1044

УДК 681.3

Б86

Численные методы. Часть 2: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика» / М. Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1999. 200 с.

Учебное пособие написано на основе курса, читаемого студентам специальности “Прикладная математика” (специализация “Математическое моделирование’') в Пермском государственном техническом университете.

Введены основные понятия теории разностных схем. Рассмотрены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (с начальными и граничными условиями). Решения дифференциальных уравнений в частных производных строятся с привлечением методов Галеркина, Ритца, наименьших квадратов; рассматриваются различные разностные схемы, аппроксимирующие дифференциальные операторы. Основное внимание уделяется оценкам порядка аппроксимации дифференциальных уравнений разностными операторами, вопросам устойчивости и сходимости численных решений. Рассматриваются методы сведения решения пространственных краевых задач к последовательности одномерных.

Пособие предназначено для студентов и аспирантов вузов, специалистов, занимающихся вопросами построения моделей систем и процессов. Может быть использовано как пособие для учителей средних учебных заведений при проведении факультативных занятий по компьютерному моделированию.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Пермского государственного технического университета

Т*абл. 7. Ил. 58. Библиогр.: 27 назв.

Рецензенты: д-р. физ.-мат. наук Е. К. Хеннер, зав. кафедрой информатики Перм. гос. пед. ун-та; канд. техн. наук А. Н. Аношкин

Методы решения дифференциальных уравнений условно

классифицируются по следующему признаку:

точное решение, позволяющее представить искомую функцию в элементарных функциях;

приближенные решения, в которых точное решение получается как предел некоторой последовательности; в этом случае, как правило, используются разложения искомой функции в ряды Тэйлора, Фурье и так далее; - численные решения, когда искомая функция определяется для конечного

числа значений аргумента в узлах разностной сетки.

Благодаря развитию современных средств вычислительной техники методы решения дифференциальных уравнений с использованием компьютеров, в том числе персональных, получили широкое распространение. Задачи теплопроводности, механики жидкостей и газов, механики твердого деформируемого тела и многие другие были решены в основном благодаря широкому использованию сеточных методов. Вместе с тем следует иметь в виду, что неквалифицированное применение разностных схем к решению дифференциальных уравнений приводит к получению решений, далеких от истинных. Поэтому понятен интерес к теории разностных схем, позволяющей еще на стадии разработки алгоритма решения сложной инженерной проблемы выяснить условия успешной реализации вычислительной модели.

Одним из важнейших вопросов является оценка порядка аппроксимации разностной схемой исходного дифференциального уравнения, позволяющая судить о степени адекватности используемой сеточной модели исходной дифференциальной задаче. Основная идея решения дифференциальных уравнений численными методами на ЭВМ заключается, как правило, в сведении исходной задачи к решению систем алгебраических (линейных или нелинейных) уравнений. При этом, естественно, возникает вопрос о разреишмости этой получаемой системы. Численное решение сходится к точному, если при неограниченном увеличении числа алгебраических уравнений решение дискретизированной задачи стремится к решению исходной задачи. Поскольку решить систему с бесконечным числом алгебраических уравнений невозможно, весьма аюуальным представляется вопрос об оценке погрешности получаемых численных решений исходной дифференциальной задачи.

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Решением, интегралом или интегралыюй кривой обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

jj^ = f(x,y) или y' = f(x,y)

называется дифференцируемая функция у = у(х), удовлетворяющая этому уравнению, то есть такая, что у'(х) ■ f(x,y(x)) на некотором участке изменения аргумента х.

Различают три типа задач:

- задача Коши, когда для одного из значений аргумента (например, х«),

y (x j)= y 2.

- задачи на собственные значения, когда в формулировку задачи входят неопределенные параметры, определяемые из самой задачи (нахождение частот собственных колебаний многомассовых систем).

Численные методы следует применять лишь к корректно поставленным задачам, то есть таким, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных, то есть от начальных (граничных) условий и коэффициентов уравнения.

Численное решение задачи считается корректным, если исходная задача поставлена корректно и ее дискретный аналог сохраняет свойства корректности, то есть получаемая система алгебраических уравнений однозначно разрешима и устойчива1по входным данным.

Пример 1.1. На материальную точку с массой т , находящуюся на гладкой горизонтальной поверхности, действует горизонтальная гармоническая сила F(t) = A sin(t). Найти закон движения точки, если ее начальная скорость v().

Уравнение, описывающее движение точки, имеет вид:

d2x а • М m dtг = А я п (0

Очевидно, что граничная задача может быть сформулирована лишь для дифференциальных уравнений второго и более высокого порядков.

2 Под устойчивостью в данном случае понимается непрерывная зависимость решения от входных данных [2].

2. ЗАДАЧА КОШИ

Требуется найти функцию у(х)э удовлетворяющую дифференциальному уравнению

Здесь f(x, у(х)) - заданная непрерывная функция двух аргументов. Условия существования и единственности решения задачи (2.1) устанавливает

Теорема 2.1 (Пеано1 [3]). Пусть функция f(x, у(х)) непрерывна в открытой области D. Тогда через каждую точку (u, v) этой области проходит хотя бы одна интегральная кривая. Каждая интегральная кривая может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой области G, целиком содержащейся в D и содержащей точку (u, v) внутри себя.

Кроме того, если функция f(x, у(х)) имеет в области D непрерывные частные производные первого порядка или удовлетворяет условию Липшица

|f(x.yi)-f(x,y,)|£K |yJ - y I|, V(x,y,),(x,y2)e G . K = const> 0,

то задача (2.1) имеет единственное решение.

В дальнейшем будем предполагать, что правая часть f(x, у) уравнения дифференцируема достаточное число раз.

Устойчивость решения задачи Коши

Наряду с уравнением (2.1) рассмотрим задачу

где 5(х), у - возмущения, вносимые в правую часть уравнения (2.1) и начальные

условия.

Задача Коши (2.1) абсолютно устойчива [4], если Ve>0 3т|>0 такое, что Vx > 0 из условия ||5|| < е, |у| < е следует ||у- у\ й т]•

Иначе говоря, решение устойчиво, если «возмущенное» решение «не слишком сильно» отличается от исходного.

Рассмотрим условия устойчивости решения по начальному условию, то есть положим б(х) г 0.

1 Пеано Джузеппе [27.8.1858 - 20.9.1930] - итальянский математик. С 1890 года - профессор Туринского университета.

Для этого, вычитая уравнение (2.1) из выражения (2.2), получим:

7 ^= f { \ j ) ~ % У ) = f(x.y + z) - f(x,y) ax

Воспользовавшись теоремой Лагранжа о среднем, для правой части последнего выражения получим:

f(x ,y+ z)-f(x,y)= z f;(x,y+0z), е е(0,1).

Решаем полученное дифференциальное уравнение

g - z . f ; ( x . y + ez),

разделяя переменные:

Y= f»'(x>y+0z) dx-

}f = }f;(t.y+ ez).dt,

Пример 2.1. Расмотрим задачу: — = к • у, у(0) = у0.