1465

Анализируя представление (5.62), (5.63), заметим, что для сходимости ряда в представлении ϕ (х), в силу наличия у элементов быстро растущих множителей exp(λ2naT ) , необходимо требовать довольно жестких

условий на характер убывания коэффициентов Фурье fk. Это условие выполняется далеко не для всех функций из L2[0, l], даже бесконечно дифференцируемых, поэтому использовать (5.63) для практических расчетов нельзя. Такая структура решения отражает факт неограниченности оператора, обратного к К1.

По-видимому, одним из наиболее эффективных способов построения регуляризованного решения (5.61) является метод усеченных сингулярных разложений, согласно которому регуляризованное решение имеет вид

φδ(x) = RN fδ =

а число N (в данном случае параметр регуляризации) выбирается согласовано с погрешностью δ измерения функции f ( f − fδ ≤ δ). Найдем, из каких условий оно определяется. Оценим погрешность в норме L2[0, l]:

представляет собой норму остатка сходящегося ряда и, следовательно, стремится к 0 при N→∞ .

Таким образом, погрешность регуляризованного решения оценивается через величину

m(N ,δ) = M (N ) δ+ C(N ) ,

341

и по заданному δ всегда найдется N* (δ ), доставляющее min m (N, δ ). Если необходимо построить решение обратной задачи с погрешностью, не превышающей ε , при погрешности задания входных данных δ , то порядок величины N таков:

Отметим, что при определении соотношения между параметрами ε , δ может не существовать такого целого N, следовательно, необходимой точности решения при заданной погрешности входных данных достичь невозможно.

Замечание. В принципе для решения ретроспективной задачи достаточно сделать замену переменных τ = Т – t, где Т – известное время наблюдения объекта исследования, и решить задачу с обобщенным временем. Соответствующая краевая задача относительно функции

v(τ) = θ(T − τ)

имеет вид

v(x,0) = f (x).

Для определения v (x, Т) = ϕ (x) (температуры стержня в момент Т) необходимо решить краевую задачу (5.66).

Таким образом, искомая функция находится либо из уравнения Фредгольма I рода с гладким ядром (5.60), либо при непосредственном решении (5.66) методом разделения переменных в виде ряда. Члены этого ряда, как указывалось выше, содержат экспоненциально растущие сомножители, и для его сходимости нужны очень жесткие ограничения на функцию f (х) в виде очень быстрого убывания коэффициентов ее ряда Фурье.

Далее покажем, как такому решению придать смысл.

342

Метод квазиобращения для первой постановки ретроспективной задачи с обратным временем. Помимо методов регуляризации, описанных выше, имеются и другие, применимые к конкретным задачам. К таким методам относится метод квазиобращения [3].

Этот метод является одним из способов построения регуляризующего алгоритма, основанного на переходе от задачи (5.66), определяющей обратный оператор в ретроспективной задаче, к возмущенной задаче для дифференциального уравнения в частных производных более высокого порядка, содержащей малый параметр при старшей производной. Этот метод, предложенный Латтесом и Лионсом [6], также относится к числу эффективных способов построения решения некорректных задач.

В качестве примера рассмотрим возмущенную краевую задачу для оператора 4-го порядка, соответствующую (5.66)

гдеα – положительный параметр, играющийрольпараметрарегуляризации. Отметим, что помимо возмущения дифференциального оператора, который имеет четвертый порядок, необходимо добавить дополнительные граничные условия. Эти условия выбираются таким образом, чтобы можно было легко осуществить разделение переменных. Решение задачи (5.67) строится с помощью метода разделения переменных, аналогично тому, как

это сделано в предыдущем пункте:

v(x, τ) = X (x)T (τ) .

