1465

Тогда для погрешности итерационного метода (5.31), (5.32), (5.39), в котором u0 = 0, справедлива оценка

Доказательство можно найти в [2].

Минимизация правой части оценки (5.41) формулирует критерий для окончания итераций

т.е. n(δ) = O(δ−1/( p+1) ) . В этом случае для погрешности приближенного решения получаем оценку

Согласно оценке (5.43) скорость сходимости приближенного решения находится в прямой зависимости от погрешности в задании правой части и гладкости точного решения (параметр р)

Обобщения. Выше отмечалась возможность оптимального выбора числа итераций в случае известного класса априорных ограничений на точное решение задачи (постоянная М в (5.40)). При практическом использовании итерационных методов решения некорректных задач класс априорных ограничений часто не удается сформулировать явно. Поэтому вместо (5.42) оптимальное число итераций выбирается по невязке, т.е. итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

Для решения СЛАУ рассматривались итерационные методы вариационного типа (применимые и для решения других классов задач). Они характеризуются использованием явных расчетных формул для итераци-

331

онных параметров. Например, метод скорейшего спуска (наименьших невязок) задается итерационной формулой

Можно применить метод сопряженных градиентов, который относится к классу трехслойных итерационных методов:

Для итерационных параметров используются расчетные формулы

Не останавливаясь на регуляризирующих свойствах таких итерационных методов, отметим только, что для вариационных итерационных методов (5.46), (5.47) и (5.48), (5.49) для решения некорректной задачи (5.1), (5.2) получены аналогичные результаты, что и для метода простых итераций (5.31).

В случае неявных итерационных методов (5.29), (5.30), когда В ≠ Е, возникает проблема выбора оператора В при решении некорректных задач. При решении СЛАУ выбор оператора (матрицы) В подчинен исключительно ускорению скорости сходимости итерационного метода. При решении некорректных задач итерационный процесс обрывается при достижении невязки величины погрешности входных данных. В данном случае важна не только скорость сходимости, существенно, и в каком классе гладкости этот процесс сходится, в какой норме достигается необходимый уровень невязки. Важно, что выделение приближенного решения из необходимого класса гладкости может достигаться именно выбором оператора В.

332

5.2.5. Метод усеченных сингулярных разложений

Метод усеченных сингулярных разложений связан с ортогональными разложениями, в частности с рядами Фурье [3].

Определение. Сингулярным разложением оператора А: U → F называется его представление в виде

k =1

где {uk}, {fk} – нормированные ортогональные системы в пространствах U и F соответственно, а величины σ k называют сингулярными числами оператора А.

Будем считать последовательность {σ k } ограниченной. Тогда оператор А представляет собой непрерывный линейный оператор из U в F с сопряженным оператором

являются самосопряженными в U и F соответственно. Спектр оператора

B = A*A

содержит собственные значения σ2k , которым соответствуют собственные

элементы uk и, возможно, собственное значение 0, кратность которого может быть как конечной, так и бесконечной. То же самое справедливо для оператора A*A с собственными элементами fk.

При этом собственные элементы связаны соотношениями

Обратно, если {fk}, {uk} – нормированные системы собственных элементов операторов А*А и АА*, удовлетворяющие соотношениям (5.51), то оператор допускает представление (5.50). В частности, компактные (вполне непрерывные) операторы всегда допускают сингулярное разложение, причем для них σ k → 0, k → ∞ . Имеет место теорема.

333

Теорема. Если оператор А допускает сингулярное разложение (5.50), то оператор, заменяющий обратный, строится по правилу

k=1

Всилу теоремы оператор А+ неограничен в том и только в том слу-

чае, если σ k → 0. В этом случае оператор А+ можно регуляризовать с помощью усеченного сингулярного разложения, если сохранить конечное число членов ряда (5.50) и отбросить растущие слагаемые:

k=1

Вэтом случае параметром регуляризации служит число N, которое выбирается исходя из априорной информации о погрешности δ .

Анализируя структуру сингулярного разложения, можно понять при-

роду некорректности. Пусть fδ аппроксимирует f, т.е. f − fδ F ≤ δ. Если

известно только fδ , то для коэффициентов разложения R f из теоремы можно получить оценку

σ−k 1 ( f , fk ) − σ−k 1 ( fδ, fk ) ≤ δσ−k 1 .

