1486

параболе Мора), решение получено на основе 2Dпараметризации [23]; найти заранее заданное сечение наклонной призмы; построить пирамиду по двум заданным ее сечениям. Здесь исторически привлекают методы проективной и аффинной геометрий, которые сегодня студентам инженерных специальностей не преподают. Автором, совместно с проф. А.Н. Логиновским (материал передан в редакцию), разработаны простые методы их решения на основе 3D-параметризации, входящей в графические редакторы среднего и высокого уровня (SolidWorks, Inventor и др.). Методы 3D-параметризации сохраняют творческую необходимость выполнения студентами геометрического анализа в виде задания геометрических взаимосвязей, приводящих к решению задачи, но берут на себя реализацию этих взаимосвязей благодаря мощному математическому аппарату графического пакета. В итоге, эти методы позволяют существенно поднять планку, т.е. уровень сложности задач для обычного учебного процесса. Часть таких задач мы уже включаем в семестровые задания. Да, мы не знаем, как действует 3D-параметризация, но мы не знаем, и как работает компьютер, и как работает современный автомобиль, но мы их применяем (ездим).

НГ ограничивает сферу научной и методической деятельности преподавателей. Уже отмечалось, что НГ в этом году исполняется 220 лет. Активно развивавшаяся ко- гда-то наука и учебная дисциплина прошла свой пик развития. Количество публикаций по содержательной стороне резко сократилось. Те коллеги, которые ограничивают себя рамками НГ, либо переключились на педагогику, либо переливают из пустого в порожнее. В противовес этому 3Dмоделирование – это целина. Здесь огромное поле для содержательной научной и методической деятельности. Автор попробовал свои силы на этом поприще. Вместе с А.Н. Логиновским удалось дополнить самого Г. Монжа и

311

показать особенности пересечения квадрик при их софокусном и псевдософокусном положении [24]. Удалось экспериментально подтвердить [25] (а сейчас уже и доказать, скоро будет публикация), что теорема Данделена применима ко всем квадрикам вращения. Автором наработано множество оригинальных 3D-алгоритмов решения характерных для учебного процесса задач. Все опубликовано. Получены новые разработки к учебному процессу. Это задачи, простые в реализации, основанные на 3D-параметризации: реконструкция пространственной тройки векторов по их проекциям (модель теоремы Польке–Шварца), построение сферы, касательной к четырем заданным сферам (задача Ферма), построение отрезка, пересекающего четыре скрещивающихся прямых (задача Пеклича о трансверсалях).

Аргументы за и против реорганизации курса НГ

Преимущества 3D-моделирования перед НГ в следующем:

1.3D-моделирование – естественный для человека процесс (мы «трехмерные»).

2.Реалистичные компьютерные 3D-модели просты в построении, значительно проще 2D-проекционных моделей.

3.Высокая точность компьютерных 3D-моделей (погрешности 10–5…10–8) и получаемых на их основе результатов.

4.Наглядность 3D-моделей.

5.Возможность многочисленных операций моделирования, необходимых для исследования пространственных форм (построение разрезов, сечений, операций позиционирования, снятия метрических характеристик и др.).

6.Автоматическое построение чертежа по созданной 3D-модели.

312

7.Широкие возможности 3D-параметризации как современного инструментального средства компьютерного геометрического моделирования.

8.Программная реализация (язык AutoLisp и др.) процесса построения и исследования 3D-моделей.

Так зачем и кому сегодня нужна НГ? Кто борется за ее сохранение в качестве учебной дисциплины? Каковы их аргументы?

Сразу подчеркну, что моя критика не относится к НГ как к науке. Процесс познания безграничен. Зачастую он связан с личным интересом исследователя, для которого важен не результат, а процесс поиска. И если, например, кому-то интересна многомерная НГ (многоуважаемый В.А. Пеклич дошел до семимерной), то это святое. Здесь обсуждаем НГ как учебную дисциплину в вузах.

Аргументы сторонников сохранения курса начертательной геометрии – противников 3D – состоят в следующем (аргументы сформулированы автором на основе многочисленных дискуссий на конференциях и публикаций апологетов НГ на эту тему):

1.Необходимо укреплять НГ на основе совместного преподавания начертательной и аналитической геометрий

(как завещал Г. Монж в «Geometrie Descriptive», 1795).

