1044
.pdfРис. 4.2. Схема построения последовательности функций vk
Для произвольных номеров т , т+1 |
|
|
Ahv„ = f . = 7* |
t S t - |
v, (t--i.x) = v,..1(t1..„x), |
f, |
t > t . , |
|
A«.v_., —fm.i — |
|
v„.,(t„.x) = vm(tm,x). |
Последняя функция этой последовательности совпадает с решением задачи (4.20) с правой частью, возмущенной на всем отрезке интегрирования, то есть
vM(t,x) = H(t,x), te[0,T].
Рассмотрим две функции: v«(t,x) и v^,(t,x) на отрезке [tm,tm+1]. В силу
построения значения этих функций в точке t« совпадают, vn+l(tm) = vm(tro) и, в
соответствии с условием теоремы, имеет место соотношение
К Л 1« |) ~ V-(‘m+.)8 S |
- fJ = |
1 |
• |
При t > tmtl правые часта разностных схем |
A„vm= fm |
и A„vnt, =. fm„ |
|
совпадают, fm= fm4l = f ; значения функций vrotl(tn„,x), vm(tm.„x) различны. |
|||
Эго можно трактовать как различие в начальных данных для краевой задачи. Согласно признаку равномерной устойчивости имеет место оценка
К*(*М ) - |
£ K jv^,(t-+,)- Vm(tmt,)|| £ crcKjC, - f||. |
Отсюда получаем: |
|
)Ц= |
) " VM(*м 1 = |
- М ‘м ) - VM(‘M) - V.(‘M) + V.(*M ) - v,(t M) + v,(tM) - К -v M_,(tM) + vM.,(t м | S * М ‘« ) - VI(‘M1 + IV.OM) - v,(t M)1 +К + lvM.,(t M) - VM(tM)j|=
= |
Xlf-f~ill• |
ш»0 |
m-0 |
Учитывая, что |
|
окончательно
|u(tM)-Xl(tM)|^oK xM |? - fJ = cK (tM- t 0| ? - f | .
Если положить 5 = |
8 |
-------- г , то из условия |
|
|
aK (tM- t 0) |
|
|Г - < |< 5 |
следует |
|
|
К 1 м ) - а (‘м)1 < е, |
то есть определение устойчивости разностного решения по правой части. Что и требовалось доказать.
Необходимо подчеркнуть, что устойчивость по правой части не Может рассматриваться независимо от устойчивости по начальным данным.
Принцип максимума
Теперь сформулируем условия для конструктивной оценки устойчивости разностных схем. Обратимся к алгебраическим уравнениям неявной разностной схемы дифференциального уравнения теплопроводности
Ч - £ И |
; + 1 ? М - £ И в‘' |
|
Это соотношение условно можно записать в виде |
|
|
2 > A = Z P p 6P+ fi. |
(4.22) |
|
k |
Р |
|
где для рассматриваемого случая р = j, а индекс к пробегает значения |
j-1 , j, |
|
j+ 1 ; коэффициенты принимают значения |
|
|
а н
правая часть fj = 0. Обозначим:
|a « .|-m a x |a k|.
Для рассматриваемого разностного уравнения а,
Теорема 4.3 (принцип максимума). Разностная схема равномерно
устойчива по начальным данным, если |
+2Zр |
XW I- |
|
|
М |
кашах* |
(4.23) |
||
Разностная схема устойчива по правой части, если выполнено условие |
||||
(4 23) и |
|
|
|
|
W " |
2 X 1 * 7 . |
® >°- |
(4.24) |
|
|
катах |
Т |
|
|
Доказательство. Внесем возмущение 60 в решение задачи (4.20) на какомлибо исходном временном слое; возмущение правой части отсутствует. Выражение (4.22), записанное для погрешности на следующем временном слое
£ a k8 ek = £ p ,s e p,
k Р
представим в форме
a^bQ m x = ^ P pS0p - 2 > к5ёк.