Полагая

X n = cos πnx , l

находим

Tn = Cn exp{aλ2n τ(1 − αλ2n )} ,

где λn = πn . l

Удовлетворяя начальным условиям, находим

343

решения задачи с обратным временем, рассмотренной в предыдущем пункте и приводящей к решению уравнения Фредгольма I рода:

Будем считать, что оператор действует из L2[0, l] в L2[0, l]. Рассмотрим проблему построения решения уравнения (5.69) в случае приближен-

344

Для любого α > 0 оператор Rα определен на всем пространстве L2[0, l] и непрерывен, если его рассматривать действующим из L2[0, l] в L2[0, l] в силу сходимости ряда справа при α > 0. Отметим, что при таком подходе функцию ϕ δ (x) = Rα fδ можно рассматривать в качестве приближенного решения уравнения (5.69).

Этот подход весьма эффективен при решении многих других некорректных задач.

Вторая постановка обратной ретроспективной задачи. Рассмот-

рим краевую задачу для уравнения теплопроводности:

θ(x,0) = φ(x).

Исследуем обратную ретроспективную задачу во второй постановке

где х0 – некоторая точка внутри отрезка [0, l], что соответствует установке датчика температуры внутри тела.

Воспользуемся решением прямой задачи в виде ряда (5.59), (5.60), удовлетворяя условию (5.72), получим для определения функции ϕ (ξ) стандартную некорректную задачу – интегральное уравнение Фредгольма I рода с гладким ядром:

В представлении ядра (5.75) х0 – точка наблюдения (измерения температуры), и ее выбор имеет большое значение при исследовании вопроса о единственности решения обратной задачи. Отметим, что (5.74) уравне-

345

ние с гладким ядром, так как при t ≥ t1 > 0 ряд в (5.75) – равномерно сходится, поскольку мажорируется сходящимся рядом

Итак, ядро интегрального оператора в (5.74) – непрерывная функция. Таким образом, рассматриваемая обратная задача сведена к проблеме решения уравнения Фредгольма I рода с непрерывным ядром, которая рассмотрена выше, и требует регуляризации при решении. Отметим, что оператор K2, вотличие от первой постановки обратной задачи, является несамосопряженным. Кроме того, уравнение (5.74) в рассматриваемом случае может иметь единственное решение, а может и не единственное. Оказывается, это в значительной степени зависит от выбора точки х0 [0, l], где происходит измерениетемпературы. Приэтомвозможныследующиеситуации:

1.Точка х0 совпадает с одним из концов отрезка [0, l] (например, х0 = 0);

вэтом случае решение единственно. Действительно, пусть t [t1, t2]. Введем функциюкомплексного переменного

аналитическая функция, так как она представима равномерно сходящимся рядом из аналитических функций. В области Re z [ t1, t2] Φ (z) = 0, тогда по теореме о единственности продолжения аналитической функции Φ (z) = 0 всюду в полуплоскости Re z > α . Следовательно,

1

∫φ(ξ) cos(λnξ) d ξ = 0, n = 0,1, 2...

0

346

Так как система функций {1, cosλ nξ} полна на [0, l], то ϕ (ξ) ≡ 0 на этом отрезке и имеет место единственность решения обратной задачи.

2. Пусть точка наблюдения отлична от конца стержня, например

x0 = l . Выясним, будет ли единственным образом восстановлено началь-

2

ное распределение температуры в этом случае. Пусть

φ(ξ) = cos πξ l

– начальное распределение температуры. Тогда в соответствии с общим представлением (5.59), (5.60) θ (x0, t) = 0, и однородное уравнение

1

∫ K (t,ξ)φ(ξ) d ξ = 0, t [t1,t2 ]

0

имеет нетривиальное решение. Отсюда следует, что решение обратной задачи в этом случае неединственно. Обратим внимание на то, что в этом случае обращается в нуль первое сингулярное число оператора σ 1 = 0 (σ 0 > 0). Далее, если точка x0 – точка измерения температуры с рациональной координатой, то всегда найдется обращающееся в нуль сингулярное число исходного оператора, и в этом случае обратная задача не будет иметь единственное решение. Эта особенность подчеркивает тот факт, что при постановке обратных задач особое внимание должно уделяться вопросам обеспечения единственности решения.

