2629

Равенство классов P и NP

Итак, в теории алгоритмов вопрос о равенстве классов сложности P и NP (рис. 2.1) является одной из центральных открытых проблем уже более трех десятилетий. Если на него будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что теоретически возможно решать многие сложные задачи существенно быстрее, чем сейчас.

Рис. 2.1. Диаграмма классов сложности при условии P ≠ NP

41

Эвристические алгоритмы [14]

Одним из путей к решению NP-полных задач является разработка приближённых, эвристических алгоритмов.

Эвристики – совокупности разумных соображений, использование которых, предположительно, позволяет получить решение, близкое к оптимальному.

В эвристических алгоритмах используют для этого некоторую дополнительную информацию – эвристики, позволяющие находить решения, лишь на 10–15 % хуже оптимальных.

Тем не менее NP-сложные задачи не имеют гарантированных оценок времени решения. Даже незначительное изменение исходных данных приводит к его резкому увеличению.

Генетические алгоритмы [15]

В настоящее время активно развивается направление так называемых генетических алгоритмов («эволюционных вычислений»).

Это направление использует в борьбе с перебором вариантов опыт развития природы и человека. При этом применяется и соответствующая терминология: «популяция» – некоторое множество вариантов; «скрещивание» вариантов путем определенного комбинирования «хромосом особей» из исходной популяции и получение «потомков»; «эволюция» с целью получения лучших решений.

2.3. Комбинаторные модели контроля и диагностики. Минимизация контрольного и диагностического теста логического элемента ПЛИС FPGA [16, 17]

Как показано выше, основой логических элементов (ЛЭ) конфигурируемых логических блоков (КЛБ) ПЛИС типа FPGA (field-programmable gate array) являются мультиплексоры в виде деревьев передающих МОП транзисторов. Рассмотрим условное графическое обозначение (УГО) элементарного мультиплексора – селектора на 2 канала – MS 2-1 (рис. 2.2).

42

При константном отказе входа данных Х2 = 0:

z(x2 0) x1x2 x1x3 x1 0 x1 x3 x1x3 .

При константном отказе входа данных Х2 = 1:

z(x2 1) x1x2 x1x3 x1 1 x1 x3 x1 x3 .

При константном отказе входа данных Х3 = 0:

z(x3 0) x1x2 x1x3 x1x2 x1 0 x1x2 .

При константном отказе входа данных Х3 = 1:

z(x3 1) x1x2 x1x3 x1x2 x1 1 x1 x2 .

Получим таблицу функций однократных константных отказов входов (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Таблица функций однократных константных отказов входов

Очевидно, что в таблице (см. рис. 2.3) ядра нет – нет столбцов с одной меткой. Таким образом, можно визуально получить, например, покрытие Т1 Т2 Т5 Т6, выделенное цветом.

К такой модели можно свести и отказы внутренних передающих МОП транзисторов – «постоянно открыт», «постоянно закрыт».

Модель однократных отказов-замыканий

Рассмотрим однократные отказы-замыкания внешних входов мультиплексора 2-1 (см. рис. 2.2) – модель отказов (рис. 2.4).

44

Монтажное ИЛИ (wired OR)

При этом:

(xi )wired OR(xj )

(x1 )wired (x2 )

zx1x2 x1x3

(x1 x2 )(x1 x2 ) (x1 x2 )x3 x1x3 x2 x3.

(x1 )wired (x3 )

zx1x2 x1x3

(x1 x3 )x2 (x1 x3 )(x1 x3 ) x1x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3.

(x2 )wired (x3 )

z x1x2 x1x3

x1 (x2 x3 ) x1 (x2 x3 ) x1 x2 x1x3 x1x2 x1x3 x2 x3.

Получим таблицы функций отказов«Монтажное И», «Монтажное ИЛИ» (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Таблица функций однократных отказов замыканий «Монтажное И», «Монтажное ИЛИ»

46

Рассмотрим виды доминантных замыканий.

Доминантное замыкание (Dominant) (рис. 2.7)

Рис. 2.7. Доминантные замыкания

Таким образом, (xi )Dominant(xj ) .

Так, при (x1 )Dominant(x2 ) :

zx1x2 x1x3

x1x1 x1x3 x1x3.

Доминантное И (Dominant) (рис. 2.8)

Рис. 2.8. Доминантное И

Следовательно, (xi )Dominant(xi &xj ) .

Так, при (x1 )Dominant(x1 &x2 ) :

zx1x2 x1x3

x1 (x1x2 ) x1x3 x1x3.

Доминантное ИЛИ (Dominant) (рис. 2.9)

Рис. 2.9. Доминантное ИЛИ

47

Поэтому (xi )Dominant(xi xj ) .

Так, при (x1 )Dominant(x1 x2 ) :

zx1x2 x1x3

x1 (x1 x2 ) x1x3 x1x2 x1x3.

Получим таблицы функций доминантных отказов (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Таблицы функций доминантных отказов

Определение контрольных тестов

Получим конъюнктивное покрытие [9] таблиц функций отказов:

(Т5 Т6)(Т1 Т2)(Т2 Т3) (Т0 Т1) (Т5 Т7) (Т2 Т3) (Т4 Т6)

Например, можно получить покрытие Т1Т2Т5Т6. Для рис. 2.6 – монтажное И:

(Т2 Т3 Т5)Т6(Т2 Т5).

48

Монтажное ИЛИ:

Т2(Т1 Т4 Т6)(Т2 Т6.)

Для рис. 2.10 – доминанта:

Т2Т6(Т2 Т5) (Т5 Т6) (Т1 Т6) (Т1 Т2)

Доминантное И:

Т2Т5Т6

Доминантное ИЛИ:

Т1Т2Т6

Можно сделать вывод о том, что покрытие Т1Т2Т5Т6 также является контрольным тестом для отказов-замыканий. Обратим внимание, что тесты Т1, Т2 содержат одну единицу в набо-

ре (001,010), а тесты Т5,Т6 – один ноль: 101,110.

Определение диагностических тестов

Построим таблицу различения однократных константных отказов входов (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Таблица различения однократных константных отказов входов

Видим, что для этого вида отказов множество тестов Т1, Т2, Т5, Т6 достаточно для различения всех рассмотренных пар отказов.

Для отказов типа «Монтажное И, ИЛИ» (рис. 2.12) этого покрытия более чем достаточно.

49

Рис. 2.12. Таблица различения однократных константных отказов типа Монтажное И, ИЛИ

Для доминантных отказов (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Таблица различения доминантных отказов

Рис. 2.13. Окончание

Таким образом, совокупность проверяющих тестовых наборов (контрольного теста) относительно однократных внешних константных отказов является таковой и относительно внешних замыканий. Полученные тесты содержат либо одну единицу внаборе (001,010), либо один ноль: 101,110. Кроме того, полученное множество тестов оказалось достаточным и для различения всех рассмотренных отказов, т.е. для диагностирования, определения вида отказа. Для мультиплексоров, имеющих n адресных входов, общее числопеременныхтестированияS определяетсяпоформуле

S n 2n.

50