Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3323

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

y 0	y 0	y 0		y 0
1		0	1	x
1		0	1

Рис. 19.

9. Полученные результаты используются при построении графика функции.

		y
			y f x
		1	y 1
			y 1
		0
	1	1	x
x	1	x	1
		x	1

Рис. 20.

Пример 5.9. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график

y	x3
		.
	2 x 1 2

Решение. 1. Найдем область определения функции. Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель

дроби должен быть отличен от нуля, х+1= 0; х = -1. Таким образом,

D (y) =(- , 1) ( 1, ) .

2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О(0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность

y( x) ( x)3 / 2(	x	1)2	x3 / 2(1	x)2 .
Очевидно, что у(-х)	у	(х) и у(-х)		-у(х), поэтому
функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = -1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет

асимптотой

вычислим

пределы

справа

слева при

1 0, x

0 от функции f(x):

lim

= - ;

lim

= - .

1)2

1 0 2(x

Поскольку

среди

найденных

пределов

получились

бесконечности,

х= -1

действительно

будет

вертикальной

асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых

линий с уравнениями у = kх+b при x

k = lim

f (x)

lim

x 2

1/2;

x 2(x 1)

lim( f (x)

kx)

lim

2x 2 x

2(x

1)2

2(x

1)2

Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 -1 является

асимптотой при x

. Те же самые значения пределов для k и

b получим и при x

, поэтому найденная прямая является

асимптотой и при x

5. Найдем интервалы возрастания,

убывания функции,

точки экстремума. Для этого найдем производную функции y.

y =	3x 2	(x 1)2		x3 2(x 1) x 2 (x 3)			.
			2(x	1)6	2(x	1)3

Критическими			точками являются		х	= 0,	х =	-3,	при
которых y = 0 и		,	х =	-1, где производная функции не
существует. При		y >0		функция возрастает,			при	y	<0

убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

	(3x2	6x)(x 1)3	(x3 3x 2 )3(x 1)2	3x
y					.
y		2 x	1 6	(x 1)4	.

Точкой, где y может менять знак, является точка х = 0, следовательно, х = 0 является точкой перегиба. Если y < 0, функция выпукла, при y > 0 - вогнута.

7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы .

8. Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 21).

Таблица 2.

x		(- ,-3)	-3	(-3,-	-1	(-	0	(0,∞)
				1)		1,0)
f	(x)	+	0		Не сущ.	+	0	+

f	(x)				Не сущ.		0	+

f(x)		Возр.,	Max	убыв.	Не сущ.	возр.,	Точка	Возр.
		вып.	y=	,		вып.	перег.	,
			-27/4	вып.				вогн.

-3	-1	0

Рис. 21.

Пример 5.10.

Исследовать

функцию

x 2

построить ее график.

Решение. 1. Функция не определена в точках, где

знаменатель обращается в нуль, т.е. при x1

3 , x2

3 .

Следовательно,

D( f ) ( ,

(

3, ) .

2. Определим точки пересечения графика с

координатными осями. Единственной такой

точкой

будет

O(0,0).

3. Исследуем

функцию

на

четность,

нечетность,

периодичность. Имеем f (x)

( x)3

f (x) ,

(

x)2

следовательно, f(x)- нечетная.

При исследовании функции можно ограничиться значениями х 0, а затем продолжить функцию, пользуясь

свойством нечетности (график симметричен относительно начала координат).

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

lim

3 0 x 2

3 0 x2

Следовательно, x

3 - вертикальная асимптота.

б) Наклонные асимптоты

lim

f (x)

lim

x 2

lim( f (x)

lim(

0 .

Таким образом, прямая y = x – наклонная асимптота.

5. Определим точки возможного экстремума. Для этого найдем производную.

f (x)	x3	3x 2 (x 2	3) x3 2x x 2 (x 2			9)	0.

	x 2 3	(x 2	3)2		(x 2	3)2

Критическая точка первого рода: x1				0 .

Точки x4,5 3 не могут быть точками экстремума, так как

они не входят в область определения функции.

6. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую производную.

f (x)	x3	x 2 (x 2	9)	6x(x 2	9)	0.
	x 2 3	(x 2	3)2	(x 2	3)3

Существует одна критическая точка второго рода: x1 0 .

Найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости, и точки перегиба. Результаты исследования оформим в виде таблицы, в которой отражены изменения знака первой и второй производных.

Таблица 3.

(3,∞)

(

3,0)

(0, 3)

( 3,3)

(x)

Не

сущ.

(x)

Не

сущ.

f(x)

Убыв.,

Т. П.

Убыв.,

Не

Убыв.,

Min

Возр.

вогн.

f=0

вып.

сущ.

вогн.

f =4,5

вогн.

-3				x
-	3	0	3	3
	3		3

Рис. 22.

Пример 5.11. Исследовать функцию y 32x2 x3 и

построить график. Решение.

1. Функция всюду определена: x R .

2.Не обладает свойством четности и нечетности.

3.Точки пересечения с осями

x 2 (2 x) 0; x 0, x 2; (0,0), (2,0) .

4. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные:

lim

3 2x 2

lim 3

2x 2

lim 3 2x 2

lim

x 6

Функция имеет наклонную асимптоту у= х+2/3.

5. Ищем критические точки первого рода.

3x 2

0, x2

2, x3

4 / 3 .

3 x 4 (2 x)2

3 3 x(2 x)2

6. Ищем критические точки второго рода.

						1						1
	33	x(2	x)2	(4	3x)	1						1					[(2	x)2	x2(2	x)]
						3 3
										x	2	(2		x)		4
	1										2					4
y	1																				=

	3
					3		x	2	(2				x)	4
					3			2						4


	93 x3(2	x)6	(4	3x)(2	x)[2		x			2x]					9x(2 x)			(4	3x)(2	3x)

			93 x4 (2 x)8														93 x4 (2 x)5

18x 9x2

8 12x 6x 9x2

, x1

0, x2

x4 (2 x)5

93 x4 (2 x)5

Таблица 4.

(

; 0 )

(0;4/3

4/3

(4/3;2

(2; )

)

н.

н.с

с.

y	н.
	с.
y		max				т.п
				3		.
			2	3	4	.
		y	2		4	у=

				3
				3		0
						0

7. На основании вышеизложенного строим график. y

	4/3	2	x
0

Рис. 23.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке.

2. Дайте определение точки максимума функции.

3.Какие точки являются критическими точками первого

рода?

4.Приведите пример стационарной точки, не являющейся точкой экстремума.

5.Может ли функция испытывать минимум в точке, не являющейся стационарной?

6.В чем различие между минимумом и наименьшем значением функции?

7.Какой график функции называется выпуклым?

8.Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости графика функции?

9.Что называется критическими точками второго рода?

10.Как определяется асимптота графика функции? Когда появляются вертикальные и наклонные асимптоты?

11.Изложите общую схему исследования функции и построения ее графика.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции

y	x2	2x (Ответ:	функция	возрастает при	x (0, ),
функция убывает при x			(- ,-2)).
	Найти экстремумы функций:
	2. y	x3 - 9x2 +15x (Ответ:		ymax 7 при x = 1,	ymin = -25
при x = 5.)

cos x sin x

при x

(0, π ) (Ответ:

ymax

2 при

x =

1 ln x 1

(Ответ:

ymin = -

при

x =

-1).

Показать, что график функции

xarctgx не имеет

экстремумов.

Найти асимптоту графика функции y

x 2

2x 2

(Ответ:

0 ).

Найти асимптоты графика функции

e x 1 -1 (Ответ:

0 ,

0 ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.18 Mб03312.pdf
#
15.11.20224.19 Mб23313.pdf
#
15.11.20224.19 Mб33315.pdf
#
15.11.20224.19 Mб13316.pdf
#
15.11.20224.22 Mб13321.pdf
#
15.11.20224.24 Mб23323.pdf
#
15.11.20224.25 Mб03324.pdf
#
15.11.20224.27 Mб03326.pdf
#
15.11.20224.27 Mб43327.pdf
#
15.11.20224.28 Mб73329.pdf
#
15.11.20224.3 Mб03332.pdf