2629

Отсюда

1v 0,05 0,1 0,05;

v 5.

Вторая стратегия (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Решение игры (рис. 5.6) – вторая стратегия

Вспоминая, что ко всем элементам матрицы игры прибавлено число 5, получаем цену игры:

ν5 0.

5.3.Статистические игры

Особым видом игр являются так называемые статистические игры [19, 20]. Это своего рода игры с природой, а может быть, и с Богом.... Она (Он) не стремится извлечь максимальную выгоду и обратить в свою пользу ошибки «противника» – человека, не имеет злого умысла…

101

«Природа» – это вся совокупность внешних обстоятельств, в условиях которых принимают решения. При этом рассмотренные выше игры могут быть названы стратегическими или антагонистическими.

Природа развивается по своим законам, которые мы часто знаем недостаточно. Но мы можем изучать её посредством эксперимента. Поэтому теория таких игр иногда называется теорией статистических решений, а человека «играющего» с природой – статистиком.

Пример. Задача о замене оборудования [19]

Установленное на предприятии сложное и дорогое оборудование после k эксплуатации может оказаться в одном из трёх состояний:

S1 – оборудование работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта;

S2 – некоторые детали серьёзно износились и требуют значительного ремонта или замены;

S3 – основные детали износились настолько, что дальнейшая эксплуатация невозможна.

Опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что в 20 % случаев оно может находиться в состоянии S1, в 50 % случаев – в состоянииS2, в 30 % случаев – всостоянииS3.

Дляпредприятиявозможныследующиетриспособадействий: А1 – оставить оборудование в работе ещё на год, проведя

незначительный ремонт своими силами; А2 – провести капитальный ремонт оборудования с вызо-

вом специальной бригады ремонтников; А2 – полностью заменить оборудование новым.

Матрица такой статистическойигрыпредставленана рис. 5.9.

Рис. 5.9. Априорные вероятности состояний природы и потери

102

Потери – это стоимость ремонта или замены оборудования, убытки, связанные с ухудшением продукции и простоями, вызванными неисправным оборудованием.

Для заданной смешанной стратегии P(S) средние потери L при различных способах действия составляют:

L(S, A1) 1 0,2 5 0,5 7 0,3 4,8;

L(S, A2) 3 0,2 2 0,5 6 0,3 3,4;

L(S, A3) 5 0,2 4 0,5 3 0,3 3,9.

Выбираем минимум средних потерь (байесовское действие) – режим А2. Да мы так, собственно, и думали, но чисто конкретно – интуитивно!

Статистические игры, по существу, граничат с теорией надёжности, рассматриваемой, например, в [34, 35, 38]. Теория надёжности и соответствующая оптимизация показателей надёжности имеют важное значение для обеспечения целостности информации, работоспособности аппаратуры и программ защиты информации, систем охраны, контроля доступа, пожаротушения и пр.

5.4. Равновесие Нэша

Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 г. Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое по-

ведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior) [37].

Джон фон Не́йман наиболее известен как человек, с именем которого (теперь считается, что это не совсем так) связывают архитектуру большинства современных компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применение теории операторов к квантовой механике (алгебра фон Неймана), а также как участник Манхэттенского проекта и создатель теории игр и концепции клеточных автоматов.

103

Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами – бакалавра и магистра – поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или

выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша внесли серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Он показывает, что классический подход к конкуренции А. Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

Итак, равновесие Нэша (англ. Nash equilibrium) – тип ре-

шений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий, выбранных участниками, и их выигрыши называются равновесием Нэша.

105

Концепция равновесия Нэша (РН) впервые была использована не Нэшем. Антуан Огюст Курно в XIX в. показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно.

Соответственно, некоторые авторы называют его

5.5. Пари Паскаля

106

Полученные значения можно сравнивать для разных событий и сопоставлять с затратами (ставками). На этих идеях и базируется теория игр, получившая развитие уже в XX в.

