1465

После подстановки функции формы (4.74) в (4.75) и интегрирования можно получить уравнения для определения величин {и}∆ t и ∂ /∂ t {и}∆ t, выраженных через значения на начало интервала:

Очевидно, можно применить и более сложные конечные временные элементы с дополнительными степенями свободы.

Одним из классов динамических задач являются задачи на колебания и собственные значения. Здесь мы не будем останавливаться на особенностях их решения. За подробностями можно обратиться к [8].

Задачи:

1.Получить аппроксимацию уравнения с первой производной по времени с помощью линейного конечного элемента (соотношение (4.70)).

2.Вывести разностную схему (аналогичную (4.70)) для аппроксимации уравнения с первой производной по времени с использованием «временных» КЭ 2-го порядка лагранжева типа.

3.Вывести однослойную разностную схему с использованием полиномов Эрмита в качестве базисных функций для аппроксимации уравнения, содержащего вторую производную по времени (получить выражения для компонент матриц А, В, и С, входящих в соотношение (4.76)).

Вопросы для самопроверки

1.Приведите примеры нестационарных процессов. Запишите постановки соответствующих краевых задач.

2.Показать что дифференциальное уравнение (4.49) является уравнением Эйлера для функционала (4.50).

3.Получить локальные разрешающие соотношения (4.57) из условия минимума функционала (4.50) для линейного треугольного элемента.

4.Получить локальные разрешающие соотношения (4.57) из условия минимума функционала (4.50) для билинейного четырехугольного элемента.

271

5.Вывести локальные разрешающие соотношения (4.58) для нестационарной задачи в компонентной форме.

6.Объясните суть временной конечно-элементной аппроксимации (аппроксимации первой производной по времени с помощью конечных элементов).

4.6.ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ. ПЛАСТИЧНОСТЬ, ПОЛЗУЧЕСТЬ

Рассмотренные ранее задачи описывались линейными дифференциальными уравнениями. В задачах механики упругого тела линейность является следствием:

а) линейной связи между деформациями и перемещениями (геометрическая линейность);

б) линейной связи между напряжениями и деформациями (физическая линейность).

В задачах теории поля линейность – следствие предположения независимости постоянных (например, теплопроводности) от искомого потенциала (от температуры).

Однако на практике часто приходится решать задачи, не являющиеся линейными, описывающие, например, поведение тел в условиях пластичности, ползучести или других реологических свойств.

Эти задачи можно исследовать, не меняя их постановки, т.е. на основе тех же вариационных принципов. Если найдено решение линейнойзадачи, то можно получить решение нелинейной с помощью некоторого итерационного процесса, на каждом шаге которого материальные константы выбираются такимобразом, чтобыудовлетворитьопределяющиеуравнения [13, 14].

Однако если нелинейна связь между деформациями и перемещениями, то необходимы более существенные изменения в постановке задачи. Такие задачи будут рассмотрены в следующем разделе.

Следует отметить существенный факт. В нелинейных задачах, в от-

личие от линейных, решение часто является неединственным.

При выводе СЛАУ для линейной теории упругости (4.53) использовался линейный закон Гука в виде

Кроме того, предполагалась линейная связь между деформациями и перемещениями, перемещения считались непрерывными, и уравнения равновесия удовлетворялись приближенно.

272

При решении задач о малых деформациях, в которых используются нелинейные определяющие соотношения, изменятся только соотношения (4.77). Новое определяющее соотношение можно записать в виде

Если удастся найти такое решение (4.47), что при соответствующем подборе входящих в (4.77) параметров [D], {ε 0} или {σ 0} это уравнение и соотношение (4.78) удовлетворяются при одинаковых значениях напряжений и деформаций, то полученное решение будет искомым.

При решении таких задач целесообразно использовать итерационные методы.

Если при итерациях подбирается матрица [D], то приходим к методу переменных параметров упругости (методу переменной жесткости) [6]. Если же подбираются {ε 0} или {σ 0}, то это так называемые методы начальных деформаций или начальных напряжений.

Во многих случаях не удается установить соотношения типа (4.78) для полных напряжений и деформаций, но можно их вывести для приращений этих величин ∆ {σ } и ∆ {ε }. В этих случаях итерационные методы применяются для каждого приращения нагрузки (или времени при ползучести).

Отметим, что рассмотренные ниже итерационные процедуры решения физически нелинейных задач могут быть применены не только к МКЭ, но и к любому другому численному методу решения задач механики (например, к методу конечных разностей или граничных элементов).

4.6.1. Метод переменных параметров упругости

Метод переменных параметров упругости можно использовать в случае, если связь между напряжениями и деформациями (4.73) можно представить в форме (4.72), где матрица упругих констант зависит от достигнутого уровня деформации:

Так как матрица жесткости определяется через матрицу упругих констант, то получим уравнение

которое можно решить различными итерационными методами [11, 12].

273

Например, метод простых итераций. Сначала предполагается, что {u}(0) = 0, вычисляется [K({u}(0))] = [K(0)] и определяется {u}(1) = [K (0) ]−1{F}. Процесс повторяется в соответствии с формулой

до тех пор, пока перемещения перестанут изменяться.

Аналогичный процесс можно построить, если в соотношения типа (4.79) войдут приращения деформаций. Тогда процесс следует применить для приращений нагрузки, отсчитываемых от ранее достигнутого значения.

Метод переменных параметров упругости при простом нагру-

жении. В [15] рассматривается алгоритм применения метода переменных параметров упругости для задач пластичности (деформационная теория пластичности) и ползучести (теория течения, теория упрочнения). Отметим, что приведенные соотношения справедливы для любого численного метода, не только МКЭ. Метод основан на представлении определяющих соотношений в форме закона Гука, в котором параметры упругости зависят от напряженного состояния и поэтому различны в различных точках тела.