2.Необходима математизация курса – смещать «элементарную» начертательную геометрию в сторону «высшей» и «многомерной».

3.Понижение размерности с 3 до 2 упрощает решение.

4.Плоские изображения являются элементами (контурами) для 3D-моделей.

5.Начертательная геометрия развивает пространственное мышление (а 3D его снижает).

6.«Отупляющие» кнопочные технологии компьютерного моделирования.

7.Что будет, если исчезнут компьютеры?!

313

8. Необходимо учить еще и компьютеру.

Критичное мнение автора по п. 1–6 с аргументацией приведено выше. По п. 7 встречный вопрос: «А что будет, если перестанут выпускать карандаш и бумагу?». По п. 8 – нормальные студенты, несмотря на наблюдаемую их общую и массовую «дебилизацию», все-таки со школы приходят достаточно подготовленными для работы на компьютере и легко с 1-го сентября осваивают необходимые начальные приемы для компьютерного моделирования. Компьютер – привлекательный инструмент для учебного процесса, а внешняя привлекательность является значимым фактором для молодых людей. Конечно, преподавателям самим нужно владеть компьютером, что до сих пор не всегда имеет место быть.

Немаловажны социальные причины, препятствующие развитию новых 3D-направлений на наших кафедрах. Приведу их как на основе нашей кафедры, с моей точки зрения, так и на основе общения с коллегами из других вузов РФ.

Старшее поколение («сильные методисты») действуют по принципу: «не знаю, но осуждаю» или «солнышко взошло – и хорошо». Действительно, что они будут делать, если заменить десятилетиями отработанный курс НГ на современный компьютерный? Мне хочется сказать им: «Включите компьютер, поработайте с 3D-моделью, а потом пишите статьи с критикой новых направлений». Особенно досадно видеть в ряду «сильных методистов» коллег, которые в совершенстве владеют компьютером, но отстаивают сохранение НГ в вузе [26]. Здесь есть свои тонкости: кто-то искренне заблуждается (нужно время на осмысление), есть и «темные силы», сознательно вредящие новому направлению, поскольку делают диссертации в области НГ или областях, близких к ней.

Среднее поколение преподавателей, уже овладевшее компьютером, рассуждает и действует по принципу: «как

314

платят, так и работаем» или «зачем работать, если можно не работать?». Молодое поколение, изредка приходящее на кафедру графики после очередного сокращения в фирмах («не умеешь работать – идешь преподавать»), инфантильно. Хотя в отношении молодежи есть надежда, что если она закрепится на кафедре, то преподавать «умирающие» дисциплины не будет. Сработает здоровый прагматизм.

Ждать сегодня ценных указаний сверху, как прежде, – не дождаться. Все решается на местах. В итоге, для торжества нового нужна смена поколений. Сегодня все держится на единицах энтузиастов, которые в лучшем случае работают в обстановке безразличия.

Свежие примеры

Среди 5–6 олимпиад по графике, ежегодно проводимых в РФ, лишь в МИТХТ сохранилась номинация НГ. И там в последнее время подбор задач в этой номинации становится проблемным. На последней олимпиаде было сложно объяснить целесообразность трудоемкого (пусть красивого) решения задачи традиционным способом НГ. Это о пересечении эллипса с отрезком прямой без построения самого эллипса (необходим выход в пространство, реализация частного случая пересечения квадрик и прочее). На компьютере задача решается нажатием двух кнопок: построить эллипс, построить отрезок, измерить координаты точек пересечения. Мне за такую задачу перед студентами было неловко. Уж если ставить задачи, так такие, которые бы воспевали НГ и показывали ее достоинства перед компьютером. Аргументов в пользу 3D у моих студентов добавляло и присутствующее в последние годы предупреждение о том, что применение компьютера и 3D запрещено.

Почему бы, следуя велению времени, не включить в состязание альтернативную номинацию по теоретическим задачам, которые можно решить как 2D, так и 3D (или тре-

315

бовать двойное решение), и посмотреть, что из этого выйдет? Я думаю, что данное направление было бы востребовано. Но не означало бы оно конец состязаний по НГ?

