1465

Доказательство.

Вычтем из уравнения с возмущенной правой частью и начальными условиями невозмущенное уравнение и начальное условие, получим за-

дачу для возмущения δ = − ~ : u(t) u(t) u (t)

d δu + Aδu = δf (t), 0 < t ≤ T , d t

δu(0) = δu0 ,

где

δu0 = u0 − u%0 , δf (t) = f (t) − f%(t) .

Для решения этой задачи верна априорная оценка

t

δu(t) ≤ δu(0) + ∫ δf (θ) dθ, 0< t≤ T ,

0

а значит,

δu(t) ≤ (1+ T )ε.

Теперь рассмотрим задачу с обратным временем, которая является некорректной:

∂ u − Au = f (t), 0 ≤ t< T ,

∂ t

Получим оценку решения этой задачи при f (t) = 0, из которой вытекает условная корректность задачи. Обозначим

Φ (t)= u 2= (u,u) .

При дифференцировании с учетом уравнения получим

Дифференцируя повторно и учитывая самосопряженность оператора А, получим

311

Далее, используя неравенство Коши–Буняковского, получим оценку

Последнее неравенство эквивалентно неравенству

2

d ln Φ (t)≥ 0 , d t2

т.е. функция Φ (t) – выпукла. Тогда

Это значит, что для задачи с обратным временем имеет место непрерывная зависимость решения от начальных данных при 0 < t < T в классе ограниченных решений.

Задачи:

1.Покажите самосопряженность и неотрицательность дифференциального оператора одномерного параболического уравнения.

2.Докажите лемму Гронуолла.

3.Докажите теорему об априорной оценке решения задачи с обратным временем.

4.Докажите единственность решения задачи с обратным временем.

5.Докажите устойчивость решения задачи с обратным временем.

Вопросы для самопроверки

1.В каких практических проблемах возникают обратные задачи? Поясните суть обратных задач.

2.Перечислите основные типы обратных задач. В каких задачах практики они возникают? Приведите примеры.

312

3.Сформулируйте определение корректной (по Адамару) задачи.

4.Что подразумевается под понятием некорректной задачи?

5.Какая связь между обратными и некорректными задачами?

6.Приведите примеры некорректных задач.

7.Объясните суть некорректности в примере Тихонова.

8.Объясните суть некорректности в примере Адамара.

9.Объясните суть некорректности в задаче с обратным временем.

10.Сформулируйте определение условно корректной (по Тихонову)

задачи.

5.2. СПОСОБЫ ПРЕОДОЛЕНИЯ НЕКОРРЕКТНОСТИ. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Определение. Оператор R( f , δ) : F → U называется регуляризующим

Вопросы построения регуляризованных решений составляют суть теории некорректных задач. Рассмотрим некоторые основные методы регуляризации.

5.2.1. Метод квазирешений

Рассмотрим некорректную задачу Au = f. Предположим, что для точной правой части f существует единственное решение, принадлежащее некоторому компакту M. Однако элемент f неизвестен, заданы его прибли-

жение fδ и величина погрешности δ , такие, что f − fδ ≤ δ. Требуется, зная

эту информацию, построить приближенное решение иδ , которое стремится к точному u при δ → 0 [3]. Введем в рассмотрение множество

313

Uδ ={u U : Au− f ≤ δ} .

В силу некорректности задачи произвольный элемент этого множества нельзя рассматривать в качестве приближенного решения. Поскольку в качестве априорной информации выступает условие u M, естественно сузить Uδ до пересечения с M

U δM = U δ I M.

Тогда элементы множества U δM можно рассматривать в качестве приближенных решений задачи, причем при δ → 0

Sup u − u → 0 .

u UδM

Введем в рассмотрение понятие квазирешения. Пусть в задаче Au = f оператор А: U → F непрерывен, а M – компакт в U.

Определение. Квазирешением уравнения Au = f называется элемент иk, минимизирующий невязку

J[u] = Au − f 2F

на множестве M.

Из определения квазирешения следует, что оно существует f F и в силу непрерывности оператора А функционал J достигает на компакте M своей точной нижней грани; в случае когда f А (M), иk совпадает с обычным решением, поскольку min J [иk] = 0.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть А: U → F – линейный непрерывный оператор, такой, что уравнение Au = 0 имеет единственное решение на M (M – выпуклый компакт в U); тогда для любой функции f F квазирешение существует, единственно и непрерывно зависит от f.

Эта теорема является основной для построения устойчивых методов решения многих некорректных задач. Часто на основе априорной информации о решении задачи можно сделать заключение о принадлежности его некоторому компакту M, а задача отыскания решения операторного уравнения сводится к проблеме отыскания минимума функционала J [и]

314

на M. При этом, если известна величина погрешности правой части δ , то процесс минимизации можно закончить, как только элемент иδ , такой, что выполнено условие

Auδ − fδ ≤ δ.

