1044
.pdfРешение этой задачи будем искать * форме
в М - Т (|)Х (х ),
T(t) - функция только времени t, а Х(х) - функция только координаты х.
Подставим решение (4.14) вдифференциальное уравнение (4.13):
о.
‘ £ E f c l .I_ а*х(х)
W) * х(х) дхг
Поскольку левая часть последнего выражения зависит только от t, а правая - только от х, равенство возможно лишь вслучае
ТО) Х*(х) |
2 |
=eonst. |
-4 4 = —тН^=-к |
|
ЩХ(х)
Врезультате получаем два обыкновенныхдифференциальных уравнения:
|
|
T(t)+K,T(t)*0, |
|
|
|
|
|
X"(x)+ic,X(x)=0, |
|
|
|
решения которых известны: |
|
|
|
||
|
|
T(t) = C ,e - \ |
|
|
|
|
|
Х(х) = С, sin(xx)+С, COS(KX) ; |
|
|
|
Ci, С2, С3 - постоянные интегрирования. |
|
|
|
||
Подставим |
эти |
выражения |
в формулу |
(4.14), |
обозначив |
А = С, -С,, В = С, -С,, |
|
|
|
|
|
0(t,x) ■ е"в1|[А • sin(icx)+В cos(icx)] .
Для определения постоянных А и В используем граничные условия (4.14)
6(t,0) = е“в,|[А 0+ В-1]= О, В = 0;
8 (t,L) = е^ч[А *sin(icL)+B cos(icL)] = 0, A-sin(icL) = 0
Очевидно, что значение А=0 приводит к тривиальному решению 0(t,x)*O, что противоречит начальному условию задачи (4.13). Потребуем
выполнения равенства
sin(icL) = 0,
Основные понятия и определения теории разностных схем
Будем разыскивать решение одномерной задачи (4.2) • (4.4) вобласти
G »{(t,x)| t е[0,Т], |
х e[0,L]} |
|
|
Для построения разностного аналога дифференциального уравнения (4.2) в |
|||
частных производных определим сеточную область (рис. 4.1): |
|
||
n = |( t i,xi)| t, ex-i. 1 = |
т = jjj-; |
Xj = h - i |
h = i - | . |
t |
|
ti |
|
|
|
|
о |
i+ 1 |
|
|
i+1 |
|
|
|
|
i |
|
0 |
|
X |
0 |
X |
О j-1 j |
j+1 |
0 j-1 j j+1 |
Рис. 4.1. Шаблоны для построения разностных аналогов производных
Запишем для дифференциального уравнения
ае |
а2е=о |
at |
п ах2 |
разностные аналоги первой и второй производных (рис. 4.1, левый шаблон):
Аппроксимация урашнения разносимой схемой. Порядок аппроксимации
Краевую задачу в общем случае можно записать в форме:
|
|
Au —f « OL |
x c G , |
|
|
|
(4.19) |
|
|
R u-ф вО , |
xedG . |
Здесь |
в качестве аргумента х выступает вектор х = (1,х,,х2,...,хв). |
||
Область |
G +dG |
покрывается сеткой |
О, состоящей из граничных 50 и |
внутренних П -d Q |
узлов. Задача (4.20) заменяется разностным аналогом |
||
|
|
Afcub- f k «0, |
х efl-d Q , |
|
|
|
(4.20) |
|
|
R„ull-<pll =0, |
xedCl. |
Близость разностной схемы к исходной задаче определяется величинами |
|||
погрешностей |
|
|
|
|
|
y k = A k\ i - f kf x e O -d Q , |
|
|
|
vk = R hu-<ph, |
xedQ , |
получаемых после подстановок точного решения в разностные аналоги дифференциального оператора и краевых условий. Очевидно, что чем меньше величина погрешности, тем точнее разностная схема аппроксимирует исходную задачу.
Разностная схема (4.20) аппроксимирует задачу (4.19), если
М - г л т » - 0 . Ы - т а - ю .
Аппроксимация имеет порядок р, если
М = о И M - o ( b ') .
Пример 4.1. Оценим порядок аппроксимации уравнения (4.2) разностной схемой (4.16)
...! _ e(*»«.*j)-e(ti.xi) |
^ e(‘i.’ci ..) - 2e(ti.Xj) + e(»i.XH) |
||
Vi |
t |
Л |
h1 |
Подставим разложения функции 0(t,x) в ряды Тейлора возле точки (t^Xj)
Если установить между шагами интегрирования соотношение т - Ь’/бл, в последнем выражении сохранятся лишь слагаемые
Ц - 0 (т’ + Ь‘).
имеющие второй порядок малости по т и четвертый по h.
При использовании начальных условий (4.3) и граничных условий (4.4) погрешность аппроксимации отсутствует, поскольку узловые значения искомой функции в начальный момент и в граничных точках задаются точно. При использовании граничного условия второго рода (4.5) производная по координате также заменяется разностным аналогом, например
Для оценки погрешности аппроксимации граничного условия воспользуемся разложением в ряд функции 6(t,x) вблизи точки xN:
Поскольку согласно условию (4.5) имеет место соотношение
*в'(‘|*хм )= -Я (д .