Регуляризованные разностные схемы. Важный класс методов ре-

шения некорректных задач связан с возмущением исходного уравнения. В методе квазиобращения такое возмущение проводится для оператора исходной дифференциальной задачи. Более естественный подход основан на возмущении сеточной задачи. По этому принципу строятся регуляризованные разностные схемы [2].

Для общих двух- и трехслойных схем формулируются способы улучшения устойчивости, точности, экономичности разностных схем. На основе принципа регуляризации проводится исследование устойчивости и сходимости широкого класса разностных схем для краевых задач математической физики, строятся итерационные алгоритмы решения сеточных задач.

Принцип регуляризации разностных схем широко используется для построения устойчивых разностных схем и при численном решении кор-

347

ректных задач. На основе этого принципа строятся разностные схемы для

условно корректных нестационарных задач математической физики.

При этом безусловно устойчивые разностные схемы реализуются следующим образом [2]:

1.Для исходной задачи строится простейшая разностная схема (производящая разностная схема), не обладающая необходимыми свойствами, т.е. схема является условно устойчивой либо даже абсолютно неустойчивой.

2.Разностная схема записывается в канонической форме, для которой условия устойчивости известны.

3.Устойчивость разностной схемы улучшается за счет возмущения оператора разностной схемы.

Таким образом, принцип регуляризации разностных схем базируется на использовании уже известных результатов об условиях устойчивости,

иэтот принцип можно рассматривать как элемент конструктивного использования общих результатов теории устойчивости разностных схем. Это достигается за счет записи разностных схем в достаточно общей канонической форме и формулировки критериев устойчивости, удобных для проверки.

Для иллюстрации возможностей этого принципа рассмотрим его применение для прямой краевой задачи для параболического уравнения [2]. В качестве производящей берется условно устойчивая схема. Для получения абсолютно устойчивой схемы возмущаются операторы явной разностной схемы.

Рассмотрим двумерную задачу

348

Будем считать, что коэффициент k достаточно гладкий и k (x) ≥ κ, κ> 0, x Ω .

Для дифференциальной задачи (5.77)–(5.79) запишем соответствующую дифференциально-разностную задачу, полученную после дискретизации по пространству на равномерной сетке с шагами hα , α = 1, 2. Пусть ω – множество внутренних узлов.

На множестве сеточных функций y (x), таких, что y (x) = 0, x ω , определим сеточный оператор:

положим

ai (x) = k (x1 − 0,5h1, x2 ) ,

a j (x) = k (x1, x2 − 0,5h2 ) .

В сеточном гильбертовом пространстве H = L2 (ω ) скалярное произведение и норма вводится соотношением

( y, w) = ∑ y(x)w(x)h1h2 , y = ( y, y) .

x ω

В H выполняется Λ= Λ* ≥ mE, m > 0. Для задачи (5.77)–(5.79) запишем дифференциальное операторное уравнение

Построим безусловно устойчивые двухслойные разностные схемы для (5.81), (5.82) на основе принципа регуляризации.

В соответствии с принципом регуляризации выберем в качестве производящей схемы простейшую явную схему

349

где N0 τ = T.

Запишем разностную схему (5.83), (5.84) в канонической форме двухслойных операторно-разностных схем:

Необходимое и достаточное условие устойчивости схемы (5.84), (5.85) в HA:

2

т.е. при выполнении (5.86) справедлива оценка

yn+1 A ≤ u0 A .

С учетом неравенства Λ ≤ Λ E из условия устойчивости (5.86) получим следующее ограничение на шаг:

τ≤ Λ2 .

Вданном случае Λ =O( h −2 ), где h 2 = h12 + h22 и максимально до-

пустимый шаг τ0 = O ( h 2 ).

В соответствии с (5.86) повышение устойчивости может достигаться либо за счет увеличения энергии (By, y) оператора B, либо за счет уменьшения энергии (Аy, y) оператора А.

Рассмотрим вначале аддитивную регуляризацию (регуляризация за счет добавления операторных слагаемых в операторы А и В). Начнем

350