1465

Для того чтобы сохранить первый порядок аппроксимации в схеме

(5.85), (5.87), достаточно выбрать α = O (τ ).

В качестве характерных рассмотрим два способа выбора регуляризующего оператора:

Непосредственно устанавливается, что регуляризованная разностная схема (5.85), (5.87) устойчива в HA при α ≥ τ /2 в случае (5.88) и α ≥ τ 2/16

при (5.89).

Регуляризованная схема (5.85), (5.87), (5.88) соответствует использованию стандартной схемы с весами

при выборе α = σ τ .

Стандартный подход к построению устойчивых схем базируется на основе использования аддитивной регуляризации. Вторая возможность связана с мультипликативным возмущением сеточных операторов про-

изводящей схемы. Рассмотрим некоторые простейшие примеры использования такого подхода, часть из которых можно считать новой интерпретацией уже рассмотренных выше регуляризованных схем.

При мультипликативной регуляризации оператора В произведем, например, замену B → B (E + α R) или B → (E + α R) B. При таком возмущении все операторы – из класса самосопряженных, если R = R*. При этом получим регуляризованную схему (5.85), (5.87), рассмотренную выше.

Пример более сложной регуляризации дается преобразованием

B → (E + α R*) B (E + α R).

В случае R = A условие устойчивости имеет вид α ≥ τ /8. Другой пример такой регуляризации соответствует попеременно-треугольному методу, когда A = R* + R и α ≥ τ /2.

351

Аналогично проводится мультипликативная регуляризация за счет возмущения оператора А. С учетом неравенства (5.86) можно осуществить преобразование A → A (E + α R)–1 или A → (E + α R)–1 A. Для простейших двухслойных схем такая регуляризация может рассматриваться как новая редакция регуляризации оператора В. Для того чтобы остаться в классе схем с самосопряженными операторами, достаточно выбрать R = (А). Большие возможности предоставляет регуляризация

А → (E + α R*)–1 А (E + α R)–1.

В этом случае регуляризирующий оператор R может напрямую не связываться с оператором А.

Теперь рассмотрим применение принципа регуляризации для приближенного решения некорректной задачи. В области будем искать решение параболического уравнения

которое отличается от (5.77) только знаком при производных по пространству (соответствует замене t на –t). Граничные и начальные условия остаются прежними:

u(x,t) = 0, x ∂ Ω , <0 < t T , u(x,0) = u0 (x), x Ω .

Дифференциальной задаче (5.78), (5.79), (5.90) поставим в соответствие задачу Коши для дифференциально-операторного уравнения

Построим безусловно устойчивые разностные схемы на основе принципа регуляризации разностных схем.

Используем принцип регуляризации для построения разностных схем для рассматриваемой некорректной задачи. Запишем простейшую явную разностную схему:

352

Определение. Разностная схема называется ρ-устойчивой (равномерно устойчивой) по начальным данным в Н, если существуют постоянная ρ> 0 и постоянная m1, не зависящие от τ , n, такие, что при любых n и при всех yn H для решения yn+1 разностного уравнения справедлива оценка

yn+1 H ≤ ρ yn H , tn ωτ ,

причем ρn ≤ m1.

В теории разностных схем в качестве константы ρвыбирается обычно одна из величин

ρ= 1, ρ= 1 + с τ , ρ= exp{с τ },

где постоянная с не зависит от τ , n. Теорема. Разностная схема

где ρ-устойчива в НВ тогда и только тогда, когда А и В – постоянные операторы, А = А*, В = В* > 0 и выполнено условие

С доказательством можно ознакомиться в [2].

353

Теорема. Явная схема (5.84), (5.92) ρ-устойчива в Н с

Доказательство. Этот результат следует из общих условий ρ-устой- чивости двухслойных операторно-разностных схем. Разностная схема (5.84), (5.85) с самосопряженными и постоянными операторами B > 0, A, будет ρ-устойчива в НВ при

Для данной схемы (5.84), (5.92) B > 0, A < 0 для ρ> 1 правая часть двустороннего операторного неравенства (5.96) выполнена при всех τ > 0. Левая часть (5.96) принимает вид

ρ−1 ≥ Λ

τE

и с учетом (5.94) имеет место при выборе ρсогласно (5.95).

