1465

Граничные условия могут быть заданы либо на саму функцию, либо на ее производную по координатам:

Все коэффициенты уравнения в общем случае являются заданными функциями времени и координат:

kx = kx (t, x, y, z), Q = Q(t, x, y, z),...

В некоторый фиксированный момент времени производные по времени от θ и все коэффициенты могут рассматриваться как заданные функции координат. Для этого момента времени задача полностью аналогична стационарной задаче [6], где выражение в последней скобке трактуется как источник Q. Будем применять конечно-элементную аппроксимацию только для пространственных переменных.

4.5.1. Разрешающие соотношения МКЭ для пространственной конечно-элементной дискретизации

Конечно-элементная дискретизация стационарного уравнения может быть получена с помощью вариационного или проекционного подходов. В рамках вариационного подхода можно показать, что выполнение уравнения (4.48) с граничными условиями (4.49) эквивалентно необходимым условиям существования минимума функционала

на множестве функций, удовлетворяющих граничным условиям (4.49) (на множестве допустимых функций). То есть (4.48) является уравнением Эйлера для функционала (4.50).

При выборе базисных функций (функций формы) нецелесообразно требовать удовлетворения обоим граничным условиям (4.49). Поэтому лучше не накладывать никаких ограничений на базисные функции на части границы Γ2, а добавить к функционалу (4.50) поверхностный интеграл по границе, который после минимизации функционала обеспе-

261

чит выполнение этого граничного условия. В общем случае этот интеграл имеет вид

Если неизвестная функция для каждого элемента, содержащего т узлов, приближенно задается в виде

где ϕ k – базисные функции; θ k – неизвестные значения функции в узлах конечного элемента, подлежащие определению, то функционал можно минимизировать приближенно.

Необходимое условие минимума функционала (4.50), (4.51), определенного в пределах одного конечного элемента, для произвольного узла

Заметим, что интеграл по границе в соотношении (4.53) появляется только для элементов у внешней границы Γ2.

Учитывая, что

где {θ} е – вектор неизвестных значений функции в т узлах элемента, матрица теплопроводности [k]e

262

локальный вектор правых частей для конечного элемента:

После ансамблирования локальных матриц теплопроводности и векторов правых частей получим глобальную систему уравнений

Мы не останавливались подробно на процедуре получения разрешающих соотношений (4.57), поскольку предполагаем, что читатель хорошо знаком с ней по курсу «Численные методы». Подробности можно восстановить по [6]; несмотря на то, что аналогичные соотношения выводятся в рамках проекционного подхода (метода Галеркина), технически процедуры получения СЛАУ не отличаются и приводят, естественно,

кодним и тем же результатам.

Вокончательной форме матричные разрешающие соотношения для нестационарной задачи с учетом вида Q (4.48) примут вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений

В этой системе все матрицы составляются по стандартному правилу из локальных матриц для каждого элемента и

cije = ∫ φi µ φj dΩ ,

Ω e

gije = ∫ φi ρφjdΩ .

Ω e

Граничные условия задаются в каждый момент времени так же, как в стационарной задаче.

263

Физических задач, описываемых уравнением (4.48), достаточно много. Например, при ρ = 0 это уравнение становится параболическим и является обычным уравнением нестационарной теплопроводности или задачей консолидации грунта как разновидность задач нестационарной фильтрации и т.д.

При µ= 0 уравнение (4.48) превращается в волновое уравнение, описывающее, например, электромагнитные волны, поверхностные волны в жидкости, волны расширения-сжатия и т.д.

При ρ ≠ 0 и µ≠ 0 (4.48) является волновым уравнением с демпфированием и используется, например, для описания волновых явлений в механике жидкости и газа [8].

Система уравнений (4.58) может быть непосредственно применена для анализа задач о механическом поведении упругих конструкций, где неизвестным является вектор перемещений.

Перемещения упругого тела во времени обусловлено наличием двух систем дополнительных сил. Первую из них составляют силы инерции, которые характеризуют ускорение и согласно принципу Даламбера могут быть записаны в виде

Здесь {u} – обобщенные перемещения. Эти силы совпадают по направлению с перемещениями {u} и обычно отнесены к единице объема, а ρ – плотность (масса единицы объема).

Вторая система сил обусловлена силой трения, которая может быть вызвана взаимодействием микрочастиц, сопротивлением воздуха и т.д.; в общем случае они связаны нелинейной зависимостью со скоростью.

Однако для простоты будем учитывать только линейное сопротивление вязкого типа, которое статически эквивалентно силе, отнесенной к единице объема

264

Вектор объемных нагрузок для конечного элемента, следовательно, будут иметь вид

Здесь первый интеграл обусловлен внешней объемной нагрузкой (например, силой тяжести) и далее рассматриваться не будет.

Перемещения в элементе аппроксимируются соотношением (4.42)

где ur – вектор узловых перемещений.

Подставляя соотношение (4.62) в общее уравнение равновесия (4.46), после ансамблирования локальных матриц и векторов нагрузок получим следующее матричное дифференциальное уравнение:

где [K] и {F} – глобальные матрица жесткости и вектор нагрузок, полу-

ченные ансамблированием соответствующих локальных величин. Матрицы [C] и [M] получаются ансамблированием локальных матриц, задаваемых в виде

Ω e

Матрицу [mij] принято называть локальной матрицей масс (или матрицей масс элемента), а [M] – глобальной матрицей масс (матрицей масс системы). Аналогично матрицы [cij] и [C] можно назвать соответственно локальной и глобальной матрицами демпфирования.