ркопах
Оценим слагаемые последнего выражения по модулю
|a « J - 8 ft.J s £ |p ,|- |e e ,|+ |
Z 1“ к|-|8®к |
Полученное неравенство справедливо |
для всех внутренних узлов |
разностной сетки, в том числе и для того узла, в котором погрешность 50 достигает наибольшего значения. С использованием чебышевской нормы
|б 0 | = 1г а х |б 0к
преобразуем предыдущее выражение
6 0 к
1 |
1 |
о |
к«шах |
Усилим неравенство, заменяя все величины 60к,60р наибольшими по всем
узлам сетки Q значениями и используя определение чебышевской нормы,
Преобразуем полученное выражение к виду
и с учетом (4.24) получаем
- j .
что совпадает с определением устойчивости разностной схемы по правой части Что и требовалось доказать.
Необходимо подчеркнуть, что условия теоремы формулируют лишь достаточные условия устойчивости. Иначе говоря, невыполнение условии (4.23), (4.24) не означает неустойчивости разностной схемы.
Пример 4.2. Проверим условия устойчивости для неявной разностной схемы (4.18) задачи теплопроводности
Коэффициенты уравнения
Условие устойчивости по начальным данным (4.23) принимает вид неравенства
выполняющегося для любых значений шагов г и И. Следовательно, рассмотренная разностная схема безусловно устойчива.
Условие устойчивости по правой части
1 |
2д л |
_п_= 1 > “ |
т |
h1 h1 |
h1 т т |
также выполняется для всех значений шагов т и h (например, для 0<со 1)
Общий вывод: рассмотренная неявная разностная схема безусловно устойчива как по начальным данным, так и по правой части.
Пример 4J. Проанализируем (для сравнения) явную разностную схему (4.16) для той же задачи:
© i-0i |
n |
9 w - 20j +0H |
, |
_ |
- |
0i^ = eH ^ + 0i^ - ^ r ) + 0H ^ -
Очевидно, что в этом случае отличны от нуля коэффициенты
„ |
_ 1 О __П_ О = 1 _ 2 д „ = _П_ |
a oiM |
Р*И ^2 » Pj ^ |j2 » Р|-1 Jj2 |
Условие устойчивости по начальным данным (4.23) принимает вид неравенства
1 ^ |
Т1 |
Т1 |
I _ 2 3 |
- ^ - г + - г + |
|||
т |
h2 |
h2 |
т h2 |
1 |
_ 2Ц ^ 1 |
_ 2Д |
|
т |
h2 т |
h2 ’ |
|
раскрывая которое
2д
h2
получаем условие устойчивости по начальным данным
т< |
(4.26) |
|
2 л ' |
Это означает, что рассматриваемая схема является условно устойчивой Условие устойчивости по правой части
тт
выполняется для всех значений 0 < со < 1 .
Общий вывод: явная разностная схема является условно устойчивой при выполнении условия (4.26), ограничивающего шаг интегрирования г.
Оценка устойчивости разностных дни мет оёоя ffrilnn*
Вновь рассмотрим разностную схему (4.16)
©j- в . |
в н _ 2 ®1 + ®М |
|||
- |
Г |
дт> |
~ v |
~ * |
Если внести возмущение 56 в решение 6 |
на каком-либо временном слое, |
|||
0 = 0 + 50, решение на следующем |
слое |
0 * 0 + 6 9 будет удовлетворять |
||
уравнению |
|
|
|
|
V |
Si _ _ SH " 20J + ®W |
|||
” |
|
4 |
ь* |
|
Вычитая из этого выражения предыдущее, получим уравнение |
||||
относительно погрешностей |
|
|
|
|
50j-5 0 j |
_5eH -26ei +60w |
|||
т |
|
=Л |
Ь’ |
|
которое удобно переписать в виде |
|
|
||
60}= 5 0 ^ ,3 + 8 0 ^ 1 - ^ + 6 0 ^ 1 3 . |
||||
Разложим погрешность 50 решения в ряд |
|
|||
|
8 0 (х )= ^ аке**, |
(4.27) |
||
к-0
где е* \ к = О,N -1 - полная ортогональная система функций на равномерной сетке Q N = |x k| xk = k h, k = 0,N | .