Замечание. При приближенном решении некорректных задач выбор параметра регуляризации должен быть согласован с уровнем погрешности во входных данных, т.е. при заданном параметре регуляризации α указывается минимальное значение ρсогласно (5.95).

Исходя из явной схемы (5.84), (5.92) для задачи (5.82), (5.91) запишем регуляризованную схему в каноническом виде (5.85), где

Теорема. Регуляризованная схема (5.85), (5.97) ρ-устойчива в НВ с

при выборе регуляризующего оператора согласно (5.88) и

если используется (5.89).

Доказательство. Ограничимся проверкой выполнения левой части двустороннего неравенства (5.96), которое для (5.97) принимает вид

354

При R = Λи выборе ρв виде (5.98) неравенство (5.100) выполнено. При R = Λ2 неравенство (5.100) преобразуется следующим образом:

Это неравенство будет выполнено при ρ, удовлетворяющем (5.99). Аналогично строятся и другие регуляризованные разностные схемы.

Вчастности, можно рассмотреть эволюционную задачу второго порядка, задачи с самосопряженными операторами, аддитивные схемы для многомерных обратных задач и т.д. С построенными регуляризованными разностными схемами можно связать различные варианты метода квазиобращения [2].

5.3.2.Коэффициентные обратные задачи

вмеханике деформируемого твердого тела

Коэффициентные задачи в МДТТ – интенсивно развивающийся раздел экспериментальной механики. Можно выделить модели, в которых идентифицируемые дифференциальные операторы имеют постоянные коэффициенты (линейная теория анизотропного упругого тела, линейная теория вязкоупругого тела при дифференциальной форме определяющих соотношений), и модели, в которых требуется идентифицировать неоднородные свойства (например, в геофизике при моделировании литосферных плит и при разведке полезных ископаемых; в горной механике при анализе напряженного состояния в окрестностях выработок и особенно предварительно напряженного состояния; в биомеханике при исследовании различных тканей и вибрационных воздействиях на них с целью идентификации; при изучении наноразмерных объектов). При этом определение модулей упругости как функции координат на основе данных об измеренных полях смещений или ускорений на границе тела в установившемся режиме колебаний требует решения обратной задачи.

Методы определения модулей упругости, формы полостей и включений в упругом теле по измеренным на его границе полям смещений при частичном зондировании играют большую роль в процедуре идентификации объектов в различных областях естествознания. Главная проблема при исследовании задач подобного типа – формулировка операторной связи

355

между искомыми коэффициентами дифференциальных операторов упругости и граничными полями перемещений. Поскольку соответствующие дифференциальные операторы имеют переменные коэффициенты, построить фундаментальные решения для такого оператора и использовать аналоги представления Сомильяны не представляется возможным. В этой ситуации единственным эффективным средством анализа прямых задач для неоднородных сред являются вычислительные технологии, основанные на идеологии метода конечных элементов. К сожалению, этот подход не позволяет формулировать искомые операторные соотношения.

Коэффициентная обратная задача для эллиптического уравне-

ния. Постановка прямой задачи имеет следующий вид: определить функцию и (х), х = (х1, х2), удовлетворяющей уравнению

где

∆u= ∑2 ∂ 2u ,

α=1 ∂ xα2

играничным условиям первого рода:

Младший коэффициент с зависит только от переменной х2. Рассматривается обратная задача определения младшего коэффици-

ента с (х2) в двумерном эллиптическом уравнении второго порядка по данным на границе расчетной области [2]. Предполагается, что неизвестный коэффициент не зависит от одной переменной. Особое внимание уделяется исследованию единственности решения обратной коэффициентной задачи.

Решение задачи ищется в прямоугольной области

Ω = {x x= (x1, x2 ), 0< xα< lα, α= 1,2} .

Для отдельных частей границы области Ω используются обозначения (рис. 5.1)

∂Ω = Γ 1ΓU Γ2 U Γ 3 U 4 .