Из этой оценки ясно, что вклад слагаемых uk в разложении A+f для малых σ k (практически σ k < δ ) нельзя вычислить с приемлемой точностью. Таким образом, зная сингулярные числа и соответствующие им собственные элементы, можно судить о том, какие компоненты решения равнения (5.50) вычисляются по приближению элемента fδ , а какие вычислить невозможно. Однако вычисление или нахождение асимптотик сингулярных чисел операторов и численное исследование их зависимостей от параметров некорректной задачи является весьма сложной проблемой, хотя для некоторых задач можно построить их явные представления (особенно для самосопряженных операторов).

Отметим, что число N слагаемых, участвующих в представлении (5.54), определяется из критерия невязки:

N = max N(δ) : Au − fδ ≤ δ.

Замечание. Нетрудно установить, что процедура минимизации стабилизирующего функционала Тихонова при наличии сингулярного разложения приводит к решению (5.54), следующего вида:

334

uδ = ∑ σ2σ+k α( fδ, fk )uk ,

k

причем параметр регуляризации α > 0 должен быть согласован с погрешностью входной информации δ и также может быть выбран из критерия невязки.

5.2.6. Проекционный метод

Одним из эффективных способов построения приближенных решений операторных уравнений является проекционный метод, согласно которому приближенное решение операторного уравнения ищется в виде линейной комбинации некоторой линейной независимой системы функций – базисных функций [3]. Таковыми являются хорошо известные методы взвешенных невязок Бубнова–Галеркина, метод моментов (Петрова–Галеркина) и т.д., широко применяемые для решения дифференциальных уравнений. При использовании этой идеи для решения операторных уравнений 1-го рода с вполне непрерывными операторами необходимо формулировать достаточно жесткие условия на систему базисных функций.

Вновь рассмотрим операторное уравнение Au = f, где А – линейный непрерывный оператор А: U → F, причем U, F – сепарабельные пространства и ker A = {0}.

Будем искать его решение в виде

k =1

причем {ϕ k} – заданная линейно независимая система в V. Представление вида (5.55) дает существенную априорную информацию о точном решении и; размерность представления N и коэффициенты этого разложения требуется определить. Отметим, что если при решении корректных задач на основе такого подхода с увеличением числа N базисных функций uN, как правило, приближается к точному решению, то для некорректных задач с неточно заданной правой частью fδ это не так.

335

Введем число

N* = N (δ) : U (N* −1,δ) = , U (N* ,δ)≠ .

Справедлива теорема, позволяющая осуществить выбор N. Теорема. δ0> 0 такое, что N (δ) = N* для 0 < δ< δ0 и

sup u − uN → 0 при δ → 0.

u U ( N* , δ)

Отметим, что сходимость приближенных решений к точному будет иметь место лишь при специальном выборе системы {ϕ k}. Пусть, дополнительно, оператор А вполне непрерывен. Тогда оператор А*А – вполне непрерывный самосопряженный оператор и по теореме Гильберта– Шмидта существует ортонормированный базис из собственных элементов {ϕ k} оператора А*А,

Теперь определим множество U (N,δ) , как это указано выше, взяв

в качестве базисных функций собственные функции оператора А*А. Тогда δ> 0 множества U (N,δ) непусты при достаточно большом N и име-

ет место следующая теорема.

Теорема. Если базис из собственных элементов упорядочен по невозрастанию сингулярных чисел, то при δ → 0

sup u − uN → 0 .

u U ( N* , δ)

Замечание. Обычно постоянные ak определяются из условия минимума квадратичного функционала невязки

практически идентично методу квазирешений, что приводит к решению линейной алгебраической системы

k =1

причем матрица системы есть матрица Грама для системы элементов {ϕ k}, которая невырождена, поскольку det[B] ≠ 0 в силу линейной неза-

висимости {ϕ k}.

336

Однако система собственных функций оператора А*А может быть построена не всегда. В этом случае приходится использовать любую полную в U систему функций, что в значительной степени усложняет как обоснование этого метода, так и его практическую реализацию.

