1465

Будем считать, что искомая функция c (x2 ) L2 (ω2 ) , скалярное произведение и норма в этом пространстве задаются соотношениями

(c, d ) = ∑ c (x2 ) d (x2 )h2 , c = (c,c) .

x2 ω2

При получении выражения для градиента функционала J (c) примем, что приращению δ с соответствуют приращения δ J и δ у для функциона-

ла (5.120) и решения задачи (5.116), (5.117).

С точностью до членов второго порядка малости из (5.116), (5.117) получим

Для приращения функционала невязки непосредственно имеем

Градиент функционал J’(c) соответствует представлению приращения функционала в виде

δJ (c) = ( J ′(c), δc) .

Для того чтобы преобразовать правую часть (5.123), домножим уравнение (5.121) на некоторую сеточную функцию ξ(х) h1h2, х ω и просуммируем его по всем узлам ω :

361

Для получения представления для J’(c) первый член (5.126) связывается с правой частью равенства (5.123).

Пусть функция ξ(х) определяется как решение уравнения

При таком задании правой части из (5.123), (5.126), (5.127) получим

В силу этого для градиента функционала получим выражение

Его вычисление связано с решением краевой задачи (5.116), (5.117) для основного состояния (сеточная функция y (x)) и краевой задачи (5.125), (5.127) для сопряженного состояния (сеточная функция ξ(x)).

При использовании двухслойного градиентного итерационного метода уточнения ck (x2), где k – номер итерации, проводится по схеме

sk +1

Необходимо только учитывать, что решаемое уравнение J’(c) = 0 является нелинейным. Для выхода из итерационного процесса (5.129) можно использовать критерий невязки.

362

Задачи:

1.Запишите регуляризованную схему для простейшей явной разностной схемы. Сформулируйте условия ее устойчивости.

2.Запишите разностную схему коэффициентной обратной задачи для эллиптического уравнения.

3.Опишите итерационный метод решения коэффициентной обратной задачи для эллиптического уравнения.

Вопросы для самопроверки

1.Приведите примеры реальных задач, в которых необходимо решать обратную ретроспективную задачу.

2.Сформулируйте две постановки обратной ретроспективной задачи.

Вчем различия с физической точки зрения?

3.Получите решение обратной задачи теплопроводности (первая постановка) в виде интегрального уравнения Фредгольма I рода. Объясните,

вчем проявляется некорректность полученного решения.

4.Объясните идею применения метода усеченных сингулярных разложений для регуляризации решения задачи с обратным временем (в первой постановке). Что является параметром регуляризации и как он выбирается?

5.Поясните идею применения метода квазиобращения для регуляризации решения задачи с обратным временем (в первой постановке).

6.Получите решение обратной задачи теплопроводности (вторая постановка) в виде интегрального уравнения Фредгольма I рода. Объясните,

вчем проявляется некорректность полученного решения.

7.Как влияет выбор точки наблюдения температуры (дополнительное условие для решения обратной задачи) на единственность решения обратной задачи?

8.В чем суть принципа регуляризации разностных схем?

9.Перечислите способы аддитивной и мультипликативной регуляризации.

363

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВЕ 5

1.Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2009. – 457 с.

2.Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики: учеб. пособие. – изд. 3-е. – М.:

ЛКИ, 2009. – 480 с.

3.Ватульян А.О. Обратные задачи в МДТТ. – М.: ФИЗМАТЛИТ,

2007. – 224 с.

4.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1989. – 432 с.

5.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных за-

дач. – изд. 2-е. – М.: Наука, 1979. – 285 с.

6.Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. –

М.: Мир, 1970.

7.Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. – 199 с.

364