Здесь i = V-T - мнимая единица. Подставим k-ю гармонику
60<k>(x)*ake*
1 Нейман Джон фон [28.12.1903 - 8.2.1957] - американский математик. В 1926 году окончил Будапештский университет. В 1927 - 1929 годах преподавал в Берлинском университете, 1930 - 1933 - в Принстонском университете. С 1933 года - профессор Принстонского института перспективных исследований. С 1940 года работал консультантом армейских и морских учреждений; принимал участие в работах по созданию первой атомной бомбы. С 1954 года был членом комиссии по атомной энергии. Внес большой вклад в создание первых ЭВМ и разработку методов их применения.
этого разложения в уравнение |
|
|
|
||
RfiU) |
^ |
я etaH J |
1 - |
eta*+ ~ а.е**'" = |
|
80i |
- ^ |
* ке |
+ ^ 1 |
h, j a ke + h, a ke |
|
= akc‘ ,| l |
+ ^ ( c - “ |
|
- 2 + е“ )]= р ка 1е‘ -' = Рк80<к>. |
||
где рк = |\ + 1 П(е'“ |
- 2 +e“ )j |
- |
коэффициент роста к-й гармоники при |
||
переходе на следующий временной слой. Очевидно, что для ш временных слоев получаем соотношение
« а »
Учитывая известную формулу Эйлера, выражение для коэффициента роста произвольной гармоники можно преобразовать к виду
« 1 + |
(cosfkh) - i •sin(kh) - |
2 + cos(kh)+ i •s n (kh ))* |
(4.29) |
|
h |
' |
|
|
|
В более общем виде разностное уравнение |
|
|
||
|
В - '— ' + All: |
=ф: |
(4.30) |
|
|
т |
1 |
1 |
|
относительно погрешностей 5и3 (при отсутствии возмущения правой части)
можно записать в виде
B5uj =(В-тА)5из.
Подставляя сюда выражение (4.28) для 5ujv получаем уравнение для
определения коэффициента роста произвольной гармоники
ркВе*“* = (В -хА )еШж>.
Теорема 4.4 (признак устойчивостиНеймана). Разностная схема с постоянными коэффициентами устойчива по начальным данным, если для всех к выполняется неравенство
|рк|£1+С т, С = const £ 0 . |
(4.31) |
Доказательство. Положим погрешность начальных данных в ряд (4.27):
|
|
6u(*«.x i ) “ S |
a be*m< |
|
|
|
|
|
|
к-О |
|
|
|
Подстановка этого разложения в разностную схему (4.30) благодаря |
||||||
линейности последней приводит к выражению |
|
|
||||
|
4 ‘ - X Jb Z W ' M * * ' |
|
|
|||
На сетке |
в силу ортогональности гармоник1 |
|
|
|||
М * - { |
= Ni x r W |
" * NfnfxIPkl)- Z lakIJ = (nrax|pkl)"j8u(t„);’ |
||||
* |
k-0 |
|
• |
k-0 |
k |
1 |
Наконец, в соответствии с условием (4.31) |
|
|
||||
|
W |
' |
- |
t |
к;. |
|
Н ' Д - о ^ . г м а , , -
Последнее выражение как раз и соответствует признаку равномерной
устойчивости. Что и требовалось доказать. |
|
|
|
Терема 4.5 (признак неустойчивости). Если хотя бы для |
одного к |
||
коэффициент роста |
гармоники |рк| |
нельзя мажорировать |
величиной |
1 + Ст, С = const, то разностная схема (4.30) неустойчива. |
|
||
Доказательство. Пусть в начальный момент имеется ошибка вида ceiu для |
|||
заданной гармоники |
к. Тогда к моменту |
t = тт она возрастет в (pk )mраз, что |
|
по модулю больше величины (1+ Ст)ю=(1 + Ст),/1> а
при сколь угодно большом С. Но неограниченный рост ошибки как раз и означает неустойчивость схемы. Что и требовалось доказать.
Вновь вернемся к разностной схеме (4.16), для которой коэфициент роста гармоник определяется выражением (4.29). В силу того, что функция sin:(kh, 2)
Согласно [10] под ^ понимается эвклидово пространство ос-мерных векторов
а = (а0,а ,,К ) со скалярным произведением (a,b) = £ a kbk и нормой [а|