погрешность аппроксимации граничного условия рассмотренным разностным аналогом
vj, , x e(t„xH)-e (t„ x N.,) +<i(t))a
п
= ^0'(tj,xN)+ 0 (Ь )+ я ( 0 =(x e'^ .x ^ + q ^ + o O i)
имеет первый порядок {ниже порядка аппроксимации самого дифференциального уравнения). В результате погрешность аппроксимации задачи (4.2) с граничным условием (4.5) приведенными разностными аналогами будет иметь первый порядок.
Для повышения порядка аппроксимации воспользуемся разложением решения в ряд Тейлора
б^эХм.|) = 0(1|,хн)-0'(!„хм)Ь+0w(l„xN)— +0|h J.
Подставим в это выражение уравнение (4.2) и граничное условие (4.5):
в(Мм-|)=e(‘i.XN)+ q(‘i +^ . ХИ)т - +0' (h’).
На основе этого |
|
построим |
явный разностный аналог |
|
граничного условия (4.5) |
|
|
|
|
N 1 |
X |
211 |
т |
|
h |
|
|
2х\ |
(4.21) |
|
|
т |
||
имеющий второй порядок аппроксимации.
Неявная схема для граничного условия (4.5) имеет вид:
1+1 ЛМ |
|
1 L лН1 Д1 |
0 |
д. gift |
2 л |
N ~ UN-1 |
~ UN |
Устойчивость разност ны х схем
Понятие устойчивости предполагает получение оценки развития возмущения, внесенного на каком-либо этапе расчетов, с увеличением числа шагов интегрирования1.
Разностная схема (4.20) устойчива, если V e>0 35(E), не зависящее от
шага h, что при |f, - f2| < 5(e) и |ф1 - ф2| < 5(e) имеет место [и, - и2| < е .
При численном интегрировании многомерных дифференциальных уравнений шаги по разным переменным могут быть различными. В этом случае устойчивость называется безусловной, если приведенное определение устойчивости имеет место для любых малых шагов. Устойчивость считается условной, если шаги по разным координатам должны удовлетворять дополнительным соотношениям.
Непрерывная зависимость решения дифференциального уравнения от функции f называется устойчивостью по правой части.
Непрерывная зависимость решения дифференциального уравнения от <р называется устойчивостью по краевым условиям.
Устойчивость по краевому условию t = t 0 называется устойчивостью по начальным данным.
В дальнейшем рассматриваются, как правило, двухслойные по времени разностные схемы, поскольку дифференциальные уравнения n-го порядка могут
1 Согласно [13] схема численно неустойчива, если приводит к возникновению хаотических решений, не имеющих отношения к решению дифференциального уравнения. Такое поведение подчеркивает различие между точными конечно-разностными аналогами для производных и точным аналогом дифференциального уравнения”
быть заменены системой п уравнений первого порядка, каждое из которых требует для аппроксимации только два временных слоя (два близких момента времени). В дальнейшем для упрощения записей разностных выражений будут использоваться следующие обозначения:
символ |
л (острие стрелки вверх) соответствует значению функции на |
|||
следующем |
временном |
слое, |
Uj ■ и-*1 |
численное значение функции в |
координатном узле Xj, временном слое tj+j; |
|
|||
символ |
v (острие стрелки вниз) соответствует значению функции на |
|||
предыдущем временном слое, то есть uj * иJ"1; |
||||
отсутствие символов |
v |
или л |
соответствует значению функции на |
|
текущем временном слое, то есть Uj * и). |
|
|||
Двухслойная разностная схема называется равномерно устойчивой по начальным данным, если она равномерно устойчива по аргументу t,
lu ,(t)-u J(t)J^K |u1(t0) - u 1 (t0)|| Vt е(0,Т].
Здесь обозначено: К>0 - постоянная, не зависящая от величин t и h; u,(t,x), u:(t,x) - решения задачи (4.20) с разными начальными условиями и одной и той же правой частью.
Теорема 4.1 (признак равномерной устойчивости).
Если A hu ,= A hu2, то для равномерной устойчивости по начальным данным достаточно, чтобы при всех значениях i выполнялось соотношение
|ui - й2| £ (1 + Cxjju, - и2|,т = t w - tj ,C * 0.
Доказательство. В силу допущения теоремы Ahu ,= A hu2 возмущение правой части уравнения (4.20) отсутствует. Формула теоремы означает, что при наличии погрешности 8u = u , - u 2 на временном слое tj, для следующего момента времени tj+i норма возмущения ||5u|| = ||u, - и 2| возрастет не более чем в (1 + Ст) раз.
Учитывая, что имеет место неравенство 1 + С т^еСт, можно оценить величину погрешности за произвольное число m = (t - t0)/i шагов по времени:
|5и| <;ec , . . . e c’|8u„| = eCn,|5u0| = ec(,- ° |8u0| <;ec(T-° |8u0| .
m
Обозначим К = е с*т"‘°\ тогда Vt e(t0,T] имеет место ||8u|£ K|5u0|, то есть выполняется определение равномерной устойчивости. Что и требовалось доказать.