Среди свежих аргументов сторонников НГ есть один серьезный, требующий пояснений. На одном из семинаров мне был задан вопрос: «Чем отличается аксонометрия от 3D-модели?». Встречаются и формулировки: «Аксонометрия как теоретическая основа трехмерной графики». Признаю, что лет десять назад я имел неосторожность опубликовать слова: «Поскольку экран компьютера – плоскость, начертательная геометрия вечна». Сейчас я об этом сожалею, поскольку теория отображения и НГ – это две большие разницы. Сравнивать аксонометрическую проекцию и 3D-модель – это все равно, что сравнивать фотографию человека с ним самим. Подробные аргументы и обсуждение вопроса – в одной из ближайших публикаций. Но можно уверенно сказать, что коллеги, задающие этот вопрос, с 3Dмоделями не работали.

Уже традиционным аргументом защитников НГ является ирония о том, что 3D нужна лишь для построения компьютерных макетов, например для лекций. Отвечу, как и прежде: у каждого свои возможности и уровень. Один понимает 3D только на уровне макетов и «картинок», а другой видит здесь современные методы моделирования и исследования геометрических свойств.

Хотелось бы остановиться и на уровне серьезных центральных (имею в виду книги) изданий по НГ. Сейчас их выходит в год по 10 штук. Отмечу три работы.

В книге [27] привлекает слово «компьютерный» в ее названии. Но на 500 страницах приводится изложение традиционного классического курса НГ, а компьютерного в нем только то, что построения выполняются на компьютере «черточками», т.е. в режиме 2D. Дается построение 3Dмоделей в КОМПАС 3D, применяемых в качестве нагляд-

316

ных макетов. И лишь в конце книги, на трех страницах [27, разд. 17.3.5], автор приводит пример решения позиционной задачи в автоматическом режиме по 3D, показывая современные возможности решения. Но зачем тогда были приведены предыдущие 500 мпс? Можно понять, когда два метода дополняют друг друга. Но здесь второй метод (3D) показывает ненужность первого (НГ).

Такой подход характерен и для ряда других работ: на 90 % объем книги – НГ, затем показывают простые и наглядные решения по 3D. Объяснить это можно переходным периодом – перестройкой мышления авторов. А пока видна очередная попытка искать подкрепление позиций НГ на стороне: раньше искали в аналитике или проективной геометрии, сейчас – в компьютерных технологиях. Подождем.

В книге [28] авторы, излагая теорему Монжа [28, рис. 10.16], рассматривают пересечение тора и кругового конуса, имеющих общую вписанную сферу, считая это примером распадения линии пересечения на два эллипса. Здесь, во-первых, авторы, будучи преподавателями НГ, не знают, что теорема Монжа относится к поверхностям 2-го порядка, а тор имеет 4-й порядок. Во-вторых, постройте линию, лучше 3D-модель пересечения, и убедитесь, что получается пространственная кривая, а не рисуйте иллюстрации (кстати, плохого качества). А ведь это четвертое издание данной книги, еще и с грифом УМО для студентов вузов.

Интересно, что задача о торе и конусе с общей вписанной (для провокации) сферой была приведена на нашей кафедральной олимпиаде по НГ в текущем году. Приятно, что студенты построили правильные проекции этой кривой.

Критикуешь – предлагай

Свое видение курса приводят все участники дискуссии. Сторонники сохранения НГ в своих предложениях не выходят за рамки традиционного курса, лишь меняют мес-

317

тами положение и название разделов, отражают личные пристрастия к той или иной теме и не более. Приведу и я свое видение нового курса как 3D-альтернативы действующей НГ, как я его преподаю многие годы.

Название курса – «Теоретические основы 3D компьютерного геометрического моделирования» (другой вариант – «Теоретические основы инженерной 3D компьютерной графики»). За основу курса взята выстроенная за 220 лет структура курса НГ. Принципиальное отличие нового курса в том, что по каждому его разделу показаны новые подходы к его раскрытию на основе прямого оперирования в пространстве, без проекционных преобразований. Объем курса – 18 (или 36) лекционных и 36 часов практических занятий. Структура нового курса состоит из трех модулей.

