e2x 6x

5 4 3 4e2x 6 .

x3e2x

5

32e2x x3

5 16e2x 3x2

1 2

1 2

3

выражение для второй

производной

ранее найденное

выражение для y , получим зависимость y

от x и y .

Пример 3.10. Найти

y , если xy2

y

1 .

Решение. Продифференцируем левую и правую части

уравнения неявно заданной функции по x :

y 2

x 2y y

y

0 .

y 2

Отсюда y

x 2 y 1 . Продифференцируем еще раз по x :

y

2y y (x 2y 1) ( y2 ) (2y x 2y )

.

x

2y

1 2

Подставляем выражение для y

и получаем:

2 y

( y 2 )

(x 2 y 1) ( y 2 ) (2 y 2x

(

y 2 )

)

y

(x 2 y 1)

(x 2 y 1)

=

x

2 y

1 2

2 y 3 3xy

2

.

2xy 1 3

3.15. Производные высших порядков от функций,

заданных параметрическим образом

Пусть

функция

y f

x

задана параметрическими

уравнениями: x

x t ,

y

y t .

Первая производная y x находится по формуле

y x

yt

.

xt

Рассмотрим новую параметрически заданную функцию:

x

x t ,

yx

t .

Тогда

yt

t

ytt

xt

yt

xtt

2

yx x ytt

t

xt

xt

y

tt

x

t

y

t

x

tt

.

xt

xt

xt

xt

3

x

cos2

t,

y

sin2

t.

Решение.

yxx

sin2 t tt

cos2 t

t

sin2 t t cos2 t

tt

3

sin2 t

t

2 sin t

cost t

2 cost

sin t

2 sin t

cost

2 cost

sin t

t

2 sin t

cost

3

2 cos2 t

sin2 t

2 cost

sin t

2 sin t

cost

2 sin2 t

cos2 t

2 sin t

cost

3

4 sin t

cost

cos2 t sin 2 t

sin2 t

cos2 t

0 .

8 sin3 t

cos3 t

3.16. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y

f x

дифференцируема, а аргумент x

d dy d 2 y

d y dx

y dx

dx

y dx

dx y

dx 2

y dx2 .

Дифференциал n -го порядка определяется как

дифференциал от дифференциала

n 1 -го порядка:

d n y

d d n 1 y .

Данные

формулы

справедливы,

если

x

является

независимой переменной. В том случае,

когда переменная x

формулы. Воспользуемся формулой d u

v

v

du

u dv и

получим:

d 2 y d y dx d y dx y d dx y dx2

y d 2 x .

Можно заметить, что слагаемое

y

d 2 x

появляется

только в случае наличия сложной функции,

когда x

является

функцией другой переменной. Если же

x -

независимая

переменная, то

Пример 3.12. Найти

d 2 y ,

если

y

x3 ,

а x

является

независимой переменной величиной.

Решение.

y

3x2 , y

6x , d 2 y

6x

dx2 .

Пример 3.13. Найти

d 2 y , если y

x3 , а x

t 2

1 .

Решение. Так как y

3x2 ,

y

6x ,

dx

2t

dt ,

d 2 x

2d 2t , то

d 2 y 6x dx2

3x2 2d 2t 6 t 2

1 2t dt 2

3 t 2

1 2 2d 2t

6 t 2

1 4t 2

t 2

1 d 2t

6 t 2

1 5t 2

1 d 2t .

1.

у= ln 2 (x3

sin x)

(Ответ: y

2 ln( x3

sin x)

3x 2

cos x

).

(x3

sin x)

2.

y

5sin2 (

x2

1) (Ответ:

y

10x sin(

x2

1) cos(

x2

1)

).

x2

1

3.

y

sin

x

sin 2x

(Ответ: y

2sin

x

cos 2x

1

cos

x

sin 2x ).

2

2

2

2

cos x

4.

y

arcsin

sin x (Ответ: y

).

2

sin x

sin 2 x

5.

y

xln x

(Ответ: y

2xln x

1 ln x ).

6.

y

ln x x

(Ответ:

y

ln x

x

1

ln ln x

).

ln x

Найти производные функций, заданных параметрически:

7.

x

1 t 2 ,

y

t

t 3

(Ответ:

y

3t 2

1

).

2t

8.

x

ln(1

t

2 ) ,

y

t

arctgt (Ответ: y

t

).

2

9. y2

2xy

a2

0 (Ответ:

dy

y

).

dx

y

x

10.

y

cos 2x

y

(Ответ:

dy

-

sin 2x

y

).

dx

1

sin 2x

y

11.

cos xy

x

(Ответ:

dy

-

1

y sin

xy

).

dx

x sin

xy

Найти тангенс угла наклона касательной к кривой

12.

x = t - sin t,

y = 1 - cost

при t

(Ответ: tg 1 ).

2

Вычислить производные различных порядков:

(2)

c2

13.

y

c

2

x

2

. Найти y

2

(Ответ: y

=

).

3

c2

x2

2

14.

y

x2

a2 arctg

x

.Найти y 3

(Ответ:

y 3

4a3

).

2

a

a

2

x

2

cos

2(x

n

)

(n )

(n )

2

15.

y

sin

2

x . Найти y

(Ответ:

y

= -

2

n

).

2

16.

y3

x3

3xy

0 . Найти

d 2 y

(Ответ:

y 2

2xy

).

dx2

y

2

x

3

17.

x

a cost ,

y

a sin t . Найти

d 3 y

dx3

(Ответ:

d 3 y

=-

3cos t

).

dx3

a

2 sin 5 t

18.

Написать уравнение касательной и нормали к кривой

x2

y 2

1 в точке M 1,1 (Ответ: уравнение касательной

y = -

a2

b2