3323

Вопросы для самопроверки

1.

Сформулируйте определение предела

функции при

x a

и при x

. Дайте геометрическую

иллюстрацию

-2 sin 2x,

если

x

;

2

13. Пусть f x

Asin x B,

если

x

;

2

2

cos x,

если x

2

Подобрать числа

A и B так , чтобы функция

f

x была

непрерывной ; построить еѐ график (Ответ: A

1,

B

1).

Пусть

имеется

функция

y

f

x ,

определенная

и

непрерывная в точке

a

и ее окрестности. Тогда некоторому

приращению аргумента

x будет соответствовать приращение

функции

y

f a

x

f

a .

Функция

y

f

x

называется

дифференцируемой

в

точке

a ,

если

приращение

функции

y

имеет

вид

y A

x

x ,

где

A является

только функцией a

и не

зависит

от

x ,

а

x -бесконечно малая величина более

высокого порядка

малости

по

сравнению

с

приращением

аргумента

x , т.е. lim

x

0 .

x

x

a

Главная

линейная

по

x

часть

приращения функции

символом

dy

или

df

a .

Дифференциалом

независимой

переменной

величины

x является

ее

приращение

x ,

т.е.

условно полагается , что dx

x .

Рассмотрим предел отношения приращения функции

y

к

приращению

аргумента

x

при

x

a

для

дифференцируемой функции

lim

y

lim

A

x

x

lim A

x

A

lim

x

A .

x

x

x

x

x a

x a

x a

x a

Величина

A ,

определенная

как

предел

отношения

приращения

функции к

приращению

аргумента

при

x

a

( x

0 ), играет очень важную роль, называется производной

функции y

f

x по независимой переменной x при данном ее

значении

x

a

и обозначается y , f

a

,

dy

или

df a

. Тогда

dx

dx

дифференциал

dy

записывается

следующим

образом:

точки M и M1 (рис. 12).

y

dy

M1

L

M

y

x

x

x

x

x

Рис. 12.

Прямую

MM1 , проходящую через эти точки,

называют

секущей. Пусть точка M1

двигаясь

вдоль кривой L ,

неограниченно

приближается

к точке M . Тогда

секущая,

поворачиваясь

около точки

M ,

стремиться к

некоторому

предельному положению .

Касательной к данной кривой в данной точке М

называется предельное положение секущей MM1 ,

проходящей

через точку М, когда вторая точка пересечения

M1

неограниченно приближается по кривой к

точке

M .

Касательная к графику функции образует угол

с осью Ох.

Секущая

MM1 образует с

осью

Ox

угол

.

Угловой

коэффициент секущей kсек = tg

=

y

. При приближении точки

x

M1 к точке

M

секущая,

поворачиваясь около

точки

M ,

переходит в касательную. Угол наклона касательной

стремится

к углу

наклона

касательной

, т.е.

lim

.

x a

kкас

tg

limtg

lim

y

y .

x

x a

x a

Из рисунка

12

становится

понятным

геометрический

ординаты касательной при переходе от точки a к точке a

x .

Для выяснения физического смысла производной

рассмотрим

движение материальной точки

по

оси

Oy .

Координата

материальной

точки

y

является

точки за промежуток времени

t

Vср

y t0

t

y t

y

.

t

t

Если устремить t к

нулю

и

рассмотреть lim Vср ,

t 0

можно заметить, что lim V

= lim

y

=

dy

, т.е. предел

ср

t 0

t 0

t dt

f (x)

x,

0

x

1,

2x 1,

1

x

.

При x=1 функция непрерывна, так как

lim

f (x)

lim f (x) f (1) 1 , но не дифференцируема.

x 1 0

x

1 0

y

2x

1

y x

0

1

x

Рис. 13.

3.2. Правила дифференцирования

Теорема 1. Производная постоянной величины равна 0,

т.е. если y c , где c

const, то y

0 .

Теорема

2.

Производная

суммы

(разности)

u x

u x v x u x v x

.

v x

v2 x

1. Степенная функция y

xn , n

R .

Найдем приращение функции

y , придав аргументу x

приращение

x :

y

x

x n

x n . Поэтому в соответствии с

определением производной имеем:

x n

x

n

1

1

x n

y

x

x

n

x

n

x

lim

lim

lim

x

x

x

x

0

x

0

x

0

1

x

n

1

1

x

n

1

x n

x

nxn 1

x

lim

lim

.

x

x

x 0

x

x 0

n

x

x

Покажем, что бесконечно малые величины

1

x

n

1

и

n

x

являются эквивалентными. Пусть

x

x

x

, а

1

x

n

1

z , тогда

x

x

1

x

n

1

x

1

n

1

z

lim

lim

lim

.

x

x

0

n

0

n

0 n

x

Поскольку

1

n

1

z ,

то

z

1

1

n ,

а

ln 1

z

n ln 1

.

Так

как

бесконечно

малая

величина

ln 1

z

эквивалентна

величине

z ,

а

бесконечно

малая

величина ln 1

эквивалентна величине

, то

lim

z

lim

ln 1

z

lim

n ln 1

1.

0 n

0 n ln 1

0 n ln 1

Таким образом, производная степенной функции равна

xn

nxn 1 .

2. Показательная функция y

a x , a

0, a

1.

Найдем приращение функции

y , придав аргументу x

приращение

x :

y

a x

x

a x . Поэтому

a x

lim

y

lim

a x

x

a x

a x lim

a x

1

.

x

x

x

x

0

x

0

x

0

В пределе перейдем к новой переменной

y

a x

1 ,

которая

тоже

является

бесконечно

малой

величиной.

1

Используя

второй

замечательный

предел

lim 1

y

e и

y

y

0

соотношение

x

log a 1

y , имеем:

a x

lim

a x

1

a x lim

y

a x lim

1

1

x

0

x

y

0 log

1

y

y

0

a

loga

1

y

y

a x lim

1

a x ln a .

y

0 log

a

e

a x = ax ln a . При a = e имеем: e x

e x .

3. Тригонометрические функции y

sin x,

y cos x ,

y

tgx, y

ctgx.

Для функции y

sin x имеем:

2 sin

x

cos x

x

sin x

lim

sin x

x

sin x

lim

2

2

x

x

x

0

x

0

sin

x

sin

x

x

2 lim

2

cos x

cos x

lim