1465

для решений, удовлетворяющих (5.17).

Доказательство.

Вычитая из (5.18) уравнение

A2u = A f,

получим следующее уравнение для погрешности z = uα – u:

A2z + α z = A (fδ – f) – α u.

Скалярно домножим его на z:

Рассмотрим вначале случай более строгих априорных ограничений (5.16). Использование неравенства

С учетом (5.2) и (5.16) получаем (5.19).

В случае менее строгих ограничений на класс решений (5.17) последнее слагаемое в (5.21) можно оценить как

321

Принимая во внимание, что

С учетом (5.2), (5.17) имеем оценку (5.20).

Таким образом, повышение требований на гладкость точного решения приводит к повышению скорости сходимости приближенного решения к точному.

Выбор параметра регуляризации. Рассмотрим некоторые способы выбора параметра регуляризации, который согласуется с погрешностью входных данных: α = α (δ ). Наибольшее распространение получили: выбор параметра регуляризации по невязке, обобщенной невязке (при учете погрешности в задании не только правой части, но и оператора А), квазиоптимальный выбор и т.д. Выбор оптимального параметра во многом определяет работоспособность вычислительного алгоритма.

Чем меньше погрешность, тем меньше берется параметр регуляризации. В соответствии со структурой погрешности (см. (5.13), (5.19), (5.20)) нельзя брать слишком малый параметр регуляризации, поскольку при его уменьшении растет погрешность и проявляется некорректность задачи, т.е. существует некоторое оптимальное значение этого параметра, при котором погрешность приближенного решения минимальна.

Кроме того, оптимальный параметр регуляризации зависит от класса априорных ограничений на точное решение. Например, для ограниченных решений (класс (5.7)) полученная оценка (5.13) для погрешности приближенного решения не позволяет указать оптимальное значение параметра регуляризации.

Сужение класса точных решений дает возможность конкретизировать выбор этого параметра. Так, в классе точных решений, удовлетворяющих (5.16), для погрешности имеет место априорная оценка (5.19), и для оптимального значения параметра регуляризации получим

322

При таком выборе параметра достигается следующая скорость сходимости к точному решению:

z ≤ M δ .

Аналогичное рассмотрение выбора параметра регуляризации в классе априорных ограничений на точное решение (5.17) приводит к

при этом

Итак, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3.

При выборе оптимального параметра регуляризации по правилу (5.22) в классе точных решений (5.16) и по правилу (5.23) в классе (5.17) для погрешности приближенного решения имеем

Оптимальный выбор параметра регуляризации осуществляется при условии, что известна величина погрешности в задании правой части и класс априорных ограничений на точное решение. При решении практических задач такая априорная информация частично или полностью отсутствует. Поэтому приходится применять другие способы выбора параметра. Рассмотрим некоторые такие возможности.

Метод невязки. При выборе параметра регуляризации по невязке в качестве определяющего уравнения выступает равенство

323

Обоснование такого выбора параметра регуляризации, т.е. сходимость приближенного решения uα с α = α (δ ) при δ → 0 к точному решению уравнения (5.1), дано для многих типов задач.

Обозначим

φ(α) ≡ Auα− fδ ,

тогда нахождение параметра регуляризации состоит в решении уравнения

Вдостаточно общих условиях функция φ(α ) является неубывающей,

иуравнение (5.26) имеет решение.

Для приближенного решения уравнения (5.26) применяются различные вычислительные процедуры. Например, используется последовательность

ивычисления проводятся, начиная с k = 0 до некоторого k = K, при котором равенство (5.26) выполняется с приемлемой точностью. При таком определении параметра регуляризации требуется К + 1 вычислений невязки (решений вариационных задач типа (5.4), (5.5) или уравнений Эйлера (5.13)).

Для приближенного решения уравнения (5.26) можно использовать

иболее эффективные итерационные методы. Установлено, что функция

ψ(β) = φ(1/β) является убывающей и выпуклой. Поэтому для решения уравнения

ψ (β) = δ

можно использовать итерационный метод Ньютона [4]:

βk +1 = βk − ψψ(β′kβ) − δ ,

( k )

который сходится при любом начальном приближении β0 > 0. Можно применять модификацию метода Ньютона (метод секущих), не требующую вычисления производной функции ψ (β) [4]:

324

Использование подобных итерационных процедур позволяет сократить общие вычислительные затраты на определение параметра регуляризации α .

Другие способы выбора параметра регуляризации. Поскольку по-

грешности задания входных данных часто неизвестны, плохо контролируемы, применение метода невязки затруднительно. Поэтому в вычислительной практике получили распространение другие способы определения параметра регуляризации.

Выбор квазиоптимального значения параметра регуляризации напрямую не связан с величиной погрешности δ . Выбирается значение параметра α > 0, которое минимизирует функцию

Для нахождения квазиоптимального значения чаще всего используется последовательность (5.27). Минимизация (5.28) на таких значениях параметра регуляризации соответствует поиску минимума

Таким образом, необходимо проводить оценку лишь нормы разности приближенных решений на двух соседних итерациях.

5.2.3. Метод регуляризации на компактных множествах

Вновь рассмотрим операторное уравнение Au = f в случае некорректной задачи. Из метода квазирешений известно, что для процедуры построения квазирешения необходимо выбирать компактное множество M. Для того чтобы сузить область определения U оператора до компактного множества M, необходимо знать критерии компактности множеств в различных функциональных пространствах. Приведем один из них, наиболее часто используемый в приложениях.

Критерий Арцела [5]. Множество M C[a, b] компактно, если функции из M равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Рассмотрим несколько типичных способов выбора компакта M.