Итак, деформационная теория пластичности предполагает наличие однозначной зависимости между суммарными деформациями и напряжениями в упругопластическом теле, которые для изотропно тела имеют вид

eij = 1 + ν ψsij ,

E

компоненты девиаторов тензоров напряжений и деформаций соответственно. Величина ψ представляет собой параметр пластичности (при ψ = 1 получим определяющие соотношения изотропной упругости):

где использованы интенсивности напряжений и деформаций

274

В расчетах принимается, что интенсивности напряжений и деформаций связаны однозначной зависимостью

σi = f (εi ) .

Эта зависимость (обобщенная кривая деформирования), согласно гипотезе единой кривой, предполагается одинаковой для любого типа нагружения.

Экспериментальные исследования показали, что соотношения деформационной теории пластичности справедливы при монотонно возрастающем нагружении и для простого нагружения.

Эти соотношения представим в виде закона Гука с «эффективными» параметрами упругости [15, 6]:

получим связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций в случае упругопластичности:

Сравнивая (4.82) и (4.83), получим

275

откуда можно выразить эффективнее коэффициенты:

Так как параметр ψ заранее не известен, то при расчетах используют итерационный процесс последовательных приближений. В первом приближении материал считается полностью упругим и решается обычная упругая задача с обычными модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Определяют поле перемещений, по нему находят поле деформаций (и интенсивность деформации) и интенсивность соответствующих упругих

ют Е* и ν * и решают упругую задачу с новыми эффективными значениями параметров упругости (рис. 4.23). Расчет заканчивается при достаточной близости двух соседних приближений для напряжений.

Рис. 4.23. Схема расчета по методу переменных параметров упругости [15]

276

Учет ползучести по теории течения или упрочнения проводят по этапам времени. На начальном этапе решается упругая задача с эффективными параметрами упругости с определяющими соотношениями (4.82). Для следующего момента времени∆ t определяющиесоотношенияпринимаютвид

где εijc (0) – деформации ползучести, соответствующие напряженному состоянию в начале этапа нагружения:

εc (0) = Φ (0) ( (0) ∆)

ij sij t1 ,

где функция текучести в случае теории течения имеет вид

где ξic* – накопленная к моменту времени t деформация ползучести. Функция текучести определяется для значений параметров, соответст-

вующих началу этапа нагружения (σ i(0), T(0), t0 = 0, ξic* (0) = 0), величины σ

представляют собой напряжения в упругом материале при отсутствии деформаций ползучести.

где εijc (1) – деформации ползучести, накопленные к началу второго этапа нагружения,

εc (1) = εc (0) + Φ (1) (1)∆

ij ij (sij ) t2 .

Аналогично рассчитываются остальные этапы нагружения. Длительность этапов выбирают настолько малой, что изменение напряженного

277

состояния в результате ползучести незначительно (не более наперед заданного малого числа).

Наиболее просто изложенный метод реализуется при отсутствии пластических деформаций, и деформации ползучести развиваются в упругом теле. Тогда на всех этапах полагают Е* = Е и ν * = ν . Если уже на первом этапе нагружения t = 0 возникают пластические деформации (напряжения превосходят предел текучести материала), то для расчета используют метод переменных параметров упругости. Этот метод применяют и на втором этапе нагружения, причем расчет считается достоверным, если в точках, в которых имелась пластическая деформация в конце первого этапа нагружения, пластическая деформация возрастает (увеличивается интенсивность напряжений). Если это условие не выполняется, то расчет проводят снова, причем в точках разгрузки принимают Е* = Е и ν * = ν . Аналогично выполняется расчет последующих этапов нагружения.

Метод переменных параметров упругости при сложном нагру-

жении. В [15] рассматривается алгоритм применения метода переменных параметров упругости для задач пластичности и ползучести при сложном нагружении. В этом случае нагружение разбивается на ряд этапов. В большинстве случаев это разбиение целесообразно проводить по этапам действительной истории нагружения во времени. На каждом этапе нагружения должны выполняться уравнения равновесия в приращениях

∆ +σ ∆ρ =f 0

k k

и статические граничные условия в приращениях

n ∆ k σ= ∆ k t .

Предполагая аддитивность приращений упругих, пластических и деформаций ползучести, можно записать соотношение

d ε = d εe + d εp + d εc ,

которое с учетом закона Гука для упругих деформаций, определяющих соотношений пластичности и ползучести в матричной форме, преобразуется к виду

{d ε} = [a]e{d σ} + Fσ(σi ){S}d σi + {φc }d t ,

278

где [a]e – симметричная квадратная матрица упругих коэффициентов

функция при постоянной температуре (функция равна нулю в случае разгрузки); Ek (σ i) – касательный модуль, определяемый по кривой деформирования; вектор деформаций ползучести выражается через функцию текучести Φ и вектор компонент девиатора напряжений {φc} = Φ {S}.

Согласно методу переменных параметров упругости приращение полной деформации следует записать в виде

{d ε} = [a]{d σ} +{φc }d t ,

где [a] = [a]e + [a]p .

Для этого приращение пластической деформации нужно записать в виде, аналогичном приращению упругой деформации

279

или

получим выражение для компонент матрицы [a]p

Таким образом, упругопластическую задачу представили в матричной форме упругой задачи, где параметры упругости зависят от напряженного состояния.

Интегрируя по времени, получим приращение полной деформации для k-го этапа нагружения

{∆ k ε}= [a] {∆ k σ+} {φc}∆ t ,

где угловые скобки означают среднее значение.

При расчете используют процесс последовательных приближений. В первом приближении полагают

280