Замечание. Из доказательства теоремы следует конструктивный способ выбора N* = N (δ) , при котором выполняются неравенства

Задачи:

1.Сформулируйте и докажите теорему о сходимости метода простых итераций для решения некорректных задач.

2.Объясните особенности применения итерационных методов вариационного типа для решения некорректных задач.

3.Поясните суть метода усеченных сингулярных разложений.

4.Поясните суть проекционного метода решения некорректных задач.

Вопросы для самопроверки

1.Для чего применяются методы регуляризации?

2.Что называется квазирешением некорректной задачи.

3.Сформулируйте идею метода квазирешений.

4.В чем суть метода регуляризации Тихонова?

5.Чем метод Тихонова отличается от метода квазирешений?

6.Сформулируйте и докажите теорему о сходимости метода регуляризации Тихонова.

7.Сформулируйте и докажите теорему об априорных оценках приближенного решения.

8.В чем суть выбора параметра регуляризации в методе Тихонова?

9.В чем состоит идея применения итерационных методов для решения некорректных задач?

5.3.НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

5.3.1. Обратные ретроспективные задачи

Обратные ретроспективные задачи применяются в разных областях знания при идентификации различных динамических объектов. В механике деформируемого твердого тела наиболее актуальны и важны ретро-

337

спективные постановки для моделей термоупругости и вязкоупругости. Соответствующие операторные уравнения, связывающие начальные условия и текущие значения полей, оказываются линейными и непрерывно зависящими от начальных данных. Обращение соответствующих операторных уравнений приводит к линейным некорректным задачам, требующим регуляризации. Наиболее часто для таких задач используется метод регуляризации Тихонова, метод усеченных сингулярных разложений и метод квазиобращения.

Обратные ретроспективные задачи в термоупругости имеют несколько типов постановок, наиболее часто встречается концепция несвязной задачи, модель которой основана на анализе начально-краевых задач для уравнения теплопроводности при разных способах измерения температуры.

В качестве модельных примеров таких задач рассмотрим следующую краевую одномерную задачу для уравнения теплопроводности:

θ(x,0) = φ(x).

Сформулируем обратную ретроспективную задачу: найти начальное распределение температуры φ(x) по некоторой информации о поле температур. При этом различают две основных постановки обратной задачи:

1. Известно поле температур в некоторый момент времени Т:

θ(x,T ) = f (x), x [0,l] .

2. Известно поле температур в некоторой точке х0 внутри среды (от-

резка [0, l]):

θ(x0 ,t) = g(t), t [t1,t2 ].

С точки зрения наблюдения за объектом исследования вторую постановку обеспечить проще, выполняя измерение температуры в одной точке, однако сравнительный анализ постановок задач позволяет выявить некоторые особенности реконструкции начального условия, важные для постановки эксперимента.

338

Первая постановка обратной ретроспективной задачи. Итак, тре-

буется найти начальное распределение температуры по информации об этом поле в некоторый момент времени t = T > 0 [3]:

Из граничных условий находим

C2 = 0, C1λsin λl = 0

и, следовательно,

339

На основании (5.59), (5.60) обратная задача при удовлетворении условия (5.58) сводится к интегральному уравнению Фредгольма I рода:

причем ядро оператора

K1 (x,ξ) = K (x,ξ,T ) .

Отметим, что ядро К1 (х, ξ) является симметричным, а оператор К1ϕ – самосопряженным в L2[0, l]. Собственные функции ядра –1, cos λ nx – представляют собой полную ортогональную систему в L2[0, l], а сингулярными числами оператора К1 являются

и сходимости ряда справа, ядро К1 (х, ξ) (по теореме Вейерштрасса) представляет собой непрерывную функцию, следовательно, К1 является вполне непрерывным оператором из L2[0, l] в L2[0, l], поэтому К1–1 неограничен и проблема решения (5.61) требует регуляризации.

Заметим, что, используя ортогональность системы {1, cos λ nx }, нетрудно выписать формальное решение (5.61) в виде

в силу того что коэффициенты Фурье ϕ k и fk функций ϕ (x) и f (x) соответственно связаны зависимостью

340