1465

Таблица 4 . 2

Формулы численного интегрирования для треугольников

251

Таблица 4 . 3

Формулы численного интегрирования для тетраэдров

Задачи:

1. В плоскости (х, у) координаты узлов четырехугольного элемента: (0, 0), (1, 0), (0,4, 0,4), (0, 1). Построить изопараметрическое отображение на квадратный билинейный элемент, определенный условием 1 ≤ ξ , η ≤ 1. Показать, что отображение является вырожденным.

2.Для некоторого четырехугольного элемента с восемью узлами

вплоскости (х, у) узлы в серединах сторон совпадают со средними точками отрезков прямых, соединяющих угловые узлы. Показать, что для изопараметрического отображения этого элемента на квадратный серен-

дипов элемент, определенный условием –1 ≤ ξ , η ≤ 1, требуются только билинейные базисные функции, отвечающие угловым узлам.

252

3. В системе координат (ξ , η ) рассмотреть элемент, являющийся равнобедренным прямоугольным треугольником с узлам в точках (0, 0), (1, 0), (0, 1). Вычислить базисные функции для этого элемента. Построить отображение произвольного треугольного элемента с тремя узлами на этот элемент.

4.В системе координат (ξ , η ) задан равнобедренный прямоугольный треугольник с шестью узлами, имеющими координаты (0, 0), (0,5, 0), (1, 0), (0,5, 0,5), (0, 1), (0,5, 0). Вычислить базисные функции для этого элемента. Построить изопараметрическое отображение треугольного элемента, координаты узлов которого в плоскости (х, у) – (1, 1), (5, 1), (8, 2), (7,5, 4), (4, 5), (2, 3) на описанный выше равнобедренный прямоугольный треугольник.

5.При конечно-элементных вычислениях часто требуется находить

ту Ωе. Найти число узлов, требующееся для точного вычисления этих интегралов при использовании квадратур Гаусса, если Ωе а) билинейный элемент с четырьмя узлами; б) серендипов элемент с восемью узлами; в) лагранжев элемент с девятью узлами.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое параметрическое отображение?

2.В чем особенность дифференцирования и интегрирования функций форм по локальным координатам? Как перейти к производным по глобальным пространственным переменным?

3.Как от дифференцирования по L-координатам в треугольном конечном элементе перейти к производным по глобальным пространственным переменным?

4.Что такое изопараметрические, суперпараметрические и субпараметрические элементы? Приведитепримеры. Вчемразницаихприменения?

5.В чем особенность применения квадратурных формул Гаусса для численного интегрирования полиномов?

6.Какая связь между степенью интегрируемого полинома и количеством точек интегрирования в квадратурных формулах Гаусса для функций одной переменной?

7.Как обобщить квадратурные формулы Гаусса для интегрирования функций двух и трех переменных?

253

4.4. РАЗРЕШАЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ МКЭ ДЛЯ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Разрешающие соотношения МКЭ для квазистатической задачи теории упругости могут быть получены с помощью проекционных методов [6] или на основе вариационного подхода. В задачах теории упругости соотношения выводятся на основе принципа виртуальной работы. Коротко рассмотрим применение вариационного подхода на примере пространственной задачи теории упругости [4].

Пусть du – виртуальное перемещение элемента объема Ω. Тогда виртуальные деформации в этом объеме dε , где ε =12( u+ uT ) – тензор

малых деформаций.

Согласно принципу виртуальной работы сумма потенциала внешних нагрузок dV и величины запасенной энергии деформации d U при виртуальных перемещениях du равны нулю:

dV + dU = 0.

Поскольку величина запасенной энергии деформации

dU = ∫σ: d εd Ω ,

Ω

сумма потенциала внешних (объемных и поверхностных) нагрузок

− dV = ∫ρ f d u dΩ + ∫ t d u d S.

Ω St

Тогда принцип виртуальной работы примет вид

Если учесть определяющие соотношения линейной упругости

σ = D : (ε− ε0 ) + σ0 ,

окончательно получим

254

Теперь можно получить локальные разрешающие соотношения МКЭ (для одного элемента) в матричной форме.

Заметим, что поверхностные силы описывают силовое взаимодействие выделенного конечного элемента с окружающими элементами. При ансамблировании, в силу третьего закона Ньютона, они взаимоуничтожатся с аналогичными силами соседних элементов и останутся только на внешних границах рассматриваемого тела.

Перемещения аппроксимируются на элементе с т узлами соотношением

m

{d um}e = ∑[ϕ r ]{d ur }. r =1

Компоненты тензора малых деформаций связаны с перемещениями соотношениями

Здесь γ xy = 2ε xy и т.д., где ε xy – сдвиговая компонента тензора малых деформаций. Или с учетом соотношения для аппроксимации перемеще-

ний (4.42)

255

где [Br] – матрица градиентов, содержит производные от базисных функций. Аналогично для виртуальных деформаций

m

{d ε }= ∑[Bi ]{d ui }.

i=1

Закон Гука для изотропной среды связывает компоненты тензоров напряжений и деформаций соотношением в матричной форме

{σ} = [D]({ε} −{ε0}) +{σ0} , где

256

Пусть вектора

определяют узловые силы, которые статически эквивалентны граничным (поверхностным) нагрузкам и распределенным (объемным) силам. Каждая сила должна иметь столько же компонент, сколько и соответствующее перемещение в узле i, и компоненты вектора силы параллельны компонентам перемещения.