265

Отметим, что для описания сил инерции необходимо учитывать не только ускорения, но и моменты сил, как например в задачах о пластинах, балках и оболочках. Тогда в вектор обобщенных перемещений (4.57) войдут не только смещения в узлах, но и изгибы (производные перемещений по координатам) [8].

В частности, для динамических задач в условиях плосконапряженного или плоскодеформированного состояния (двумерные задачи) при использовании линейного треугольного элемента (4.15), (4.17)–(4.19) локальная матрица масс получается следующим способом:

Перемещения на плоском треугольном элементе аппроксимируются соотношением

тогда для плоского линейного треугольного элемента

где функции формы определены соотношениями (4.15), (4.17)–(4.19)

φi (x, y) = αi + βi x + γi y,

φj (x, y) = αj + βj x + γj y,

φk (x, y) = αk + βk x + γk y.

Или в L-координатах

φi = L1, φj = L2 , φk = L3 .

Здесь Ωе – площадь треугольного элемента. Если толщина t элемента предполагается постоянной в пределах элемента, для локальной матрицы масс из (4.642) имеем

[m]e = ρt ∫ ∫[φ]т [φ]d Ω .

Ω e

266

Используя формулы интегрирования для L-координат, несложно показать, что

Итак, локальная матрица масс в окончательном виде выглядит следующим образом:

Заметим, что матрица имеет блочную структуру, каждый блок размером 2× 2 относится к одному узлу элемента, а его размер связан с размерностью решаемой задачи (количество неизвестных в узле).

Выше различные нестационарные и динамические задачи были сведены к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши) с использованием конечно-элементой аппроксимации только для пространственных переменных. Для однозначного решения таких систем необходимо задать соответствующие начальные условия (значения в начальный момент времени на саму функцию для параболических уравнений или значения самой функции и ее скорости в начальный момент времени для гиперболических уравнений). Для решения этих систем можно применять стандартные методы решения систем ОДУ (метод Эйлера, Рунге – Кутты и т.д.) или использовать конечно-разностные аппроксимации для производных по времени [6, 11, 12].

4.5.2.Разрешающие соотношения МКЭ для пространственной

ивременной конечно-элементной аппроксимации

Возможны и другие подходы к решению нестационарных и динамических задач [8].

267

Во-первых, к дифференциальному уравнению, описывающему задачу, может быть непосредственно применена процедура Галеркина (или другой проекционный метод), но функции формы будут зависеть не только от пространственных переменных, но и от времени:

φ = [φ(x, y, z,t)]{φ}e ,

т.е. дискретизация может быть произведена пространственными и временными конечными элементами. При этом задача становится четырехмерной.

Во-вторых, можно применить вариационный принцип по пространственным переменным и времени. В частности, для простых динамических задач вариационный принцип непосредственно следует из принципа Лагранжа. Ищется стационарное значение интеграла

где U, W, T – энергия деформации, потенциальная и кинетическая энергии системы соответственно. Здесь также строятся пространственные и временные конечные элементы.

Остановимся подробнее на первом подходе. Отдельно рассмотрим подходы к решению уравнений параболического и гиперболического типов (с первой и второй производной по времени соответственно).

Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка по времени. Типичной для этого класса является задача, описываемаяуравнением[8]

Рассмотрим интервал времени t [0, ∆ t], обозначим через {θ} 0 начальное значение функции при t = 0. Предположим в общем случае, что в пределах этого интервала вектор неизвестных интерполирован по его некоторым значениям:

i=0

где φi(t) – функции формы, непрерывные в пределах рассматриваемого интервала.

268

Например, если интерполяция линейная, то соотношение примет вид

где {θ} 0 – значение функции на начало интервала; {θ} ∆ t – значение функции на конец интервала; φ0 = (t – ∆ t) /∆ t, φ∆ t = t/ ∆ t. Производная по времени

Этот результат подобен тому, который был бы получен на основе обычной центральной конечной разности [11, 12]. Процедура вывода отличается от конечно-разностной аппроксимации и допускает применение других интерполяционныхфункций, дающихаппроксимациюбольшейточности.

Из (4.65) формально можно выразить {θ} ∆ t:

Можно рассмотреть квадратичную трехточечную аппроксимацию производной по времени на интервале времени t [0, 2∆ t]. При этом аппроксимируем функции с помощью квадратичных лагранжевых элемен-

тов (4.2):

269

и взвешиваем невязку дважды – по φ∆ t и по φ2∆ t. Получим два соотношения, подобных (4.70), для определения {θ} ∆ t и {θ} 2∆ t через {θ} 0.

Дальнейшее увеличение числа узлов повысит порядок аппроксимации производной по времени и позволит использовать большие шаги по времени ∆ t.

Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка по времени. Динамические задачи механики описываются уравнениями вида

Для решения этого уравнения необходимо задать два начальных условия: на саму функцию и ее скорость. Поскольку в каждый момент необходимо определять в узлах саму функцию и ее производную по времени, то для интерполяции функции на интервале времени t [0, ∆ t] выбираются эрмитовы конечные элементы. Таким образом имеем

Однослойную временную схему можно получить, если взвесить невязку дважды по Н01 и по Н11 (необходимо найти значение функции и ее скорость на конец временного интервала, на начало интервала они должны быть известны):

270