Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3323

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

	e					dx
3.						dx								(Ответ:									).

	1 x 1						ln		2		x							2
	1 x 1						ln				x
1
1					1	x	dx																								3
4.					1	x					(Ответ:							1													3		).
4.					1	x					(Ответ:							1															).
0					1	x								6																	2
0
4					xdx
4																3 2
5.										(Ответ:						3 2						).
5.										(Ответ:												).
1					2	4x								2
1
6.						dx						(Ответ:														).

		3				2 cos x													5
0
7.			sin x cos2 xdx (Ответ:																						2				).
7.			sin x cos2 xdx (Ответ:																										).
0																		3
0

2
8.				sin3 xdx (Ответ: 2																				).
8.				sin3 xdx (Ответ: 2																				).
0																		2
0

		3
9.				arctgxdx (Ответ:																								ln 2 ).


0														3
0
		1															e2	5
10.					x 2 e x dx (Ответ:												e2	5												).
10.					x 2 e x dx (Ответ:																									).
		1																	e
		1
		2				dx
11.						dx								(Ответ:														).

		1			x2		4x					5									4
		1
		2
		2				x 2		1 dx
12.						x 2		1 dx						(Ответ:				3														).
12.		1					x							(Ответ:				3													3	).
							x																								3

		0						dx
13.								dx							(Ответ: ln 2 ).


		2				x 2			2x					9
		2				x 2			2x					9

		4				dx														2
14.						dx							(Ответ:							2							arctg 2 ).
14.						sin2							(Ответ:														arctg 2 ).
		0 1				sin2				x								2

161

15.	sin						6	x	dx					(Ответ:			5			).
15.	sin							2	dx					(Ответ:			16			).
0								2									16
0
2					sin			1
								1
16.								x		dx (Ответ: 1).
								x
	1					x 2
0	1					x 2
0
Вычислить несобственные интегралы
17.							dx							(Ответ:					).

				x 2				49										14
0
18.	e 3x dx (Ответ:														1	).
18.	e 3x dx (Ответ:															).
0														3
0
19.						dx						(Ответ: ln 2 ).

			x 2					x
1			x 2					x
1
20.	1						ln x				dx (Ответ: интеграл расходится).
20.											dx (Ответ: интеграл расходится).
1							x
1
1						xdx
21.						xdx								(Ответ: 1).


					1			x 2
0					1			x 2
1		ln xdx
22.											(Ответ: 1).
22.						x 2					(Ответ: 1).
0						x 2
0
23.						dx							(Ответ: интеграл расходится).



0 3						x3			1

162

9.ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

9.1.Схемы применения определѐнного интеграла

Практическое применение определенного интеграла связано с нахождением в геометрических или физических задачах аддитивных величин. Аддитивные величины связаны с

некоторым отрезком a, b		изменения независимой переменной
x таким образом, что при разбиении отрезка a, b			точкой c на
части a, c	и c,b	значение аддитивной	величины,
соответствующее отрезку		a, b , равно сумме значений этой
величины на отрезках a, c		и c,b . Существуют два подхода к

практическому применению определѐнного интеграла: метод интегральных сумм и метод дифференциала.

В методе интегральных сумм отрезок a, b разбивается на n частей. Искомая величина A разбивается на n частичных

слагаемых. Каждое частичное слагаемое	Ai	представляется в
виде произведения некоторой функции f	x	, вычисленной во
внутренней точке ci i той части отрезка	a, b , на длину этой

части xi . Приближенное значение величины A записывается в виде интегральной суммы:

		n
	A	f ci	xi .
		i 1
Точное значение		величины		A	равно пределу
интегральной суммы
		n		b
A	lim	f ci	xi	f	x dx.
	n	i 1		a
		i 1		a
	max xi	0

163

В методе дифференциала на отрезке a, b выбирается переменный отрезок a, x . На этом отрезке величина A становится функцией x . Находится главная часть приращения

A ,	соответствующая приращению длины отрезка на x :
dA	f x dx . Искомая величина A находится интегрированием

дифференциала dA в пределах от a до b :

A f x dx.

9.2. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах.

Если	f (x) 0	на	отрезке		a, b ,		то площадь
криволинейной трапеции вычисляют по формуле
			b
			S	f x dx.
			a
				b		b
Если	f (x) 0 на	a, b , то S			f (x)dx		f (x)	dx .
Если	f (x) 0 на	a, b , то S			f (x)dx		f (x)	dx .
				a		a
Если f(x) принимает на			a, b	значения разных знаков, то

S f (x) dx

Пример 9.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями:			y			x	,	y		0, x	1,		x	3 .

					x2	1
					x2	1
	Решение:
		S	3 xdx					1	ln x2		1	3	1	ln10	ln 2	1	ln 5.
			3 xdx					1					1			1

			1 x2
						1		2				1	2			2		y	1 x ,
						1		2				1	2			2
	Площадь					фигуры,				ограниченной					линиями
y	2	x ,		x		a ,			x	b ,		если		выполняется				условие
2	x >	1	x , может быть вычислена по формуле:
											164

	b
S	2 x	1 x dx.

Пример.9.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2 3x 4, y x 1. (рис. 32).