В приведенных обозначениях выражение (4.41) примет вид

Таким образом, для каждого элемента получили соотношения в виде СЛАУ относительно узловых перемещений:

{F}e = [k]e{u}e + {F}eε0 + {F}σe 0 + {F}ef ,

где локальная матрица жесткости (размером 3т×3 т, где т – число узлов в элементе)

257

узловые силы, обусловленные объемными нагрузками (вектор из 3т компонент)

силы, обусловленные начальной деформацией (вектор из 3т компонент)

узловые силы, соответствующие начальным напряжениям (вектор из 3т компонент)

Отметим, что локальная матрица жесткости [k ]e разбивается на

блоки ∫ [Bi ]т[D][Br ]dΩ размер которых зависит от размерности решае-

Ω e 3× 6 6× 6 6× 3

мой задачи и для трехмерного случая равен 3×3. И теперь если вместо

_____

локальной нумерации узлов i, r = 1, m , где т – число узлов в элементе,

_____

ввести глобальную нумерации узлов I , R = 1, N e , где Nе – число узлов в

расчетной области, то блок локальной матрицы ∫ [BI ]Т[D][BR ]dΩ при

Ω e 3× 6 6× 6 6× 3

ансамблировании встанет на пересечении I-го столбца, R-й строки и R-го столбца, I-й строки в глобальной матрице жесткости.

То же самое происходит при ансамблировании локальных векторов на-

имеютразмер3×1 ивстанутв I-юстрокуглобальноговектора нагрузок. После ансамблирования, исключения поверхностных нагрузок,

описывающих взаимодействие между элементами, и учета статических граничных условий получаем СЛАУ для всего рассматриваемого тела:

[K ]{u} + {F}ε0 + {F}σ0 + {F}f + {F}Γ t = 0 ,

258

где [K], {F}f, – соответственно глобальные матрица жест-

кости и вектора нагрузок, обусловленных объемными силами, начальными напряжениями и начальными деформациями; вектор поверхностных нагрузок, учитывающий статические граничные условия t = n σ, x, y, z Γ t .

Обозначим {F} = {F}ε0 +{F}σ0 +{F} f +{F}Γ t , тогда глобальная система уравнений относительно узловых перемещений в окончательном виде

Полученная СЛАУ имеет симметричную ленточную вырожденную матрицу. Сумма элементов матрицы по строкам или столбцам равна нулю (выполнение этого может выступать некоторым критерием правильности построения глобальной матрицы). Учет заданных кинематических граничных условий сделает матрицу невырожденной.

Заметим, что статические граничные условия были учтены автоматически при построении системы: они вошли в вектор поверхностных на-

на перемещения), необходимо преобразовать глобальную систему уравнений следующим образом:

Пусть ит – заданное перемещение по направлению т-й степени свободы (всего М степеней свободы), тогда

1) из вектора {F} вычитается т-й столбец матрицы [К], умноженный на ит:

′ ____

fi = fi − Kimum , i = 1, M , i ≠ m ;

2) обнуляется т-я строка и т-й столбец матрицы [К] за исключением диагонального элемента, который равен 1:

____

Kim = 0, Kmi = 0, i =1, M ,i ≠ m,

Kmm =1;

3) т-ю компоненту вектора {F} следует приравнять к ит: fm = um .

259

Задачи:

1.Запишите аппроксимацию вектора перемещения для двумерной задачи с использованием линейных треугольных КЭ, квадратичных треугольных КЭ.

2.Запишите аппроксимацию вектора перемещения для двумерной задачи с использованием линейных четырехугольных КЭ, квадратичных четырехугольных КЭ серендипова типа.

3.Запишите вид матрицы градиентов для двумерной задачи с использованием линейных треугольных КЭ, квадратичных треугольных КЭ.

4.Запишите вид матрицы градиентов для двумерной задачи с использованием линейных четырехугольных КЭ, квадратичных четырехугольных КЭ серендипова типа.

5.Пусть на границе расчетной области задана распределенная нагрузка t = {q, 0}, q = const . Получите соответствующий локальный вектор

распределенных нагрузок для линейного треугольного КЭ, квадратичного треугольного КЭ.

6. Пусть на границе расчетной области задана распределенная нагрузка t = {0, q}, q( y) = ay + b. Получите соответствующий локальный

вектор распределенных нагрузок для линейного треугольного КЭ, квадратичного треугольного КЭ.

Вопросы для самопроверки

1.Получить разрешающие соотношения МКЭ для задачи теории упругости с помощью проекционного метода – метода Галеркина.

2.Сформулируйте принцип виртуальной работы для механической системы.

4.5.ПОСТАНОВКАНЕСТАЦИОНАРНЫХИДИНАМИЧЕСКИХЗАДАЧ

Типичными примерами нестационарных и динамических задач являются задачи нестационарной теплопроводности и диффузии, распространения волн в жидкостях и газах, задачи динамического поведения конструкций и т.д. Несмотря на то, что эти процессы описываются различными уравнениями сточки зрения математики – параболическими или эллиптическими, подходы к их решению с точки зрения МКЭ едины. Причем конечно-элементную дискретизацию можно использовать лишь для пространственных переменных. Вто же время существуют методы иподходы, позволяющие включить и вре- менноеизмерениевконечно-элементнуюдискретизацию.

Рассмотрим вначале квазигармоническое уравнение для нестационарных задач

260