1465

ГЛАВА 5. ОБРАТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ

5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРЫ

Работы по обратным и некорректным задачам появились в первой половине XX века. Они были связаны с физикой (обратные задачи квантовой теории рассеяния), геофизикой (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономией и другими областями естествознания. С появлением ЭВМ область приложения обратных и некорректных задач охватила практически все научные дисциплины, в которых используются математические методы. В прямых задачах математической физики необходимо определить поля физических величин (температуру, напряжения, скорости и т.д.), при этом свойства исследуемой среды (коэффициенты уравнений), а также начальное состояние и условия на границе предполагаются известными. Однако на практике именно свойства среды часто являются неизвестными, встает проблема надежной идентификации материалов, т.е. определения физических характеристик, используемых для инженерных расчетов. И тогда возникают обратные задачи, в которых по информации о решении прямой задачи требуется определить коэффициенты уравнений. Эти задачи в большинстве случаев некорректны (неустойчивы по отношению к погрешностям измерений или имеющие неединственное решение) [1]. Решение обратных задач может помочь определить местоположение, форму и структуру включений, дефектов, источников (тепла, колебаний, напряжения, загрязнения и т.д.). Теория обратных и некорректных задач в настоящее время является одной из наиболее стремительно развивающихся областей науки. Обратные задачи имеют постоянно расширяющиеся области применения

винженерной практике, среди которых выделим следующие:

♦определение свойств материалов (механических, теплофизических), идентификация характеристик полимерных и композиционных материалов, биоматриалов, пьезокерамик;

♦моделирование явлений акустической эмиссии и установления связи основных характеристик эмиссии с параметрами напряженного состояния; это явление стало одним из перспективных способов выявления предразрушающего состояния конструкций;

♦определение расположения и мощности залежей полезных ископаемых по отраженным от месторождения звуковым сигналам (сейсмо-

301

разведка, электроразведка, гравиразведка, магниторазведка, каротаж, магнитотеллургическое зондирование и т.д.);

♦проблемы неразрушающего контроля (определение расположения

иконфигурации дефектов по измеренному полю упругих смещений на поверхности тела или по резонансным частотам);

♦восстановление формы трехмерного тела по набору его ортогональных проекций на различные плоскости (рентгеновская томография, ЯМР-томография, УЗИ и т.д.);

♦экология (диагностика состояния воздуха, воды, космический мониторинг и т.д.);

♦экономика (теория оптимального управления, финансовая математика и т.д.).

5.1.1.Обратные и некорректные задачи

Вматематической физике под прямыми задачами обычно понимают задачи моделирования каких-либо физических полей, процессов и явлений. В прямых задачах требуется найти функцию, описывающую физическое поле или процесс в каждой точке исследуемой области и в каждый момент времени. Для решения прямой задачи задаются:

1) область определения независимых параметров (координат, времени); 2) уравнение, описывающее данный процесс; 3) начальные условия (для нестационарного процесса); 4) условия на границе исследуемой области.

Вобратной задаче, помимо физического поля, неизвестны какиелибо функции, входящие в прямую задачу. Для их определения к заданным уравнениям добавляется какая-либо дополнительная информация о решении прямой задачи – данные обратной задачи.

Взависимости от того, какие функции являются неизвестными, обратные задачи можно разделить на группы.

Обратная задача называется ретроспективной, если требуется определить начальные условия.

Обратная задача называется граничной, если требуется найти функцию, входящую в граничное условие.

Обратная задача называется задачей продолжения, если начальные условия неизвестны, а дополнительная информация и граничные условия заданы только на части границы и требуется определить решение уравнения (продолжить решение внутрь области).

Обратная задача называется задачей об источнике, если требуется определить источник.

302

Обратная задача называется коэффициентной, если требуется восстановить коэффициенты, входящие в основные уравнения.

В1902 году Ж. Адамар сформулировал понятие корректности поставленной задачи для дифференциальных уравнений. Задача поставлена корректно в классическом смысле (по Ж. Адамару), если [2]

1) решение задачи существует;

2) это решение единственно;

3) решение задачи непрерывно зависит от входных данных.

Термин «некорректная задача» означает, что не выполнено хотя бы одно из перечисленных условий: либо задача не имеет решения (в интересующем нас классе), либо решение неединственное, либо процедура нахождения решения неустойчива. Наибольшую сложность при решении представляют именно задачи последнего типа, поэтому под некорректными задачами часто подразумевают именно их.

Каждую некорректную задачу можно сформулировать как обратную

кнекоторой корректной прямой задаче.

В[1] приведены примеры корректных и, соответствующих им, некорректных задач:

303

304

Прямые задачи Обратные коэффициентные задачи

Рассмотрим подробнее несколько хрестоматийных примеров некорректных задач.

Пример Тихонова [3]. Линейная алгебраическая система с плохо обусловленной (вырожденной) матрицей

2x + 3y = 5,

8x + 18 y = 50.

