2629

Строго говоря, это уже другие переменные должны быть, например, у:

3.7. Решение транспортной задачи как задачи линейного программирования

Так называемая транспортная задача (задача Монжа – Кан-

торовича, Monge–Kantorovich transportation problem) тоже может быть сведена к линейному программированию. Рассмотрим видоизменённый пример [19, 20].

Пример. Пакеты электронной информации о функционировании территориально распределенной системы в пунктах хi

вколичествах ai необходимо переслать в центры обработки данных уi в количествах bj. Общее количество требуемых пакетов информации равно имеющимся в пунктах хi.

Оценки рисков пересылки из хi в уi для одного пакета равна dij.

Требуется передать все информационные пакеты с наименьшим суммарным риском.

Пусть задана матрица рисков dij передачи из пунктов хi в уi

вколичествах ai, bj (рис. 3.20).

Рис. 3.20. Матрица рисков dij передачи из пунктов хi в уi в количествах ai,bi

71

Эта таблица соответствует, например, схеме-графу вариантов передачи информации.

Но графическое решение этой задачи мы рассмотрим позднее. Решаем транспортную задачу как задачу линейного программирования. Это своего рода двухмерная задача – как бы по строкам и по столбцам.

Составляем систему линейных уравнений по заданной матрице – по строкам:

8x0,0 3x0,1 5x0,2 2x0,3 10 a 0 , 4x1,0 1x1,1 6x1,2 7x1,3 10 a1, 1x2,0 9x2,1 4x2,2 3x2,3 10 a2 .

и по столбцам:

8x0,0 4x1,0 1x2,0 5 b 0 , 3x0,1 1x1,1 9x2,1 10 b1, 5x0,2 6x1,2 4x2,2 20 b2 , 2x0,3 7x1,2 3x2,3 15 b3.

Используем СКМ «Маткад» (рис. 3.21).

Следовательно, в отличие ранее рассмотренной задачи здесь две системы уравнений. Для решения используется опера-

тор soln.

Следует обратить внимание на то, что у переменных индексы пишутся через запятую! Вместо простого равенства «=» в уравнениях области Given должны быть булевы операторы. Они выделяются жирным шрифтом:

72

Простейший метод решения задачи целочисленного программирования – сведение ее к задаче линейного программирования с проверкой результата на целочисленность. Рассмотрим пример задачи о раскрое (cut problem) [23].

Пример. Необходимо из 800 листов вырезать заготовки двух видов А, В для 1000 изделий. На одно изделие идёт 2 заготовки первого вида А и три второго В. Были предложены три способа раскроя (рис. 3.22–3.24).

Тогда:

5х1 + х2 + 3х3 – количество заготовок первого вида и 2х1 + 5х2 + 4х3 – количество заготовок второго вида.

74

По условию для выполнения заказа требуется 2000 заготовок первого вида и 3000 второго.

Поэтому

Решаем задачу о раскрое, как задачу линейного программирования, в СКМ «Маткад» (рис. 3.25).

Рис. 3.25. Решение задачи о раскрое в СКМ «Маткад»

Видим, что решение не целочисленное. Но подбором можно получить целочисленное решение (рис. 3.26).

Таким образом, для выполнения заказа необходимо доставить со склада 728 листов и 91 из них кроить по второму, а остальные – по третьему способу.

В некоторых версиях MathCAD имеется пакет расширения

SOEP (Solving and Optimization Extension Pack), в котором име-

75

ется возможность уточнить тип результата – в завершающих функциях блока Given последним параметром ставится строка, указывающая тип переменной в системе уравнений. Для целой – I, для бинарной – В, для континуальной – С.

Рис. 3.26. Целочисленное решение задачи о раскрое в СКМ «Маткад»

Булево линейное программирование (Boolean linear programming) – класс задач дискретного программирования, в которых все или некоторые искомые переменные являются булевыми величинами, а критерий и ограничения – линейные.

Нелинейное программирование мы рассмотрим на примере оптимизации в задаче обеспечения надёжности, рассматриваемой в курсовой работе [24].

4. ДИСКРЕТНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Дискретная оптимизация основана по большей части на комбинаторике. Комбинаторика или комбинаторный анализ – раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и др.) и отношения на них [25…28].

76

Комбинаторика связана со многими другими областями математики – алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 г. опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Считается, что Лейбниц создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работали как с непрерывными, так и с дискретными величинами. Он заложил основы математической логики, описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Комбинаторная оптимизация заключается в поиске оптимального объекта в конечном множестве объектов, чем очень похожа на дискретное программирование. Некоторые источники под дискретным программированием понимают целочисленное программирование, противопоставляя ему комбинаторную оптимизацию, имеющую дело с графами и другими структурами.