5.2.2. Метод регуляризации Тихонова

Рассматривается общий подход А.Н. Тихонова к построению устойчивых вычислительных алгоритмов приближенного решения некоррект-

ных задач. Метод основан на переходе от исходного уравнения первого рода к задаче минимизации функционала с дополнительным стабилизирующим слагаемым [2].

Рассмотрим уравнение

где А – линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве

положительный, его область D (A) определения плотна в H. Спектр оператора состоит из собственных чисел λ1 ≥ λ2≥ K≥ λ≥k >K 0 , стремящих-

v H справедливо

Необходимо найти приближенное решение уравнения (5.1) с приближенно заданной правой частью fδ . Это приближенное решение обозначим uα , где параметр α = α (δ ) связан с величиной погрешности в задании правой части.

Основная идея построения устойчивых методов решения некорректных задач базируется на использовании априорной информации о неточ-

315

ности во входных данных. Поскольку правая часть задана с погрешностью, нет необходимости точно решать уравнение

можно перейти к некоторой другой, уже корректной задаче

Aα uα = fδ ,

вкоторой оператор Aα обладает лучшими свойствами, чем А.

Ввариационных методах (в методе квазирешений) вместо решения

уравнения (5.3) минимизируется норма невязки r = Av – fδ , т.е. миними-

зируется функционал невязки

J0 (v) = Av − fδ 2 .

В соответствии с методом регуляризации А.Н. Тихонова вводится сглаживающий функционал

Приближенное решение uα исходной задачи (5.1), (5.2) доставляет экстремум функционалу:

αα α

vH

В(5.4) α > 0 – параметр регуляризации, величина которого согла-

суется с погрешностью задания правой части. Для выделения ограниченного решения в функционал невязки добавлен стабилизирующий функ-

ционал v 2 .

Сходимость метода регуляризации Тихонова. Для доказатель-

ства сходимости данного алгоритма представим приближенное решение в операторном виде

316

При исследовании условно корректных задач необходимо выделить класс искомых решений, явно указать априорные ограничения на решение. Для задачи (5.1), (5.2) важна ограниченность решений, т.е. априорные ограничения на решение

где M = const > 0.

Теорема 1. Пусть для погрешности правой части (5.1) выполнена оценка fδ − f ≤ δ. Тогда приближенное решение uα , определяемое как

Доказательство.

Если выполнены условия на оператор А, то точное решение уравнения представимо в виде

k =1

317

Здесь R (α ) f – решение задачи минимизации сглаживающего функционала при точном задании правой части.

С учетом (5.8), (5.9) получим

Оценка (5.11) выражает устойчивость решения задачи (5.4), (5.5) по отношению к малым возмущениям правой части.

Оценим теперь z2 для погрешности приближенного решения, т.е. оценим близость точного решения (5.1) и решения задачи минимизации сглаживающего функционала при одной и той же правой части. Из (5.8), (5.9) имеем

318

сходится, и поэтому найдется n (ε) такое, что

Вместо экстремальной задачи (5.4), (5.5) можно решить соответствующее уравнение Эйлера. В этом случае приближенное решение опре-

Переход к корректной задаче (5.14) от некорректной (5.3) осуществляется за счет перехода к задаче с самосопряженным оператором A*A (домножая (5.3) слева на A*) и его последующего возмущения оператором α Е.

Отмеченная эквивалентность задачи минимизации (5.4), (5.5) и уравнения (5.14) дает определенную свободу при выборе вычислительного

319

алгоритма. Вариационный подход имеет большую общность, он позволяет с единых методологических позиций рассмотреть различные классы задач. Для нахождения численного решения часто удобнее ориентироваться на соответствующее уравнение Эйлера.

Если оператор А самосопряженный, положительный, то можно ограничиться возмущением самого оператора:

Задача (5.15) соответствует использованию алгоритма упрощенной регуляризации.

Фактически, помимо вариационных методов решения некорректных задач типа (5.4), (5.5), можно выделить второй класс приближенных методов (5.14), (5.15), которые характеризуются возмущением оператора исходной или преобразованной задачи.

Вместо (5.7) потребуем выполнения более сильных ограничений на точное решение (5.1):

В случае самосопряженного и положительного оператора А промежуточное между (5.7) и (5.16) положение занимает класс априорных ограничений на решение типа

В условиях (5.16), (5.17) конкретизируем зависимость s (α ) в оценке погрешности типа (5.13) для метода регуляризации.

Для A* = A > 0 соотношение (5.14) примет вид

Теорема 2. Для погрешности приближенного решения задач (5.1), (5.2), определяемого из (5.14), справедлива априорная оценка

для точных решений из класса (5.16) и

320