1. M – ограниченное множество в Rn. Эта ситуация встречается, когда исходное операторное уравнение, сформулированное как задача отыскания

325

решения в некотором функциональном пространстве, может быть параметризована конечным числом параметров. Тогда метод квазирешения будет аналогом метода наименьших квадратов.

2. В ряде обратных задач в качестве априорной информации обычно существует информация о характере решения, такая как: а) положительность; б) монотонность; в) выпуклость.

1) Пусть M↓ c – множество ограниченных монотонно невозрастающих функций:

M↓ c = {u(x) L2[a,b] 0≤ u(x≤) c, u(x≤2 ) u(x1),≤ x2 x1} .

Тогда справедлива теорема: M↓ c компактно в L2 [a, b].

Отметим, что определенные ниже множества также являются компактами в L2 [a, b].

2) M c – множество ограниченных выпуклых вверх функций:

Для отыскания квазирешений на компактных множествах обычно прибегают к процедуре дискретизации. Фактически для построения приближенного решения достаточно уметь строить последовательность u(n), которая минимизирует функционал невязки J на множестве M.

Пример. Пусть задача сведена к минимизации функционала невязки на множестве M ↓ c L2 [a, b]. Простейшая аппроксимация элементов такого пространства

u(x) = a0 + a1x ,

где a0, a1 удовлетворяют условиям

326

c ≥ a0≥ 0 , a1 < 0, a0 + a1 > 0

и представляет собой компактное множество.

Исходя из этой дополнительной информации можно значительно сузить множество поиска решения и построить его с меньшими вычислительными затратами.

5.2.4. Итерационные методы решения некорректных задач

При решении некорректных задач широко применяются итерационные методы. В этом случае в качестве параметра регуляризации выступает число итераций.

Рассмотрим модельную задачу (5.1), (5.2), в которой оператор А самосопряженный и положительный. Некорректность задачи связана с тем,

Здесь В: Н → Н и В-1 существует.

Если в исходной задаче (5.1), (5.2) оператор А несамосопряженный и положительный, то проводится симметризация по Гауссу (домножают оператор на сопряженный). Тогда итерационный метод выглядит следующим образом:

Здесь В, τ k+1, k = 0, 1, … – итерационные параметры (различные для различных итерационных методов), влияющие на скорость сходимости.

Итерационный метод может интерпретироваться как итерационный метод решения вариационной задачи минимизации невязки

J0 (v) = Av − fδ 2 .

Остановимся на методе простых итераций (явный стационарный ме-

тод) В = Е, τ = const:

327

Первая особенность применения итерационных методов для некорректных задач состоит в следующем. Скорость сходимости итерационного метода (5.31) определяется через значения собственных чисел оператора А. Метод сходится в Н, НА при всех 0 < τ< 2 / λmax , если λ min > 0, а для числа итераций n, необходимых для достижения точности ε, справедлива оценка

В случае задачи (5.3) для принятых допущений о свойствах оператора А λ min = 0, λ max = λ 1, т.е. ξ = 0. Поэтому невозможно конкретизировать скорость сходимости итерационного метода.

Вторая основная особенность применения итерационных методов для решения некорректных задач связана с критерием останова. Так как правая часть задается с погрешностью δ , то условие окончания итераций следует выбирать, согласуясь с уровнем этой погрешности, т.е. n (δ ).

Итерационное решение некорректной задачи. Следующая теорема формулирует условия, при которых метод простых итераций дает приближенное решение задачи (5.1), (5.2).

Теорема 4. Пусть в итерационном методе (5.31) – (5.33) число итераций n (δ ) → ∞ и n (δ ) δ→ 0 при δ → 0. Тогда un(δ) − u → 0 , если δ → 0.

Доказательство.

Обозначим через zn = un – u погрешность на n-й итерации. Из (5.31) непосредственно получаем

k =0

где u0 – некоторое начальное приближение.

Для точного решения можно воспользоваться аналогичным представлением

328

n−1

u = (E − τA)n u + ∑(E − τA)k τf .

k =0

Оно соответствует итерационному решению уравнения (5.1), когда начальное приближение совпадает с точным решением задачи.

С учетом (5.34) для погрешности получаем

k =0

причем z0 = u0 – u – начальная погрешность. Первое слагаемое в (5.35) является стандартным для итерационных методов, второе – связано с учетом погрешности в задании правой части уравнения (5.1).

При сформулированных ограничениях (5.33) на итерационный параметр τ имеем

От (5.36) перейдем к эквивалентному неравенству

(E − τA* )(E − τA) < E.

С учетом самосопряженности и положительности оператора А и оценки A ≤ λmin E получим

(E − τA* )(E − τA) − E = τA1/ 2 (τA − 2E ) A1/ 2 ≤ τA1/ 2 (τλmin− 2)EA1/ 2< 0

при выполнении (5.33).

Принимая во внимание (5.36), имеем

Далее оценим zn(1) .

Будем считать, что z0 H. Это имеет место, например, при начальном приближении u0 = 0 при решении задачи (5.1), (5.2) в классе ограни-

ченных функций (5.7). Покажем, что s(n) = zn(1) → 0 при n → ∞ . Воспользуемся представлением

329

дует доказываемое утверждение.

В случае применения метода простых итераций, при выполнении условий сходимости, в качестве параметра регуляризации выступает число итераций, которое согласуется с погрешностью задания правой части. Первое слагаемое в (5.38) растет с числом итераций, а второе – падает. Для минимизации погрешности необходимо выбирать число итераций не слишком большим и не слишком малым.

Оценка скорости сходимости. Для оценки скорости сходимости метода простых итераций потребуем более жесткие, чем (5.33), ограничения на итерационный параметр τ :

330