Решение:

y y x 1

					-1		0			5			х
													х
								y	x2	3x		4
								Рис.32.
		Для нахождения абсцисс концов отрезка интегрирования
приравняем y					x2		3x	4 и	y	x	1. В результате получаем
квадратное уравнение x2 4x										5	0 , решая которое находим
x1		1 и x2			5 . Тогда
	5							5						x3			5
S		x 1 x2			3x 4 dx				x2	4x 5 dx					2x2	5x	1
S		x 1 x2			3x 4 dx				x2	4x 5 dx			3		2x2	5x
	1							1					3
	1							1
	125		50	25		1	2	5	42		78		36 .

	3					3
	3					3

Рассмотрим случай, когда криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной уравнениями в параметрическом виде:

yx , t1 t t2 ,

прямыми	x a и x b и осью Ox , где
(t1 ) a, (t2 )	b .

165

Формулу для вычисления площади криволинейной

трапеции можно получить из формулы S ydx , выполнив

замену переменной x

x ,

(t)dt, y

(t) :

(t) (t)dt .

Пример 9.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

эллипсом

a cost , 0

2 .

b sin t

Решение:

Вычислим четверть площади эллипса,

когда

x меняется

от 0 до a , в то время как t

меняется от

до 0 (рис.33).

ydx

b sin t a cost dt

absin2 tdt

sin2 tdt

2	1 cos2t		ab		sin 2t
ab		dt		t
ab	2	dt	2	t	2
	2		2		2

y b

ab		0	ab	, S	ab.
2	2		4

t 0 a x

Рис.33.

166

9.3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат.

Полярная система координат образуются точкой O , называемой полюсом, полярной осью, представляющей собой луч, выходящий из полюса. Произвольная точка на плоскости характеризуется полярным радиусом , равным расстоянию

от полюса O до точки, а также полярным углом . Полярный угол отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки и меняется в пределах от 0 до 2 .

Для выяснения связи полярных и декартовых координат совместим с полюсом начало системы декартовых координат, а ось Ox - с полярной осью (рис.34). Рассмотрим точку M , имеющую декартовы координаты x, y и полярные

координаты , .

Из треугольника на рис. 34 следуют формулы перехода от полярных координат к декартовым координатам и наоборот:

	x	cos	,		x2		y 2 ,
	y	sin	,	tg	y	.
	y	sin	,	tg		.
					x
	y						M
	y
				r
			φ
	O					x	x
			Рис. 34.
Найдѐм площадь криволинейного сектора, ограниченного
линией	f ( )	и двумя		лучами:			и	,

167

выходящими

из

полюса.

Воспользуемся

методом

дифференциалов.

Выделим

произвольный

внутренний угол

, .

Рассмотрим площадь S

части указанного криволинейного

сектора, заключенную между углами

. Назначим углу

приращение

d .

Тогда

приращение

функции

равно площади «элементарного криволинейного сектора» OBA

(рис.35). Однако, дифференциал

как

главная

часть

приращения равен

площади

кругового

сектора

OCA , т.е.

2 d .

=f(

)

dψ

Рис. 35.

Интегрируя равенство dS

2 d

в пределах от

до

получим

искомую

формулу

для

площади

криволинейного сектора:

2 d

2 d .

Пример.9.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линией

cos2 .

168

Решение: Найдем пределы интегрирования из условия cos2 0. Тогда

			2k	2	2k	или		k	k .
			2		2	4			4
		Для фигуры, называемой лемнискатой Бернули (рис.36),
разрешенными				оказываются		отрезки		4 , 4	при k 0 и
3	,	5	при k	1 .
4		4
					3
					4		4	a	cos2
							4
					O				ρ
					O

Рис. 36

Поскольку фигура содержит четыре симметричных элемента, то вычислим площадь четвертой части фигуры:

	1 S	1	4	2 d	1	4	a2 cos2 d	a	2			4		a	2
	1 S	1		2 d	1		a2 cos2 d	a		sin 2				a	.


4		2 0			2 0			4			0		4
		2 0		a2 .	2 0						0
Отсюда S				a2 .

9.4. Вычисление длины дуги.

Пусть в прямоугольных координатах задана гладкая (не содержащая угловых точек) кривая AB , являющаяся графиком

169

функции y f x , имеющей на отрезке a, b непрерывную

производную.

Под длиной дуги AB подразумевается предел длины вписанной в эту дугу ломаной линии, число звеньев которой стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Используем метод интегральных сумм для нахождения формулы длины дуги. Разобьем отрезок a, b на n частей

точками xi i 0,1,..., n	. Пусть на			кривой		этим точкам
соответствуют точки M i	xi , f	xi	. Рассмотрим i			тый участок
разбиения (рис.37).
	y	f	x		M i
	y	f	x		M i
		L			yi
M i 1		i
M i 1

xi xi xi 1

Рис.37.

Длина хорды M i 1M i может быть найдена по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с длинами катетов

yi и xi :

Li xi 2 yi 2 .

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции

yi f	ci	xi	, где ci является некоторой внутренней точкой
отрезка	xi	1 , xi	. Тогда

L	x	2	f c x	2	1 f c	2 x .
i		i	i	i	i	i

Длина всей ломаной линии равна

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1917 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.18 Mб03312.pdf
#
15.11.20224.19 Mб23313.pdf
#
15.11.20224.19 Mб33315.pdf
#
15.11.20224.19 Mб13316.pdf
#
15.11.20224.22 Mб13321.pdf
#
15.11.20224.24 Mб23323.pdf
#
15.11.20224.25 Mб03324.pdf
#
15.11.20224.27 Mб03326.pdf
#
15.11.20224.27 Mб43327.pdf
#
15.11.20224.28 Mб73329.pdf
#
15.11.20224.3 Mб03332.pdf