356

О единственности решения обратной задачи. Исследуем единст-

венность решения задачи. Предположим, что существуют два решения обратной задачи (5.101)–(5.103), которые обозначим {uβ(x),cβ(x),β =1, 2}

Покажем, что равенства (5.107)–(5.109) верны только при v (x) = 0,

θ (x2) = 0, x Ω .

357

Задача (5.107)–(5.109) рассматривается при заданных с1 (х2) и u2 (x). Это обратная (линейная) задача по определению пары v (x), θ (x2), x Ω – задача идентификации правой части. Сформулируем некоторые достаточные условия, при которых можно гарантировать v (x) = 0, θ (x2) = 0, x Ω . Будем считать решение и коэффициент достаточно гладкими, кроме того, в (5.101)–(5.103) решение u (x) является знакопостоянной функцией

u (x) > 0, x Ω .

Это условие выполнится при

c2 (x2 ) ≥ 0, x Ω , ψ(>x) 0, ∂Ωx .

При таких ограничениях из (5.107) получим уравнение составного типа

Покажем, что решение краевой задачи (5.108)–(5.110) есть v (x) = 0. Тогда из (5.104) сразу вытекает (при u2 > 0), что и θ (x2) = 0.

Домножим уравнение (5.110) на некоторую функцию, для которой

и проинтегрируем его по всей области Ω . С учетом (5.111) получим

С учетом однородных граничных условий (5.108), (5.109), после двукратного применения формулы Грина (интегрирования по частям) из

(5.112) получим

∫ (−∆ w+ c1(x2 )w)v dx= 0 .

Ω

Из этого равенства будет следовать v (x) = 0, x Ω , если покажем, что можно выбрать η (х) так, чтобы

358

В рассматриваемой расчетной области поставим следующую краевую задачу для уравнения (5.113) со смешанными граничными условиями:

(5.113)–(5.115) стандартная краевая задача с единственным решением. Осталось только указать вид функции η (х). По найденной из

(5.113)–(5.115) функции w (x) для этого решается краевая задача

с граничными условиями (5.111).

Сеточная обратная задача. Запишем разностный аналог коэффициентной обратной задачи (5.101)–(5.103). В области Ω введем равномерную по каждому направлению сетку; определим множество внутренних узлов сетки:

ω= {x x = (x1, x2 ), xα = iαhα, iα =1,2,..., Nα −1, Nαhα = lα, α =1,2} .

Пусть ∂ ω – множество граничных узлов; ∂ ω * – множество приграничных узлов (для аппроксимации граничных условий второго рода):

Для аппроксимации прямой задачи для внутренних узлов определим двумерный стандартный разностный оператор Лапласа на пятиточечном шаблоне [2]:

Краевой задаче (5.101)–(5.102) ставится в соответствие разностная задача с граничными условиями первого рода

359

В обратной задаче сеточная функция с(x2), x2 ω 2 неизвестна, но заданы дополнительные условия, которые соответствуют (5.103). При переходе к дискретной задаче дополнительные условия можно сопоставить с заданием сеточного решения в узлах ∂ ω *. Это имеет место при использовании простейшей двухточечной аппроксимации направленными разностями с погрешностью аппроксимации первого порядка. Тогда дополнительные условия можно привести к виду

При решении прикладных задач входные данные задаются с погрешностью. Будем считать, что по сравнению с ними погрешностями аппроксимации можно пренебречь (используя достаточно подробные сетки). Здесь будем считать, что основные погрешности вносятся измерениями нормальной производной на границе. Поэтому при приближенном решении обратной задачи с погрешностями во входных данных граничное условие (5.117) оставим без изменения, а вместо (5.118) положим

где параметр δ задает уровень погрешностей.

Итерационное решение обратной задачи. Для приближенного решения обратной (5.116), (5.117), (5.119) задачи будем использовать итерационные методы. В этом случае искомая сеточная функция y(x) ≈ φδ (x), x ∂ ω* уточняется на каждом итерационном шаге исходя

из критерия минимизации функционала невязки (точности выполнения условия (5.119)).

Определим невязку в виде [2]

360