Пари Паскаля – аргумент для демонстрации рациональности религиозной веры, в какой то мере являющийся «игрой».

Текст аргументации является фрагментом размышлений, содержащихся в разделе VIII «Разумнее верить, чем не верить в то, чему учит христианская религия» посмертно изданной работы «Мысли религии и о других предметах» (фр. Pensées sur la religion et sur quelques autres sujets, в переводах на русский язык название часто сокращают до «Мысли»), написаннойв1657–1658 гг.

Вот как рассуждал Паскаль [39]:

•Бог есть или нет.

•На которую сторону мы склонимся? Разум тут ничего решить не может.

•Нас разделяет бесконечный хаос.

•На краю этой бесконечности разыгрывается игра, исход которой не известен.

•На что вы будете ставить?

На что же делать жизненную ставку – на религию или на атеизм? Для поиска ответа Паскаль предположил, что шансы существования или отсутствия Бога примерно равны или, по крайней мере, что вероятность существования Бога больше нуля.

Тогда возможны два варианта:

Жить без веры крайне опасно, так как возможный «проигрыш» в случае существования Бога бесконечно велик – вечные муки.

Если же Бог не существует, то цена «выигрыша» невелика – безверие нам ничего не даёт и от нас ничего не требует.

Реальным выигрышем атеистического выбора будет некоторая экономия средств и времени, так как не будет религиозных обрядов.

Жить по канонам веры не опасно, хотя и чуть более затруднительно из-за постов, всяческих ограничений, обрядов и связанных с этим затрат средств и времени.

107

Цена «проигрыша» в случае отсутствия Бога невелика – затраты на обряды и усилия на праведную жизнь.

Зато возможный «выигрыш» в случае существования Бога бесконечно велик – спасение души, вечная жизнь (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Пари Паскаля

Но вечные муки в аду – это проигрыш, а в платёжной матрице указывается выигрыш f0 – некоторое конечное число, например, затраты верующего на веру, при полном проигрыше, остающемся как бы за «кадром»! Получаем «игру» (рис. 5.11).

Рис. 5.11. Платёжная матрица игры «Пари Паскаля»

Почему аморальное поведение без затрат? Оно тоже денег (и больших) стоит, так это проигрыш, а в матрице только выигрыши!

Пари Паскаля основано на допущении, что Богу лестна вера в него и он готов это вознаградить. И при этом возможно, что «нельзя попасть в Рай одной религии, не попав в Ад всех других»…

5.6. Граф марковской цепи

Рассмотрим на примере применение для решения «игр с природой» математического аппарата марковских цепей.

Определить коэффициент готовности аппаратуры системы управления, если она состоит из двух блоков, соединённых последовательно, параметр потока отказов блока w 0,01 , пара-

108

метр потока восстановления блока 1 ч 1. Ремонт осуществ-

ляет один ремонтник [12].

Построим граф переходов системы (рис. 5.12), где 0 – состояние работоспособности (оба блока исправны); 1 – отказал любой из двух блоков (отказ системы); 2 – отказали оба блока (отказ системы.)

2w 2w

μ 2μ

Рис. 5.12. Граф марковской цепи – граф переходов аппаратуры системы охраны

Получим по этому графу марковской цепи систему дифференциальных уравнений (Колмогорова-Чепмена):

Решение будем искать для установившегося режима, тогда получаем алгебраические уравнения:

Pi (t) 0 , а P0 P1 P2 1:

0 2wP0 P1,

0 2wP0 w P1 P2 ,

0 wP1 P2 ,1 P0 P1 P2 .

109

Из первого уравнения

P0 2w P1.

Из третьего уравнения

P1 w P2 .

Тогда

P0 22 P2 .

2w

Подставляя эти значения в четвёртое уравнение, получаем

Решим систему алгебраических уравнений, описывающих граф марковской цепи в СКМ «Маткад».

Берём два первых уравнения + последнее (три уравнения, три неизвестных) (рис. 5.13).

110