Модуль 1. Точка, прямая и плоскость в 3D-пространстве. Комплексные задачинаоснове3D-алгоритмов.

Модуль 2. 3D-модели геометрических тел и операции с ними. Пересечение тел и исследование линии пересечения. Частные случаи пересечения квадрик. 3D-модели кинематических поверхностей. Автоматизация построения чертежа 3D-методами.

Модуль 3. Решение типовых задач на построение линий пересечения совместно методами НГ и 3D. Если лекционные часы не позволяют, то модуль 3 переносится в пояснительные чтения на практические занятия.

Качественно новые КГЗ, ориентированные на 3D

1.«Семь разноплановых позиционных задач» – на построение проекционного чертежа двух тел в пересечении с исследованием линии пересечения и ее проекций.

2.«Исследование линии пересечения поверхностей второго порядка» – исследование всех качественно различных вариантов линии пересечения заданной пары поверх-

318

ностей. Обычно 10 вариантов – это задание для студентов механиков и физиков.

3.«Расчет продолжительности инсоляции» – для архитекторов и строителей.

4.«Построение и исследование кинематических поверхностей» – это дополнительное задание при наличии свободных часов.

Изюминкой курса является система контроля знаний. Это ранее доложенный автоматизированный коллоквиум по комплексным задачам и другим темам. Коллоквиум как программа, написанная на AutoLisp, защищен авторским свидетельством. Программа проверяет результат решения студентом графической задачи, а не выбор им правильного ответа из ряда предложенных. Это принципиально отличает такую систему контроля от популярного сегодня тестирования, в котором задача преподавателя – при пяти ответах четыре раза обмануть студента. И здесь, на коллоквиуме, все основано на 3D-моделировании в сочетании с программированием.

Лекции проводятся в мультимедийных аудиториях в интерактивном режиме живого решения лектором характерных задач. Практика – с 1-го сентября в компьютерном классе. Пакет AutoCAD. Конечно, есть много методических проблем, разрешение которых требует привлечения коллег. Но, к сожалению, эта и есть основная проблема курса. Идет работа автора над учебником по новому курсу.

Заключение

Пока мы ломаем копья о необходимости реорганизации (или напротив, сохранения) нашего теоретического курса – НГ, являющегося основой традиционной 2Dтехнологии проектирования, жизнь идет вперед в направлении 3D. Уже давно разработаны ГОСТы [29], согласно которым компьютерная 3D-модель может быть передана в

319

производство без построения чертежей. Все современные компьютерные пакеты САПР имеют развитые средства 3Dмоделирования, проектирования и построения чертежа. На данной конференции считаю, что нашел поддержку в работе [30]. А мы все о необходимости НГ спорим.

В последние три года я докладывал свою диссертационную работу на трех семинарах при действующих Советах по 05.01.01 в Нижнем Новгороде, Омске и Москве (МАИ). Тема – как название моего лекционного курса (см. выше). Попытки оказались неудачными. Везде мне отказали в научной новизне, указывая, что имеет место применение компьютера по его прямому назначению. Это несмотря на многочисленные разработки алгоритмов, оригинальные решения целого ряда прикладных задач. Отправили в педнауки, не желая с позиций 05.01.01 признать актуальность проблемы замены НГ на современный курс, т.е. востребованность решения этой проблемы жизнью.

Сегодня из трех Советов остался один. Так, может быть, это неспроста? Впрочем, делай, что должен, и будь, что будет.

Выводы

1.Сегодня НГ как учебная дисциплина является фактором сдерживания развития современных направлений геометрического моделирования, а именно 3D компьютерного геометрического моделирования.

2.Аргументация сторонников НГ основана на их недостаточной компетентности в вопросах современных направлений развития САПР и 3D геометрического моделирования, отсутствии опыта работы в графических пакетах.

3.Реорганизация курса НГ в курс «Теоретические основы 3D компьютерного геометрического моделирования» позволит учить студентов современным методам геометрического моделирования, существенно повысить их конку-

320