3323

6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

6.1. Основные понятия

Среди действительных чисел не существует решений алгебраических уравнений с отрицательными значениями дискриминанта. Возникшая в математике потребность дополнить множество действительных чисел так, чтобы содержались все решения алгебраических уравнений, была

удовлетворена введением мнимой единицы ί 1 . Математический символ ί обозначает одно из решений

уравнения x2 1 0 и определяется соответствующими правилами действия над ним. Числа вида bί , где b является действительным числом, называются чисто мнимыми. Однако, наиболее общими числами, составленными с помощью мнимой

математический символ, который называется мнимой единицей: i2= 1.

Первая компонента a комплексного числа z a ί b

называется его действительной или вещественной частью и

обозначается a Re z . Вторая компонента b называется мнимой частью комплексного числа z a ί b и обозначается b Im z .

Комплексные числа имеют достаточно простой геометрический смысл. Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Тогда каждой паре чисел (a,b) будет соответствовать на плоскости Oxy точка с

абсциссой a и ординатой b , рассматриваемая как геометрический образ комплексного числа z a ί b . Можно сказать, что каждому комплексному числу z a ί b будет соответствовать определѐнная точка (a,b) плоскости Oxy и,

91

наоборот, каждой точке (a,b) плоскости Oxy будет отвечать

определѐнное комплексное число z a ί b . Между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости Oxy существует взаимно однозначное соответствие.

Плоскость Oxy называется плоскостью комплексных чисел z . Действительные числа изображаются при этом точками оси Ox , которая называется действительной или

вещественной осью.

Чисто мнимые числа z ί b изображаются точками на оси Oy , которая называется мнимой осью.

Комплексное число z a ί b можно отождествить и с радиус-вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой (a,b) .

6.2. Три формы записи комплексного числа

Запись комплексного числа в виде z x iy называется алгебраической формой представления комплексного числа z .

92

между положительным направлением действительной оси и

в виде, называемом тригонометрической формой записи

комплексного числа

cosrx , sinry , tgxy .

93

arctg xy , для I, IV четвертей, argz arctg xy , для II четверти, arctg xy , для III четверти.

Если точка z расположена на действительной или мнимой оси, то argz находится непосредственно. Например,

тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на 2кπ:

позволяет перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к показательной или экспоненциальной форме:

94

является действительным числом, равным квадрату модуля

переместительному, сочетательному и распределительному законам

Отсюда вытекает правило, что при перемножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются.

При перемножении комплексных чисел в показательной форме вышеуказанное правило сохраняется, т.е.

97

обратная операции умножения. Частным от деления двух комплексных чисел z1 и z2 0 называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z2 , дает число z1 , т.е.

Практически деление комплексных чисел в алгебраическом представлении производится посредством умножения числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное знаменателю:

тригонометрической форме, модули комплексных чисел делятся, а аргументы вычитаются. По определению:

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

98

В показательном представлении операции с модулями и аргументами комплексных чисел при делении совпадают с таковыми при делении в тригонометрическом виде:

Возведение комплексного числа в целую положительную степень является распространением правила умножения комплексных чисел на случай, когда все n множителей одинаковы. В алгебраическом представлении возведение комплексного числа в n -ую степень производится по алгебраическим правилам перемножения многочленов с учетом того, что

В тригонометрическом представлении модуль n -ой степени комплексного числа равен n - ой степени модуля исходного комплексного числа, а аргумент n -ой степени комплексного числа получается посредством умножения на n аргумента исходного комплексного числа. В итоге получается

формула Муавра:

Произведя по указанным правилам возведение в двенадцатую степень комплексного числа, имеем

99

Извлечение корня n - степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое

комплексное число w , что выполняется равенство wn z . Если комплексные числа z и w представлены в

то, по определению корня и формуле Муавра, получаем z wn n cosn i sin n r cos i sin .

Согласно определению два комплексных числа равны, если равны их модули, а аргументы равны или отличаются на

комплексного числа удовлетворяю n комплексных чисел, описываемых формулой

отличающиеся от одного из указанных значений на величину, кратную 2π и не дающие новых значений корня.

Таким образом, комплексное число z 0 имеет ровно n корней степени n, получаемых из вышеприведенной формулы. Следует отметить, что все значения корня лежат на

100