1044

решения системы нелинейных алгебраических уравнений (6.35)-<б.40), (6.43), (6.44) применяется метод Ньютона.

Дифференциальное уравнение (6.28) (индекс I опускается, поскольку для всех компонент раствора дальнейшие выражения принимают аналогичную форму) представим в виде

Разностный аналог для него записывается в форме

Алгоритм решения задачи (6.26) - (6.34) о переносе сточных вод по системе трубопроводов состоит из двух этапов [20]. На первом этапе решаются уравнения (6.43), (6.44), позволяющие отыскать распределение глубин и скоростей потоков во всем коллекторе. Начальная скорость жидкости (при заданной глубине h потока) определяется из условия стационарности течения

V (0,s)=S(h)#@ .

Далее, при известных параметрах потоков формируется и решается система уравнений (6.46), из которой определяются распределения концентраций всех примесей в узлах разностной сетки, то есть во всей канализационной системе.

При замене дифференциальных уравнений разностными аналогами чрезвычайно важным становится вопрос определения соотношения между шагами интегрирования по времени и координате, обеспечивающими устойчивость вычислительной схемы. В силу нелинейности исходной задачи аналитическое исследование свойств разностных схем затруднено. Поэтому проводилось компьютерное исследование вычислительной устойчивости на тестовом примере.

Длина трубы L=640 м, сечение - прямоугольник шириной 1,0 м, угол горизонтального наклона равен 1 градусу, коэффициент шероховатости пш=0,013 (старые бетонные трубы), уровень жидкости при первоначальном заполнении составляет H(s)=l,0 м. В течение 5 секунд (1/4 периода) на левом конце трубы высота потока возрастает по гармоническому закону с 1 м до 1,5 н а затем в течение следующих 5 секунд убывает до 1,0 м и фиксируется на этом значении. Рассматриваемый режим соответствует формированию и распространению волны по поверхности жидкости.

Результаты расчета представлены на рис. 6.11, где показаны графики изменения глубины и скорости потока жидкости вдоль оси трубопровода. На рис. 6.12 приведены результаты определения области устойчивости численного решения при различных соотношениях шагов интегрирования.

Вычисления показали, что используемая разностная схема в сочетании с методом Ньютона обладает хорошей устойчивостью лишь в малом диапазоне шагов по времени и координате (соответственно, т=0,05 ... 0,2 цЬ = 0,25 ... 2,5 м].

Это существенно ограничивает производительность модели при расчетах больших систем.

Для повышения эффективности модели без снижения ее точности целесообразно линеаризовать систему разностных уравнений (6.43), (6.44). Для этого искомые узловые величины скорости и глубины потока записываются в виде

fi(s,t) = H(s,t) + AH(s), V(s,t) = V(s,t) + AV(s),

где AH(s,t), AV(s,t) - приращения соответствующих величин в рассматриваемой точке s за промежуток времени т, подлежащие определению.

серия численных исследований для рассмотренной выше тестовой задачи. Сопоставлялись решения (нелинейное и линеаризованное) с последовательно уменьшаемыми в 2 раза шагами по времени и координате.

Различие получаемых решений оценивалось по формулам

V

ev = max — eH= maxiiaxS, t e [0,10), s € [0, L].

На рис. 6.13 показана последовательность решений нелинейной системы уравнений (6.43), (6.44). Сравниваются решения с последовательно уменьшаемыми шагами. В рассматриваемом случае V = V(k), H s H (k); V = V(k+,\ П s H(k+,), k - номер варианта в табл. 6.2.

К м

Рис. 6.12. Область устойчивости разностной схемы:

системы (6.43), (6.44), соответствующему пятому варианту табл. 6.2.

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что метод Ньютона дает сходящуюся последовательность решений при равномерном уменьшении шагов разностной сетки. Это позволяет предположить, что при т —> 0 и h —> О численное решение сходится к точному. Линеаризованные уравнения представляют последовательность решений, сходящуюся к последовательности решений нелинейной системы, что также дает основание считать линеаризованное решение сходящимся к точному.

Моделирование состояния проволоки при знакопеременном изгибе с натяжением

Получение высокопрочной арматурной проволоки с заданным комплексом физико-механических свойств (низкая релаксация, высокий предел текучести) возможно в случае применения специальной операции - стабилизации, которая заключается в том, что проволоку в нагретом состоянии подвергают осевому растяжению с остаточной деформацией до 3 %.

Однако получить большую вытяжку только за счет растяжения практически невозможно из-за опасности обрыва проволоки. В связи с этим представляет интерес применение теплой деформации знакопеременным изгибом с натяжением в двухплоскостном роликовом устройстве.

Необходимо отметить, что при моделировании такого процесса часто применяются схемы статического изгиба, известные из классических курсов сопротивления материалов. Однако показано [21], что для указанных процессов напряженно-деформированное состояние в проволоке является не функцией положения частицы, а функционалом, так как зависит от предыстории нагружения этой частицы.

Для построения модели [22] процесса деформирования проволоки знакопеременным изгибом в двух взаимно перпендикулярных плоскостях ZOY и ZOX (рис. 6.18) часть проволоки между волокой Уи тянущим барабаном 12 представляется как многопролетная балка со смещенными опорами, нагруженная растягивающим усилием.

На основе анализа имеющихся теоретических и экспериментальных данных приняты следующие гипотезы. В процессе деформирования все поперечные сечения проволоки остаются плоскими. Принимается схема одноосного напряженного состояния: отлична от нуля только продольная составляющая тензора напряжения. Поведение материала проволоки следует положениям теории пластического течения

Исследуемый процесс считается стационарным и квазистатическим (динамическими эффектами пренебрегаем); в условиях установившегося процесса траектории частиц совпадают с линиями тока, причем линии тока принимаются эквидистантными линии центров тяжести поперечных сечений проволоки. Трение в опорах пренебрежимо мало, контакт проволоки и роликов точечный.