Матрица системы и расширенная матрица имеют ранг 1. Таким образом, система совместна и имеет множество решений, зависящих от одного параметра. Возьмем последовательность 100, 200, 300 десятичных знаков и так далее в приближении иррациональных чисел во втором уравнении. Тогда определитель системы не равен нулю и можно построить единственное решение хп, уп, соответствующее сохранению п значащих цифр в представлении иррациональных чисел. Оказывается, что построенная таким образом последовательность решений не имеет предела при п→∞ , хотя исходная информация становится все точнее и точнее. Таким образом, задача решения такой СЛАУ с вырожденной матрицей будет некорректной.

В более общем случае, если определитель равен нулю, то система имеет единственное (тривиальные) решение только при нулевой правой части. Иначе решение такой системы неединственно или вообще не существует, т.е. задача решения СЛАУ с вырожденной матрицей или близ-

305

кой к ней является некорректной. Эта ситуации типична, если матрица находится в результате некоторых приближенных вычислений и если в результате расчетов получено, например, что det A = 10–30. В этом случае ситуации, когда определитель равен нулю и решение существует только при определенных ограничениях на правую часть либо не равен нулю и система имеет единственное решение, в принципе неразличимы.

Пример Адамара [3]. Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения Лапласа:

utt (x,t) = −uxx (x,t), t > 0 ,

u(x,0) = 0, ut (x,0) = 1 sin k x . k

Несложно показать, что решением этой задачи будет функция

личении k.

Простейшая задача с обратным временем. Для параболического уравнения корректными являются задачи с заданными граничными и начальными условиями. При задании решения на конечный момент времени имеем задачу с обратным временем [2]: по заданному состоянию необходимо восстановить предысторию исследуемого процесса:

Для объяснения сущности некорректности этой задачи рассмотрим ее решение с условием

306

при k →∞ , т.е. «начальное» условие сколь угодно малое. Точное решение задачи имеет вид

Из этого представления следует, что при 0 ≤ t < T

при k →∞ . Таким образом, возмущения в «начальном» условии, сколь бы малыми они ни были, неограниченно возрастают при t < T.

5.1.2. Понятие условно корректной задачи

Необходимость решения неустойчивых задач, подобных приведенным выше, требует более точного определения решения задачи. В условно корректных задачах, задачах, корректных по А.Н. Тихонову, речь идет уже не просто о решении, а о решении, принадлежащем некоторому классу. Сужение класса допустимых решений позволяет в некоторых случаях перейти к корректной задаче.

Будемговорить, чтозадача поставленакорректнопоТихонову, если [2]:

1)априори известно, что решение задачи существует в некотором

классе;

2)в этом классе решение единственно;

3)решение задачи зависит непрерывно от входных данных. Принципиальное отличие состоит именно в выделении класса допус-

тимых решений. Класс априорных ограничений на решение может быть разный. Сама постановка задачи при рассмотрении некорректных задач

307

существенно меняется – в постановку задачи включается условие принадлежности решения некоторому множеству.

В случае если задача A u = f условно корректна на некотором множестве M и это множество – компакт, возможно построение оценок устойчивости нахождения обратного оператора.

Теорема. Пусть оператор А отображает компакт M непрерывно и взаимно однозначно на множество N. Тогда существует непрерывная функция

ω (τ ), ω (0) = 0, такая, что

u , u U u− u< ω( Au− Au ) .

1 2 1 2 1 2

Условная корректность задачи с обратным временем. Для парабо-

лического уравнения с однородными граничными условиями I рода

введем операторные обозначения: для функций, удовлетворяющих однородным граничными условиями I рода, определим оператор

Тогда параболическое уравнение можно записать как дифференци- ально-операторное уравнение для нахождения u (t) из гильбертова пространства Н = L2:

∂ u + Au = f (t), 0 ≤ t< T ,

∂ t

начальное условие (задача с «прямым» временем):

u(0) = u0 .

Оператор А является самосопряженным и неотрицательным в Н,

A* = A ≥ 0 .

Действительно,

308

Таким образом, A ≥ 0. При выводе учтено, что u(x) и w(x) обращаются в нуль на границе.

Простейшую априорную оценку для данной граничной задачи с начальными условиями получим на основе Леммы Гронуолла [2].

Лемма. Для функции g(t), удовлетворяющей неравенству

Теорема. Для решения задачи верна априорная оценка

t

u(t) ≤ u0 + ∫ f (θ) dθ, 0≤ ≤t T .

0

Доказательство.

Домножим операторное уравнение скалярно на u (x):

309

Учитывая, что

и используя неравенство Коши–Буняковского

Интегрируя по времени последнее соотношение, получим доказываемую оценку.

Следствие 1. Решение задачи единственно [2]. (Доказать самостоятельно.)

Рассмотрим задачу с возмущенными правой частью и начальными условиями:

Следствие 2. Решение задачи устойчиво (непрерывно зависит) по начальным данным и правой части. Пусть

где ε > 0. Тогда

с постоянной М = 1 + Т.

310