Однако оба термина очень близко связаны и в литературе часто переплетаются. Комбинаторная оптимизация часто сводится к определению эффективного распределения ресурсов, используемых для поиска оптимального решения.

77

Во многих задачах комбинаторной оптимизации полный перебор нереален. Комбинаторная оптимизация включает в себя задачи оптимизации, в которых множество допустимых решений дискретно или может быть сведено к дискретному множеству.

Задачи комбинаторной оптимизации можно решить с помощью методов дискретного программирования. Одним из основных методов решения задач дискретного программирования является метод ветвей и границ и его модификации.

Пример экстремальной задачи – нахождение максимального потока в частном классе графов – сетях (алгоритм Форда– Фалкерсона).

Задача нахождения кратчайшего пути в графе (алгоритм Дейкстры/Dijkstra’s algorithm) – алгоритм, изобретённый нидерландским ученым Э. Дейкстрой в 1959 г. [23]. Находит кратчайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса, широко применяется в программировании и технологиях, например, его используют протоколымаршрутизации OSPF иIS-IS.

Задача о назначениях – построение паросочетаний с минимальной суммой весов пар [23].

Экстремальная задача на множестве перестановок – задача коммивояжера [23].

Комбинаторная оптимизация – область теории оптимизации в прикладной математике, связанная с исследованием операций, теорией алгоритмов и теорией вычислительной сложности.

Вкомбинаторной оптимизации используются как математические подходы, так и методы искусственного интеллекта.

Полный перебор (или метод «грубой силы» от англ. brute force) – метод решения задачи путем перебора всех возможных вариантов [23]. Сложность полного перебора зависит от размерности пространства всех возможных решений задачи.

Вкриптографии на сложности полного перебора основывается оценка криптостойкости шифров. В частности, шифр считается криптостойким, если не существует метода «взлома» существенно более быстрого, чем полный перебор всех ключей.

78

«Жадный» алгоритм – алгоритм, заключающийся в принятии локально оптимальных решений на каждом этапе, допуская, что конечное решение также окажется оптимальным [23].

Среди алгоритмов комбинаторной оптимизации одним из наиболее популярных является метод ветвей и границ, позволяющий уменьшать пространство допустимых решений с помощью эффективной процедуры поиска.

4.1. Метод ветвей и границ

Метод ветвей и границ (branch and bound) – общий алго-

ритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является комбинаторным (алгоритм перебора) с отсевом подмножеств множества допустимых решений, не содержащих оптимальных решений. Метод был впервые предложен Ленд и Дойг в 1960 г. для решения задач целочисленного линейного программирования [29]. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).

Процедура ветвления состоит в разбиении области допустимых решений на подобласти меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска, или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти.

Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений.

В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея (для задачи минимизации): если нижняя граница для подобласти A дерева поиска больше, чем верхняя граница какой-либо ранее просмотренной подобласти B, то A может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно мини-

79

мальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную m; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения m, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.

Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.

4.2. Задача о рюкзаке или ранце

(Knapsack problem) [30, 31]

Термин «рюкзак» может толковаться как полезный груз, который туристы берут в поход, или груз, выводимый ракетой на орбиту, или как багажник автомобиля и пр.

Мы трактуем его так: имеется надёжное хранилище данных ограниченной ёмкости. Надо в него поместить наиболее ценную информацию.

Пусть допустимый вес «рюкзака» – допустимый объём ап- паратуры-приборов космического аппарата V = 15 (условных единиц).

Количество приборов n = 5. Объём приборов 3, 2, 4, 5, 6. Ценности приборов соответственно 6, 5, 6, 12, 10.

Задаём задачу как задачу линейного программирования

(рис. 4.1).

Следовательно, в отличие от ранее рассмотренных задач матрица имеет всего одну строку, но так как в Маткаде невозможно задать вектор v из одной строки и одного столбца, введена вторая нулевая строка.

Врасширенной версии необходимо указывать значения переменных – булево В: Minimize (f,x,"ВВВВВ").

Построим таблицу вариантов (их всего 32) (рис. 4.2).

Вэтой задаче можно относительно быстро подобрать оптимальный вариант № 30 без сложных процедур. Итак, ответ – (1,1,1,1,1,0) – все документы, кроме последнего.

80